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排气管内气体动力学建模与仿真
Ingenuin Gasser , Martin Rybicki
摘要：研究了排气管内的气体动力学。我们特别关注在发动机起动后的极短时间内对催化转化器进行预热。这是通过混合一小部分未燃烧的废气来完成的。这个过程是经典的气体动力学方程模型。与现有文献相比，我们改进了全排气管的（一维）建模方法，使用小马赫数技术和网络安萨兹。最终的简化模型一方面仍能描述其主要特征，另一方面计算速度比原始模型快几个数量级。通过数值模拟，我们将新模型与文献中的（经典）完整模型和实验结果进行了比较。
- 介绍
汽车排放是当今世界的一个重要问题。为了减少废气污染，政府规定了汽车生产的技术要求，特别是汽车的排气系统。美国加利福尼亚州政府于20世纪60年代初通过了第一批废气处理法律，欧洲共同体于1970年通过了第一批减少废气污染的法律。因为许多国家的法律都是这样规定的。欧盟目前的限制是减少轻型汽车污染物排放的欧5和欧6标准。2为了降低废气中的CO、NOx和CxHy浓度，在排气管系统中安装了（大部分）两个催化转化器。控制催化转化器效率的关键是催化转化器的温度。因此，人们对如何在发动机起动后的短时间内确保催化转化器内有足够的高温感兴趣。发动机起动后的一种特殊加热方法是在催化转化器中燃烧未燃烧的气体。现代汽车可以控制发动机燃烧室内的氧燃料比。通过选择一个燃料多氧气少的比例，一些未燃烧的燃料进入催化转化器，可以在那里进行放热反应。排气管的建模与仿真是一个广阔的领域。从排气管系统的振动研究（见[1,2]）、排气管系统的声波研究（见[3,4]）到催化转化器内温度的动力学研究等，都有许多不同的研究重点。因此，本文的目的是寻找一个简单的全流体动力学模型，该模型在温度特性方面仍然具有良好的效果。因此，我们采取以下步骤：
- 我们使用一个通过排气管的气体流动的一维模型。众所周知，这在预测流量时要简单得多，而且仍然非常准确（见[5]）。
- 我们使用单一的整体化学反应。我们知道，在现实中有许多化学反应涉及，但重要的是有正确的整体热释放，以获得温度分布的主要特征。
- 为了避免昂贵的完全可压缩描述（包括声波），我们采用了一个小马赫数asymp totics（马赫数是典型流速与声速之比）。
- 由于横截面变化很大，我们使用网络方法进一步简化。
虽然前两种方法是众所周知的，并且已经确立（见[6,7]甚至[8]），但第三点（小马赫数限制）在这方面是全新的。此外，小马赫数模型上的网络安萨兹是新的。最后两点中提到的问题-小马赫数和强变化截面-在排气管建模中被称为两个（固有的）困难。众所周知，流动将始终处于小马赫数状态。这会在完全可压缩方法中引起严重的数值问题，即计算工作量随着马赫数的减少而增加。由于温度变化剧烈，不建议使用不可压缩ap proach。摆脱这种微妙局面的一种方法是使用小马赫数来导出一个渐近模型。我们将使用与[9]中相同的渐近技巧。其优点是对渐近模型方程的数值处理要容易得多，因为渐近模型导致一个半可压缩模型，其中所有量在其数量级上都很平衡。强烈变化的横截面导致交叉点处空间离散的步长非常小（并且由于CFL条件也在时间上）。为了避免几何函数的强变化，我们将排气管看作一个等截面的单管网络。在我们特定的排气管几何结构中，这将导致一个由nP/4 9管道和nV/4 8顶点组成的网络（见图1）。这样我们就完全避免了强变截面问题，并将问题转移到在顶点处寻找物理意义上的耦合条件。在[10,11]中讨论了类似问题的耦合条件。在排气管的情况下，采用网络方法有重要的优点：
- 无几何函数，因此无需人工平滑间隔。
- 耦合条件中可包括顶点处因突然膨胀或收缩而产生的实际压力损失（较小损失）。
- 更快的数值模拟（由于更大的步长）。
