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第三章 粒子，水，空气
土壤通常由颗粒、水和空气组成。为了描述土壤，我们会使用各种参数来描述这三种成分的分布以及他们对土壤体积的相对贡献。这些参数也有助于确定其他参数，例如土壤的重量。它们在本章中定义。
3.1 孔隙率
一个重要的基础参数是孔隙率n，定义是孔隙空间的体积和总土体积的比率，
对于大多数土壤来说，孔隙率在0.30到0.45之间（或者，它通常表示为百分比形式，在30%到45%之间）。当孔隙率较小时，土壤被称为密集堆积；当孔隙率较大时，土壤被称为松散堆积。
计算两种特殊情况下的孔隙率可能会很有趣。第一种情况是球形粒子非常松散得堆积，此时球体之间的接触只在三个相互正交的方向发生。这叫做立方粒子阵列，见图3.1。如果球体的直径是D，则每个球体空间上占据的体积。固体体积与总体积之比是Vp/Vt=pi;/6=0.5236，因此，这种情况下孔隙率是n=0.4764。这是可能的最松散的球形粒子堆积。当然，它是不稳定的：任何微小的干扰都会使它坍塌。
通过一层一层地用球体形成等边三角形的图案，一个非常密集的球体堆积能够被创建，见图3.2。球体通过层层堆积，使下一层的球体正好适合上一层的三个球体之间的空隙。
图3.1立方阵
图3.2密集阵列
一个球体的轴线和下面支撑它的三个球体形成一个正四面体，面的边长为D。每个四面体的高度为。每个球体和它相邻部分的空隙，空间上占据的体积为
。因为球体本身的体积为，该组件的孔隙率为，这似乎是球形粒子中密度最大的一组。
尽管土壤从不由球形颗粒组成，以上的计算数据对实际土壤没有任何实际意义，但是它们可能会给出某个关于真实的土壤孔隙度是什么的指示。因此，我们可以预计颗粒材料的孔隙率n可能在0.25到0.45之间。实践经验证实了这一说法。
孔隙的数量也可以用孔隙比e表示，定义为孔隙体积与固体体积之比，
e=Vp/Vs （3.2）
在许多国家，人们更喜欢用这一数量而不是孔隙率，因为它表示相对于固定体积（固体体积）的孔隙体积。因为土壤的总体积是孔隙的体积和固体土的体积之和，Vt=Vp Vs，孔隙率和孔隙比很容易联系起来。
e=n/（1-n），n=e/（1 e） (3.3)
孔隙率不能小于0，也不能大于1。孔隙比可以大于1。
孔隙比也与相对密度结合使用。这个数量定义为
（3.4）
这里emax是最大可能孔隙比，emin是最小可能值。这些数值可以在实验室测定。土壤中最密集的填料可通过样本的强振动获得，这就给出了emin。最松散的填料可以通过小心地将泥土倒入容器里面来获得，或者让材料沉入水下，避免所有干扰，这就给出了emax。这两个值的测定精度不是很好。在经历更多的振动之后，样品可能变得更密集，最轻微的扰动也可能会影响松散的填料。
由式（3.4）可知，相对密度在0和1之间变化。一个小的值，比如R Dlt;0.5，就意味着土壤很容易致密化。这样的致密化可以发生在现场，而不是出乎意料的情况下，例如一个有着极其严重后果的突然震荡（地震）。
当然，相对密度也可以通过公式（3.3）用孔隙率来表示，但这会导致一个不方便的公式，因此不常用。
3.2饱和度
土壤的孔隙中可能含有水和空气。为了描述这两者的比率，人们引入了饱和度S。
S=Vw/Vp (3.5)
这里Vw是水的体积，Vp是孔隙空间的总体积。每单位孔隙空间的空气（或任何其他气体）体积为1minus;S。如果S=1，则土壤完全饱和，如果S=0，土壤完全干燥。
3.3密度
为了描述土壤的密度和容重，我们需要土壤中各个成分的密度。物质的密度是单位体积下这种物质的质量。对于水，密度用rho;w表示，其值大约为1000kg/msup3;。由于温度的差异或盐含量的变化，实际值可能会和该值有小小的偏差。在土力学中，这些通常是次要的。它通常被认为是足够精确的来假定
（3.6）
对于土力学问题的分析，空气密度通常可以忽略。
