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斜拉索机械粘滞阻尼器的设计
哈比布·塔巴塔巴伊， ASCE机构工作人员阿敏 B. 莫哈比
摘要：在许多斜拉桥中应用外置阻尼装置来抑制斜拉索的横向振动。然而，简单而准确并综合考虑所有重要缆索参数的阻尼推荐设计值却很匮乏。那些宝贵的成果都是基于将缆索理想化为拉紧的绳索而建立的。在这篇论文中，首次将包含粘性阻尼的缆索振动的主导的微分方程转化为包含无量纲缆索参数的复杂的特征值问题。然后，一项包含重复结论的大范围无量纲参数的特征值问题参数研究才开展起来。基于参量研究的结果，第一振动频率与缆索第一振动阻尼的比率对阻尼器的影响通过无量纲的形式展现了出来。根据数据显示，对于大多数斜拉索的参数范围，缆索下垂的影响并不明显，反而，缆索的弯曲刚度对缆索的阻尼比有着明显的影响。简化的无量纲的关系是用来计算阻尼器导致的在第一模态中由阻尼器导致的缆索的阻尼比变化。实验室中按一定比例制造的缆索模型的测试结果将与通过公式计算的估计值相比较。最后，典型的事例问题将展现同其他关系的比较以及抑制风雨激振引起的缆索振动的机械粘性阻尼装置的设计。
引言
在过去的20年里，由于经济的优势以及惊人的美学特质，斜拉桥变得越来越受欢迎。作为斜拉桥的基本构件，斜拉索大概是整座斜拉桥结构的最重要的部分。斜拉桥中斜拉索的风致振动是此类桥的工程师及所有者的一个忧虑来源。斜拉索在某种特定的雨和柔和的风的作用下大振幅振动的发生（1992年松本岛）在全世界各地都曾有过报道。这样的问题引起了桥梁工程界的广泛关注（为了提高疲劳应力的范围）并且成为观察力敏锐的群众深层焦虑的主要诱因。
解决这种问题的有效方法是提升斜拉索的阻尼特性。外置阻尼装置被用来抑制缆索的横向振动，而这些振动大多数是由风引起的。然而，简单而准确的综合考虑所有重要的缆索参数的，例如缆索下垂和弯曲刚度的阻尼器设计规范却没有。许多的研究者（Kovacs 1982；Yoneda and Maeda 1989; Uno 1991等）已经着手研究由外置粘性阻尼器引起的附加的斜拉索阻尼值。通过微扰法和特征值分析法获得有阻尼装置和一定安装位置的缆索的普遍的相关模式的阻尼（Pacheco and Fujino 1989;Pacheco 1993等）。然而在他们的研究中，缆索被理想化为拉紧的绳索。在这种情况下，那些影响缆索动力特性的参数的共同作用下的影响被忽略掉了。这些参数中最重要的是据研究会影响缆索动力特性的下垂延性参数和弯曲刚度参数（Mehrabi and Tavatabai 1998；Tabatabai et al.1998；Tabatabai and Mehrabi 1998；）。
这篇论文中，首次将缆索振动的控制微分方程转化为包含无量纲参数的复杂的特征值问题，那些参数包括缆索弯曲刚度，下垂延性以及粘性阻尼。等式中离散的无量纲形式为大范围缆索无量纲参数的研究提供了极大的便利。在当今的研究中，应用塔巴塔巴伊建立的斜拉索的综合数据库（1998）来定义相关参数的范围。只考虑了有恒定阻尼因数的粘性阻尼装置。选定一定范围内的参数能够重复解决复杂的无量纲特征值问题。基于这些参数研究的结论，结合外置阻尼装置，阻尼器对第一模态振动频率及第一模态附加阻尼的比率的影响通过无量纲形式展现了出来。还有便是将第一模态的阻尼比和无量纲的缆索及阻尼器的参数之间的关系简化了。尽管缆索的振动包含几个模态，但此篇论文中只讨论了第一振型下的各参数间的联系。其他振型中相似的各参数间的关系可通过之前讨论过的参数研究来解决。然而，处理第一振型的问题估计不光能够简化设计步骤还可以为其他振型提供阻尼改性。基于前面提及的简化的各参数间的关系，设计方程将被展现并应用在抑制斜拉索振动的阻尼装置的选择中。由埃尔文提出的控制风雨激振的最低要求在推荐的设计等式中能得到应用。
无量纲公式
如图1所示，有统一十字形截面并附有横向粘性阻尼的水平方向平面内下垂的缆索的自由振动位移方程可表示为：
图1.带有粘性阻尼器的缆索
式中EI=缆索的弯曲刚度；H=延弦线方向的缆索力（本次情况下为水平方向）；v=由振动导致的横向位移；x=缆索弦线方向的坐标；h=由于振动再缆索内形成的水平力；c=粘性阻尼器单位缆索长度的阻尼系数；m=单位索长的质量。
缆索恒荷载平衡位置的侧向位移可通过如下的分离变量来表示：
其中omega;(x)=有关x的函数；q（t）可表示为：
P=一个复杂的数值可表示为：
