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材料阻尼的非平衡不可逆热力学模型
佐治亚理工学院航空航天工程学院，亚特兰大，GA30332-0150，美国
2005年3月10日收到；2006年9月1日订正表格
2006年9月27日可上网查阅
摘要
连续体中的材料阻尼，本质上涉及多个耦合的不可逆热力学过程，与各种形式能量的不可 逆交换有关。 本文提出了内部状态变量和扩展状态变量的混合框架，以建立复杂材料的材料阻尼模型。 对于典型的简单材料，在扩展的不可逆热力学框架下建立了阻尼模型。 非平衡量，即。 热力学通量，被引入作为扩展状态变量，以补充描述局部非平衡状态。这些热力学通量的弛豫特性是非平衡特性的符号，用一阶弛豫方程模拟。 对于一个典型的系统，我们引入热流和非平衡（粘性）应力作为对应于不可逆热输运和粘性过程的热力 学通量。 建立了平衡场与非平衡场的耦合模型。 导出了特定自由能、特定熵和特定内能的显式表达式。 然后得到控制各种形式能量交换的能量平衡方程来完成公式。 我们研究 了所开发模型的各种极限情况，并将这些极限情况与典型的热力学阻尼模型联系起来。 我们应用该模型研究了杆的纵向振动的耗散特性，并与其他阻尼模型进行了比较。
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关键词：阻尼；热机械响应；耗散；经典不可逆热力学；有理热力学；扩展不可逆热力学
导言
即使，我们理解结构的弹性行为，合理准确地说，我们不理解结构中的阻尼到相同的水平。 阻尼是一种非常理想的结构特性，可以衰减振动，增加结构的疲劳寿命，消除不理想的噪声。 结构的阻尼主要是由于材料阻尼和关节、紧固件和可能的耗散效应接口
- 到目前为止，很难准确地估计结构中的阻尼，从而估计结构的固有频率和其他动态特性的相关小变化。 然而，这些微小的变化在许多应用中是非常重要的，例如结构系统的健康监测和估计结构的残余强度。 高物理洞察力的精确材料阻尼模型将导致结构动力学模型，以提高模拟、系统诊断和识别以及主动/被动控制系统的设计的精度。
材料阻尼的机理
让我们考虑在真空中隔离的弹性悬臂梁。 当它从最初的偏转位置释放时，光束随着振幅的逐渐减小而振动，最后在一个不应变的位置静止下来。 这个简单的案例体现了材料阻尼的特点。 在这里，机械能通过热力学过程，即热弹性过程，转化为另一种形式的能量，即储存在封闭系统中的热量。 在热弹性过程中，它涉及平衡热场和机械场之间的耦合。 对于具有粘性特性的材料，而不是热弹性阻尼，粘性过程及其与其他不可逆过程的耦合归因于耗散和阻尼。 对于更一般的材料，不同尺度的多个不可逆过程也可能有助于总耗散。 因此，精确的阻尼模型需要描述各种不可逆过程，这些过程可以在不同的尺度上，它们的场间耦合，以及各种形式的能量的转换。 这必须在不可逆热力学的框架内发展。
不可逆热力学框架
在我们开始建立我们的阻尼模型之前，我们简要讨论了我们如何从各种不可逆热力学理论中证明我们的热力学框架。 从20世纪30年代开始，Onsager、Prigogine、Eckart、Mexiner、de Groot、Mazur等人通过作出一些限制性假设，成功地制定了不可逆转热力学的原则(翁萨格，1931年a，b；翁萨格和马奇洛普，1953年)。 “状态”的概念是从恒温学中连续体的全局描述中扩展出来的(布奇达尔， 1966)对连续体中物质点的局部描述。 换句话说，在任何给定的时刻，构造连续体的每个物质点都假定近似接近局部热力学平衡状态(冯，1965年；Prigogine，1955年；Jou等人，1996年).