固体颗粒的密度取决于固体材料的实际成分。在大多数情况下，尤其是石英砂，其值约为
（3.7）
图3.3 测量固体颗粒密度
这个值可以通过小心地将一定质量的颗粒（例如Wp）滴入部分装满水的容器中来测定，见图3.3。颗粒精确的体积可以通过观察玻璃容器中水位的上升来测定。使用刻度量杯时，这一操作特别容易。水位的上升显示了粒子的体积Vp。它们的质量Wp可以通过测量颗粒滴入前后玻璃容器的重量来获得。颗粒材料的密度直接从它的定义得到，
（3.8）
这个简单测试的原理，其中有着不规则形状的物体体积（一些沙粒）是由阿基米德测量出来的。他曾被要求检查金冠的成分，金冠被怀疑含有银（更便宜）。他意识到这可以通过比较皇冠的密度和一块纯金的密度来实现，但是他必须确定皇冠的精确体积。传说中当阿基米德走进浴池时，他发现不管自己身体的精确形状是什么，被淹没在水中的身体体积都等于溢出浴池的水的体积。据传说，他一边喊“尤里卡！”一边跑上街，令旁观者十分惊讶。
3.4容重
在土力学中，通常需要确定土体的总重量。如果孔隙率、饱和度和密度已知，就可以计算土体总重量。体积为V的土壤中，水的重量为Snrho;wgV，而该体积中的颗粒重量是（1minus;n）rho;pgV，其中g是重力场的强度，或重力的加速度。重力常数的值约为g=9.8N/kg，或者，大约，g=10 N/kg。因此，总重量W为
（3.9）
这意味着容重gamma;（定义为单位体积重量）为
（3.10）
这个公式表明容重是由许多土壤参数决定：饱和度、孔隙率、水和土壤颗粒的密度以及重力常数。实际上，通过直接测量土壤的体积V和重量W可以更加简单的确定容重（通常也表示为单位重量）。因此，无需确定每一个组成部分的参数。
如果土壤完全干燥，则干容重为
（3.11）
该值也可通过称量干土体积直接确定。为了使土壤干燥，样品可以放入烤箱中。炉子里的温度通常接近100℃，因此水分会迅速蒸发。在更高的温度下，土壤的有机部分有可能被烧毁。
孔隙率n也可以根据干容重确定，见式（3.11），前提是颗粒材料的密度已知。这是实验室测定孔隙率的一种常用方法。
如果原始容重gamma;和干容重gamma;d均为已知，通过测量原始状态和干燥后的重量和体积，孔隙率n可根据式（3.11）确定，饱和度S可用式（3.10）确定。但是，这个过程对于几乎完全饱和的土壤来说不是非常精确，因为在测量中，一个小小的错误可能导致人们获得的S=0.97，而不是真实值S=0.99。这本身是相当准确的，但是风量的误差则为300%。在某些情况下，这可能会导致较大的错误，例如当孔隙中水-空气混合物的压缩系数必须被测定时。
3.5含水量
含水量是另一个有用的参数，尤其是对于粘土。它在上一章已经使用过。根据定义，含水量w是水和固体颗粒的重量（质量）之比，
（3.12）
值得注意的是，这不是一个新的独立参数，因为
（3.13）
对于完全饱和土（S=1），假设rho;p/rho;w=2.65，则孔隙比e约为含水量的2.65倍。
孔隙率的正常值为n=0.40。假设rho;k=2650kg/msup3;，根据式（3.11），gamma;d=15900 N/msup3;，或gamma;d=15.9 kN/msup3;。16kN/msup3;的数量级对于干砂来说确实很常见。如果材料完全饱和，根据公式（3.10），gamma;asymp;20 kN/msup3;。对于饱和砂土来说，这是一个常见值。粘土的容重可能也约为20kN/msup3;，但也可能是更小的值，尤其是在含水量较小的时候。泥炭通常要轻得多，有时几乎不会比水重。
例3.1 一个量筒最初装了一些水，见图3.4。测得水的体积为240 cmsup3;。小心地将一些沙粒倒入水中，避免形成气泡。量筒里的水位上升，此时显示体积为320cmsup3;。沙粒落在量筒底部，测得总体积为144 cmsup3;。计算沙子的孔隙率n和孔隙比e。
答案