关于排气管内温度的动态变化有很多文献。然而，关于这一问题的数学文献并不多。文[12]研究了排气管几何结构对加热过程的影响。为了更好地了解发动机起动后的加热过程，文[13]研究了催化转化器中的各种化学反应。在[14]中提出了类似的模型，其中还考虑了催化剂中温度的最优控制问题。文献[15]研究了一维（完全可压缩）气体动力学。建议的模型实现了具有平滑功能的变截面（这种方法也见[16]）。文献[17,18]用同样的方法讨论了更复杂的管道结构。文献[19]中给出了一个部分排气管的网络安萨茨，但尽管提到了压力损失，但并未考虑到这些损失。然而，所有文献中的govering方程都是完全可压缩的（有上述困难）。如前所述，关于催化转化器中的温度动力学有更多的工程文献。有几种多维方法（见[20,6]），它们在数值上非常昂贵。如果人们对排气管特定部分的详细流体动力学现象感兴趣（权衡更复杂的建模和计算时间的大幅增加），则这些螺柱是必要的。
论文的结构如下。在第2节中，我们将首先介绍在[17,18]中导出的模型。然后我们将其重写为一个网络，并在第3节中导出单管模型的渐近公式。在第4节中，我们将解释如何将单个管道视为一个网络，从而在thvertices定义物理意义上的耦合条件。在第5节中，我们将介绍两种模型的简单数值算法，即完全可压缩模型和非对称模型。在第6节中，我们将给出一些数值例子，并比较两种模型的结果。
2。全欧拉模型
在这一章中，我们将提出一个气体通过排气管的模型，基于欧拉方程。这个模型应该包括我们在引言中讨论的所有各种现象。第一个公式适用于具有复杂几何形状的整个管道（见图1）。除了壁面摩擦和壁面传热外，我们还将考虑排气管中的局部现象，如催化转化器产生的摩擦和未燃烧气体的燃烧。起点是一维气体动力学的完全可压缩欧拉方程，包括平衡方程中作为源项的物理效应（见[17]或[18]）。此外，我们还将得到未燃烧气体混合物的附加反应方程式。因此，我们处理的是多组分气体混合物，由两个组分组成：燃烧气体和未燃烧气体。设q~；u~；p~；~z和eT分别为总混合气体的密度、速度、压力、未燃气体的比例和排气管内的温度。[17,18]中的模型如下
总能量q~eE由内能cvq~eT和动能q u~22组成。我们用连续可微函数p~d和eA分别表示管道的周长和横截面积来描述管道的几何结构。前三个方程是具有动量项和能量平衡项的气体动力学的欧拉方程。动量平衡右边的第一项描述了表面摩擦。能量平衡右边的第一项是通过表面的热传递。第四个方程式表示催化转化器中发生的燃烧。最后一个方程是理想气体定律。在模拟管道中的气体动力学时，除了常见的物理现象外，如壁面摩擦（n）和传热（h），我们还需要描述一些其他的局部效应，这在我们的模型中很重要。基于这个目的，我们引入了特征函数v~，它仅在两种催化剂中是非零的。现在我们可以将催化转化器中的摩擦力（~Cc）和反应项包含在能量和反应方程（Ke）中。温度依赖函数Keeth;eTTHORN;代表了催化剂中合成反应的速率，并用Arrhenius定律进行了模拟。
式中，Ke 0为反应速率常数，eEthorn;为活化能。
2.1缩放比例
与其使用这个模型，不如（从数值和物理上）将系统视为一个具有复杂几何结构的排气管，而是一个管道网络，其中每个管道都有一个恒定的横截面。尽管它不是一个“真实”的网络，而且乍一看符号似乎很复杂，但我们将能够实现更快的数值模拟。此外，我们将能够包括横截面突然膨胀和收缩的小损失项。为此，让我们考虑一个单管模型。我们可以用我们的模型（1）把eA和d看作常数。通过一些简单的操作，
- 第三和第四（3）式包含了催化转化器中的摩擦和燃烧项。所以如果我们考虑一个没有催化转化器的管道，这些术语就消失了。参数~d表示管道的直径，并且通常每个管道的直径都不同。
表2给出了该系统的典型参考值。通过用参考量（yr）和无量纲量（y）的乘积替换每个量（y~），我们得到了一个新的无量纲标度系统（4），我们称之为（FE）。
式中
参数cp；cv；R；c分别是定压定容比热、理想气体常数和绝热指数。无量纲量Cf；C；h和q0分别表示管道和催化转化器中的摩擦、传热速率和一单位未燃烧气体燃烧时的放热速率。加热排气管壁温的过程由气体温度和外部温度的平均值模拟，即TWalleth;x；tTHORN;：四分之一12eth;teth;x；tTHORN;ToutTHORN;。表1列出了所有这些参数的值。
2.2（FE）模型的初始和边界条件
（FE）的初始条件是：
由于我们对发动机启动感兴趣，我们（按比例）的初始条件将是标准值，即uic/zic/40和pic/qic/1。在管道的两个边界处，我们要规定压力p的Dirichlet数据。通常需要密度q和未燃烧气体量z的流入边界条件，这是相似条件下的标准。由于气体流动的方向是已知的，我们规定了管道左侧q和z的Dirichlet数据。所以我们的边界条件是：