delta;rsquo;=阻尼比；omega;=无阻尼振动下固有角频率；omega;D=有阻尼振动下的角频率。
因此，q对t求偏导数可得：
由于振动产生的额外的拉力，h,可表示为h=hrsquo;q，其中hrsquo;可表示为：
因此，将q省略掉后，位移方程（1）可简化为特征值问题的形式。
对于在平面内下垂的缆索，即使在缆索刚度为非0值的情况下，缆索的静态外形依旧可简化为一条抛物线，由振动导致的附加拉力的振幅，hrsquo;，可由基于缆索的振动曲线以及下垂延性参数lambda;2来计算。然后上面的方程可写成：
式中l=缆索弦线长度；lambda;2=下垂延性参数；对于水平缆索，这个参数可表示为：
式中EA=缆索的轴向刚度而
埃尔文推荐了考虑振动下缆索倾斜影响的简要步骤。对于倾斜缆索，只有垂直于缆索弦线的重力加速度成分被用来计算lambda;2和Le。
方程5可离散为以下形式:
N=延缆索长度方向被离散的元素个数；w=振型的矢量；I=单位矩阵；B=完整单位矩阵（Bkl对于所有的k和l来说都等于1）；Omega;j=（pi;p/omega;1s）j=无量纲复杂参数（称为频率比），p在方程3中已经定义 是等价于拉紧绳索的缆索的第一振型频率，下角标表示式中所考虑频率的振型数，矩阵chi;定义如下：
矩阵中xi;=无量纲弯曲刚度参数且(xi;= )n=缆索中离散的内部节点个数（n=N-1）；alpha;=对于固定的末端条件分别等于5或者7。
Crsquo;rsquo;是一个只有斜对角线上与包含附加阻尼装置的节点相应位置的数值不为0的ntimes;n矩阵。例如，在一条在内部第二节点位置有阻尼器的缆索中，矩阵可写为：
附加阻尼器的无量纲参数；a=一个缆索弦线上的离散单元的长度；c=在离散的缆索上与某点连接的阻尼器的阻尼因素。无量纲阻尼系数psi;与无量纲阻尼系数c/mLomega;1s，之前帕切克使用过。Crsquo;rsquo;是对角矩阵，因为阻尼器与缆索外部连接，缆索只定义了平移自由度。
6式中的特征值问题可通过以下方式用公式表达：
这一系列的等式可修改为特征值解：
其中
以及
9式的特征值问题可通过善于解决复杂特征值问题的商业特征值求解器来解决。因此，缆索的特征值Omega;，阻尼比，固有非阻尼频率可以被计算出来。
有关参数的研究
为了评估阻尼器对振动频率的影响以及研究外置阻尼器提升缆索整体阻尼比的效力，无量纲公式的发展正是用来进行这一参数的研究。在参数研究中，假定电缆末端为无法旋转的固定端。外部阻尼器的位置是假定为从某一段开始，电缆长度的2％，4％和6％。 阻尼器的这些位置可通过一个位置参数表示，Gamma;d=Ld/L，其中Ld是阻尼器连接位置到电缆的末端的距离。因此，Gamma;d= 0.02对应于位于的阻尼器从某一端开始的电缆长度的2％的位置。 在每条缆索中只考虑一个阻尼器。 在每个阻尼器位置，使用0到60之间的psi;值进行不同的分析。用求解特征值程序EISPACK（#39;EISPACK#39;#39;1977）进行分析。 每个特征值分析都包含（3）式所述的复数。用这个复数的虚部来推导出来阻尼的角频率，而用实部计算无阻尼角频率和阻尼比。
实际的阻尼参数的范围
Tabatabai等人 （1998年）从16座斜拉桥的1400多条缆索中编制了一个数据库。通过斜拉桥数据库可知，下垂延展性参数（lambda;2）取值的范围在00到2.84之间。 类似地，几乎所有的弯曲刚度参数（xi;）的取值都在在10-600的范围内。 对于无量纲阻尼参数psi;以及的值的范围取决于阻尼因子c的取值范围。根据斜拉桥的数据库， 的取值范围在3和43kN·s / m之间，平均值为21kN·s / m。假设阻尼因子c的取值范围为0至200 kN*s / m，psi;的最大范围将为大约为0 lt;psi; lt;200/3。 因此，无量纲阻尼参数psi;的取值范围假定为0至60。
对缆索阻尼的影响
第一振型的阻尼比是为了计算并绘制了之前讨论的参数lambda;2和xi;的范围。 完整的一套图可以在Tabatabai等人的论文中找到。图2所示的便是当Gamma;d= 0.02、psi;=8时这些图集的一张。在这些分析中缆索的固有阻尼被忽略掉了。 所以，整个阻尼比的计算直接来自于阻尼器的贡献。