灌入沙粒后水位上升，说明水的体积加上固体颗粒的体积是320cmsup3;。因为水的体积为240 cmsup3;，因此固体颗粒的体积为Vs=80cmsup3;。量筒底部的沙子的高度表示沙子的体积加上孔隙中的水体积为Vt=144 cm3。因此孔隙中的水体积为64 cm3。因为水里没有空气，因此沙子的孔隙体积为Vp=64 cm3。孔隙率是n=Vp/Vt=0.44，或n=44%。孔隙比e=Vp/Vs=0.80，或e=80%。注意：e=n/（1minus;n）和n=e/（1 e）。
图3.4 测量孔隙率
例3.2 如果摇动量筒，可以观察到水位保持不变，但是沙子的高度降低了。如果此时量筒显示沙子总体积为128cmsup3;，求摇动后的孔隙率和孔隙比。
答案
摇动后，沙子的体积（包括孔隙中的水）为Vt=128cmsup3;，其中固体颗粒体积为Vs=80 cmsup3;（如前），因此孔隙体积Vp=48cmsup3;。由此得出n=Vp/Vt=0.375，或n=37.5%。孔隙比e=Vp/Vs=0.60，或e=60%。
例3.3 如果不仅测量体积，还测量重量，那么如图3.4所示的试验也可用于确定颗粒材料的密度。量筒中的水体积为312cmsup3;，量筒和水的重量为568克。小心地将一些沙粒倒入量筒中，水位上升到400cmsup3;。量筒（含水和沙子）的质量是800克。确定颗粒材料的密度rho;s，单位为g/cmsup3;或kg/msup3;。
答案
沙粒的体积为400minus;312=88cmsup3;，这些沙粒的重量为800minus;568=232 g。这意味着颗粒材料的密度rho;s=2.64 g/cmsup3;，或rho;s=2640 kg/msup3;
例3.4 钢圈中含有天然土壤样品。钢圈和土壤总质量是490克。把钢圈放进一个烤箱里使得水分蒸发。此时钢圈和干土的重量为380克。钢圈本身（空且干燥）重210克。土壤的含水量是多少？（图3.5）。
答案
自然状态下土壤的重量为490minus;210=280g，初始条件下水的质量为490minus;380=110 g。所以含水量为w=Ww/Wp=110/170=0.65，或w=65%。
问题3.1 装载2msup3;干砂的卡车比空车重“3吨”。“3吨”是什么意思；沙子的容重是多少？
问题3.2如果前面的问题里材料中砂粒的密度是已知的，为2600kg/msup3;，那么孔隙率n和孔隙比e是多少？
图3.5环形土样
问题3.3 用水填满前一个问题中干砂的孔隙。沙子可以容纳的水的体积和饱和沙的容重分别是多少？
问题3.4 圩田中的土壤由5 m厚的粘土层组成，孔隙率为50%，底下是坚硬的砂层。粘土层中的水位降低1.5 m。经验表明，粘土的孔隙率降低到40%。土壤的沉降是什么？
问题3.5 沙子的粒径约为1毫米。砾石颗粒更大，数量级为1厘米，比沙子大10倍。砾石颗粒的形状与沙粒大致相同。颗粒直径对孔隙率的影响是什么？
- 土壤应力
在本章中，土中的应力分为流体应力和颗粒体中的应力。特别注意有效应力的定义及其与变形的关系。
4.1应力
与其他材料一样，应力可能是由外部荷载和材料本身的容重引起的。然而，土壤有许多特性使之区别于其他材料。首先，土壤的一个特殊性质是只传递正压应力，不传递拉应力。其次，剪切应力与只有在相对于正应力更小的情况下才能被传递。此外，部分应力通过孔隙水传递也是土壤的特征之一。这将在本章中详细讨论。
由于土壤中的法向应力通常仅为压应力，因此惯常使用与经典连续介质力学相反的符号惯例来表示应力，即压应力被认为是正的，而拉应力是负的。应力张量用sigma;表示。应力分量的符号如图4.1所示。它的定义是，当一个应力分量作用于正坐标方向的平面上而其外法线指向负坐标方向，或当它作用于负坐标方向的平面上而其外法线指向正坐标方向时，该应力分量为正。这意味着所有应力分量的符号与大多数连续体力学或应用力学书中的符号相反。
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