- 引入热力学通量来描述不可逆过程。 在任何瞬间，热力学通量都通过一个线性关系即时响应广义力，该线性关系包含Onsager-Casimir倒数原理(奥萨格，1931年a，b；卡西米尔，1945年). 这些热力学通量不被认为是附加的状态变量；因此，不会出现在状态函数中，如内能、自由能等，如恒温学中所定义的。 在1943年，布里奇曼讨论了熵的平衡定律（即熵的演化)：“(净熵离开一个封闭的区域)=(熵在该区域内产生)(熵在该区域内的增加）rsquo;。 换句话说，区域内熵的变化率是由通过区域的熵通量和区域内产生的熵产生所贡献的。 在CIT中，熵通量只取决于热通量，这是不可逆传热过程的热通量
- 熵产生速率是以通量及其相关广义力的双线性形式存在的。 熵产生率的非负性， 即。 耗散不等式或克劳修斯-杜姆不等式赋予耗散过程的不可逆性，并说明了CIT的第二定律。
合理热力学(RT)最初由Truesdell、Coleman、Noll等人引入，以扩大
非平衡热力学在CIT之外的应用范围(特鲁斯戴尔，1984年；科尔曼和Gurtin，1967年； Day，1972年；Jou等人1996年). 在RT中，假设材料具有内存。 这意味着，在任何给定的瞬间，因变量不能仅由自变量的瞬时值来确定，而是由它们的整个历史来确定。 在某些方面，这修改了CIT中的状态概念，其中状态是由一组可测量变量在当前瞬间定义和确定的。 在RT中，互补变量（如内能、热流、应力张量和熵）与Indepen的整个历史有关-
通过函数关系确定变量(如变形和温度。 在20世纪40年代，布里奇曼提出了“状态的大规模热力学参数”，以减少RT表示(布里奇- 人，1943年；Kestin，1992年并避免使用函数方程。 这些扩展CIT和RT状态空间的状态参数称为内部（状态）变量(Maugi n and Muschik，1994；Coleman， 1967年；Coleman and Gurtin，1967年；Muschik， 1990年；Kestin and Rice，1970年)。 相关理论称为内变量理论(IVT)。 物理上，内部变量表示一些微观的物质结构特征或它们的集合特征。例如，对于微裂纹等结构损伤材料，可以引入损伤含量张量作为内部变量，以补充对变形和温度以外的局部平衡状态的描述。 内部变量是自变量，服从一个特殊的速率方程(Maugin and Muschik，1994；M uschik，1990)，其中内变量的变化率由共轭力决定，共轭力被定义为Helmholtz自由能相对于内变量的偏导数。 这些内部变量是“隐藏的”，因为它们的速率方程是局部的
（即空间无关的），可以直接集成(Maugin和Muschik， 1994年；Muschik，1990 年)
。 在IVT中，引入了局部约束非平衡态的概念。 换句话说，总是存在一个局部伴随平衡（或准平衡）状态，可以将局部非平衡状态投影到该状态上(Muschik，1990年)。 虽然这种映射或投影可能不是唯一的和一对一的，但恒温学的概念被假定适用于局部伴随的平衡状态，然后适用于相应的局部约束非平衡状态。 由内变量引起的耗散（或内功率）等于其变化率和相应共轭力的乘积。 当选定的材料结构特征及其相关耗散对局部性质有显著影响时，内部变量的引入是有益的(Capriz，1989年). 然而，除了内部变量的变化率外，还必须考虑与相关材料结构特征演变有关的不可逆过程。 例如，不可逆过程，如微裂纹的运动和微裂纹网络的演化，除了损伤含量张量的变化率，也是至关重要的。 为了测量这些不可逆过程，需要像CIT中那样的热力学通量。
CIT和IVT已经超越了平衡热力学。 然而，它们仅限于验证
存在或伴随局部平衡状态的假设。 局部平衡状态假设的适用性取决于Boltzmann分布的验证(Prigogine，1955年；Fung， 1965). 这限制了CIT和IVT只适用于只有轻微波动到Boltzamann分布，因此不远离热力学平衡的情况。 局部平衡假设有效性的充分条件是， 与某些特征时间相比，所有相关的热力学过程都放松得足够快。 对于具有弛豫时间，远大于感兴趣的动态特征时间的过程，它们远离热力学平衡。 然而，它们可以被认为是“锁定”在每个瞬间的几乎平衡状态。 对于具有松弛时间的过程，比感兴趣的动态特征时间小得多，它们可以被认为是瞬时响应，就像在CIT中一样。 在这两种情况下，局部平衡状态的假设是有效的。 然而，在许多情况下，所涉及的不可逆耗散过程的特征弛豫时间，无论是化学的，还是机械的，还是热的，还是电的，都可以是相同的动态特征时间的顺序。 因此，在这些过程中的任何时刻，连续体中的每个点都处于远离热力学平衡的状态。 局部平衡状态的假设不再适用。