这些分析显示了机械阻尼器在lambda;2lt;1的范围对于下垂延性参数（lambda;2）的作用并不明显。此范围覆盖95％以上的缆索数据库中的缆索。 对于lambda;2值大于1的，阻尼比delta;（百分比）随着lambda;2的增加而略有下降。这种减少对于弯曲刚度参数（xi;）大于100时最为显着。因此，对于lambda;2小于1的，由阻尼器贡献的阻尼比可以假设为独立于下垂延性参数。 如早些年讨论的，缆索倾斜对振动的影响仅通过lambda;2来介绍。 因此，阻尼器贡献的阻尼比可以认为是不受缆索的倾斜的影响。
一般来说，阻尼比随着无量纲阻尼参数的增加而增加直到达到最佳水平。达到最佳效率后，进一步增加阻尼参数导致缆索阻尼比减小。 这是因为，对于较高的阻尼参数，阻尼器更像是刚性支撑。 这会使第一振型形状发生改变（即节点在阻尼器的位置）。 因此，第一种振型的频率将会增加。 这个频率大约等于被处于阻尼器支撑位置“缩短”的缆索的频率。
图2.当Gamma;d=0.04,psi;=8时阻尼器的阻尼比（%）
最优无量纲阻尼参数（psi;）随不同的阻尼器位置而改变。 研究阻尼器的效率以及阻尼参数和阻尼比之间的关系，无量纲分析的结果用来绘制lambda;2等于0.01时不同阻尼器位置的图。 如之前提及的，当lambda;2小于1时阻尼比被假定为是独立的。
图3，图4和图5分别显示了阻尼器位于缆索长度的2％、4％和6％的图。 为了显示清晰，仅反映了一部分计算的数据。 对于在缆索长度为2％位置（Gamma;d= 0.02）的阻尼器，最佳阻尼参数（psi;e）为20。由图3可知，当弯曲刚度参数（j）小于约100时，相比于最佳阻尼参数较高的psi;值导致较高的阻尼比。 但是，数据库中的绝大多数缆索（超过82％）都有数值大于100的xi;参数，这种情况下最佳psi;值仍然认为是20左右。要想取得针对每个具体情况的较低xi;值，Psi;值可以通过直接参考如下所示关系曲线更准确地选择。 当Gamma;d为0.04和0.06，最佳阻尼参数分别为8和6。
图3.当Gamma;d=0.02，lambda;2=0.01阻尼器不同弯曲刚度参数的阻尼比
图4.当Gamma;d=0.04，lambda;2=0.01阻尼器不同弯曲刚度参数的阻尼比
对于小于或等于psi;e的阻尼参数，第一振型缆索阻尼比与弯曲刚度参数之间的关系可以近似由下面这个等式表示：
其中a，b，d和e是为表1中Gamma;d等于0.02，0.04和0.06而定义的。 （10）是基于以最小的测定系数R2=0.96进行一系列回归分析而推导得出的。 对于0 lt;psi; lt;2，可以使用线性插值法使用（10）计算psi;=2时delta;的值，以及得出delta;=0，psi;=0。
图5.当Gamma;d=0.06，lambda;2=0.01阻尼器不同弯曲刚度参数的阻尼比
在图3、图4和图5中可以发现 ，与最佳阻尼参数一致的曲线当xi;去较大值时将渐近为水平线。在较高的j值（弯曲刚度取相对小值，例如xi;gt; 200），当忽略缆索下垂的影响忽略不计，缆索就近似为拉紧的绳索。对于拉紧的缆索，Kovacs（1982）指出，导致最大可能的阻尼值（第一振型）的最佳c / mLomega;1s的值约为1 / 2pi;Gamma;d。根据这个说法，当Gamma;d= 0.02,0.04和0.06时的psi;e值分别为25,12.5和8。这些值相对于本研究中当Gamma;d= 0.02,0.04和0.06时获得的20,8和6的psi;e要高出许多。图3，图4和图5表明Kovacs提出的有效的psi;e值低于最优值，特别是对于较高的xi;值。应该注意的是在最佳psi;e值及其附近，阻尼比对psi;值的变化不那么敏感。科瓦奇（1982）也得出结论，任何振型下，可得到的最大可能的阻尼值为0.5Gamma;d。这表明在1％，2％和3％长度的位置最大阻尼比是Gamma;d分别取0.02,0.04和0.06时得到的。这种关系是一个简单而准确的经验法则。计算得出最大可能的阻尼比（图3，图4和图5）与Kovacs（1982）所得出的阻尼比有很好的一致性。然而，可得的最大阻尼比，特别是对于靠近缆索端部的阻尼器，如果缆索弯曲刚度参数较小，比这些假设为拉紧绳索所得的阻尼比低得多。
表1.在式（10）中所用参数
对于每个Gamma;d最优无量纲阻尼参数的选择都是基于相对较高的xi;值（例如，xi;gt; 150）之间的比选完成的。 这个范围弯曲刚度参数包括了大多数的斜拉索。 然而，对于较小的xi;值（图3，图4和图5），psi;c值大于
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