3．渐近模型（AM）
系统（4）的项在数量级上不平衡（见表3）。因此，我们要导出一个等截面管道的渐近模型。由于我们看到Mprod;ur fi qr cpr q 3 10 2，我们处于所谓的低马赫数状态，我们可以利用它导出一个渐近模型。为了做到这一点，我们用e/4 cm~2来渐近地扩大压力
与时间无关的压力p0（由于与时间无关的外部压力）处于领先顺序。通过将（7）插入（4）的第二个方程，我们仅通过前导阶得到，p0也与空间无关，因此是常数。继续这个过程（忽略e阶和更低阶项，见表3），最终可以得到一个渐近模型。
3.1（AM）模型的初始和边界条件
我们希望使用与（FE）模型相同的边界条件，
由于压力有两个边界条件，并且在系统（8）的当前公式中，压力仅以其一阶导数出现，因此我们必须在下一小节中重写模型。作为初始数据，我们规定了密度q、速度u和未燃烧气体的比率z（对于全欧拉模型，不需要压力p的初始数据）。
3.2.渐近模型的重新构造
至少有两种可能重写系统（8），以便满足边界条件集。首先，我们可以导出（8）的第二个方程（见[9]）。这样我们就得到了p1的二阶微分方程，从而增加了方程的个数和系统的阶数。处理这个问题的一个更好和更简单的方法是（8）的第二个方程与空间分量的积分（见[21]或[10]）。但在此之前，我们首先将q定义为（8）：l的第三个方程的右边
记住温度是由T/p0q给出的。请记住，如果我们装上一根没有催化转化器的管子，括号中的第二项就会消失。将（8）的第三个方程积分到y 2/0；x _x0005_将导致依赖于时间的积分常数v和q上的积分
函数qeth;q；zTHORN;和函数qfrac12;q；z_x0005_的值未知，因为它们取决于未燃烧气体的密度和比率。但是，我们将编写q和q来保持符号的简单性。借助于这个符号，我们可以将（8）的第二个方程积分到x 2frac12;0；1 _x0005_上，并得到：
重新排列最后一个方程并将（12）插入（8）的剩余方程中，得到我们模型的最终公式。
该系统由密度q和未燃气体比z的两个偏微分方程和v的一个偏微分方程组成，它们都是非线性耦合的。因此，我们只需要两个“实”边界条件，即q和z的流入条件。压力p的边界条件作为参数出现在ODE中。就初始数据而言，我们可以通过
对于这种类型的简单模型（没有z变量和给定q），在[22]中进行了全局存在性分析。对于同样简单的模型，在[23]中给出了相应的稳定性分析和相关分支的数值研究。
4.排气管作为单管网络
下一章适用于两个模型，全模型和渐近模型。在这一章中，让我们把整个排气管看作一个单管网络。当然，这种方法似乎是迫不得已的，因为排气管不是什么你可以称之为网络的东西。但由于数值上的优势以及在交叉点处容易包含小损失项的可能性，因此值得遵循此ansatz。所以让我们把每根横截面不变的单管看作是一个独立的系统，其中方程。（4） 或（15）保持。每根管道都连接到另一根管道（而考虑的管道没有真正的入口或出口），或者连接到另外两根管道。一方面，我们只想规定整个排气管的实际入口和实际出口的边界条件。另一方面，每根管道都需要有自己的边界条件。因此，我们必须以某种方式连接单根管道。我们必须在连接处陈述某些（物理上）有意义的耦合条件，我们称之为顶点。
4.1.网络符号
我们现在将介绍一个网络符号。这种表示法乍一看似乎相当复杂，但必须以简单的方式说明有意义的耦合条件。我们将推导出这些条件，如[10]中的所有一般性条件。然后我们将使用所考虑的网络的结构非常简单。
所以，让NV四分之一f1。。。；nV g是所有顶点的集合，NP v4 f1。。。；nPg所有管道的集合，其中nV；nP 2 N分别表示顶点和管道的数量。第i个管道中的数量由给出。
对于每个顶点j 2 NV，设Pjprod;NP为与顶点j相连的所有管道的集合。我们现在定义两个贴图：
对于每个顶点j 2 NV，设Pjprod;NP为与顶点j相连的所有管道的集合。我们现在定义两个贴图：
4.2.耦合条件
让我们考虑一个单顶点j 2 NV和所有连接到这个顶点的管道，即i 2 Pj。系统（4）或（15）、初始条件和边界条件描述了每
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