扩展不可逆热力学(EIT)放松了局部平衡假设的限制
状态通过引入局部非平衡状态的原始概念。 因此，一个局部非平衡状态，允许远离热力学平衡，被分配到一个连续体中的每个物质点在任何时刻(Jou等人，1996年、1998 年；Muuml;Ller和Ruggeri，1998年). EIT以以下方式构造非平衡态空间。 除了经典的平衡状态变量集之外，还引入了一组扩展的非平衡状态变量来补充局部非平衡状态的描述。这些扩展的非平衡状态变量也称为热力学通量，它们是快速和非保守的变量。每个不可逆的耗散过程，无论是宏观的（与经典状态变量有关)还是微观的(与内部状态变量有关
），都具有相关的热力学通量，可以用来描述材料点与其邻域的某些类型的相互作用。每个通量都被激活因此，经典状态变量或内部状态变量的空间梯度在空间上是相关的。与内部状态变量相比，这些热力学通量是独立的非局部状态变量。 与CIT中的热力学通量相比，这些热力学通量具有弛豫特性，因此直接有助于状态函数。 当热力学通量的弛豫时间不可忽略时，这些非平衡贡献可能是显著的。 对于高阶近似，非平衡态变量的扩展集需要引入高阶热力学通量，这是一阶-下热力学通量演化过程的通量，因此被称为“通量的通量。 在EIT中，熵、自由能和内能等非平衡态函数是包括平衡变量和非平衡变量在内的一整套状态变量的函数。 此外，熵通量取决于所有的热力学通量，而不仅仅是像CIT、RT或IVT框架中的热流。从EIT的第二定律出发，熵产生的速率严格为非负，以保证不可逆过程的演化方向。 这也限制了热力学通量的本构关系和演化方程。
这项工作的热力学框架
从上述讨论中，对于材料阻尼的一般描述，需要引入内部变量理论和扩展不可逆热力学的混合框架。 其中，内部状态变量用于表示微观结构特征，而扩展状态变量用于描述不可逆（ 宏观或微观）过程。 然而，对于一种典型的简单材料，我们可以忽略它的微观结构特性，一个扩展的不可逆热力学框架是足够的。 本文在扩展不可逆热力学的框架下，建立了简单材料的阻尼模型。
在EIT的框架内，热力学通量的引入及其相关的弛豫导致了双曲理论，这最初是为了解决抛物线理论的非物理“尖锐性”特征。 正如所讨论的，当不可逆过程的弛豫时间与特征感兴趣的时间相当时，双曲理论就变得必要(Herrera和Pavo′n，2002年). 这适用于气体
、流体和固体。 对于粘性过程，弛豫时间的范围相当宽：从10—13 s 为了普通液体到1 0用于粘弹性材料(Lebon等人，1988年)。 对于气体和流体，粘度的机理很简单， 但是为了固体它是很复杂还有的很大多样性。 为了结构金属， 在相对的低温度， 内部摩擦相关的与运动的位错(格拉纳托还有卢uml; 凯， 1956; 威尔克斯， 1965)适用去阻尼。 在升高温度(t0.5t融化), 粘性的答复都是实质性的还有属性到各种身体上的机制 (诺威克 还有Berry， 1972), 例如作为粘性的滑倒在谷物边界(泽纳， 1941; Ke?， 1947) 还有重新安排的一对的原子在a 合金(泽纳， 1947).在更高 温度， 热的已启动错位机制(Ke?， 19~49; 湖泊还有 夸肯布什， 1996) 变成 的少校的贡献消散
。因此放松时间的粘性的进程依赖不是只是上潜在的粘性的机制也是温度。 例如
，对于冷加工铜，位错运动的粘性弛豫时间从65K时的0.01s到135时的0.1ls不等K(无花果。 11英寸艾尔斯和汤普森，1961年)；而对于善意 铜， 放松 时间到了 是 关于 0.06 7升 在 房间 温度 300公里 (无花果。 6 在 艾尔 还有 汤普森，1961). 为了多晶体铝， 放松 时间的 粘性的滑倒 的谷物
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