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（P11-P20 ）
可以看出公式Q结合了两个信息，一个是从,中得出的贫困“储备”，另一个是从术语L中捕获到的贫困“流动”，这个术语与贫困的创造和破坏相关联。例如，如果潜在的静态贫困表明的是贫困指标，那么L仅仅指的是在第2期-those who lose-陷入贫困的人数，G是那个时期脱贫的人数。如后所述，对于贫困差距，“流动”术语大致上是穷人个人收入增长率的加权度量。
重要的是强调我们考虑的所有措施共同的（1）的两个属性。首先，对于固定的，任何时期的剥夺增加都会导致更高的动态剥夺。然而，这并不意味着多周期测量在d1和d2中是单调的。我们考虑的措施满足了这种额外的单调性限制。对于上述示例，这转化为对值的约束。特别是单调性要求和。因此，单调性对“流动人口”相对于“贫困储备”的重要性起着重要作用。
图1：单调性和损失规避限制在贫穷创造和破坏中的权衡。
我们的第二个关键公理是-损失规避公理-，这与刚刚讨论的证据一致。也就是说，让，并考虑剥夺路径，i.e.,即“反转”剥夺流。这意味着，虽然跨越时间的总体静态剥夺对于两条路径都是相同的，但如果与剥夺的增加相关联，则与相同幅度的减小相关联。注意：
所以如果，则剥夺增加的迹象为正值，而减少则为负.16
图1说明了我们的公理-单调性和损失规避-所施加的限制，在二维空间中定义了上面介绍的贫困动力学线性度量系列。满足这两个公理的度量与阴影三角形有关。
我们用一个数字示例来总结本节，说明了刚刚在收入动态空间上描述的一组措施引起的秩序。下面的表1a总结了三个假设社会A，B和C中个人收入分配情况。假设贫困线为10个货币单位，高于该阈值的收入被编码为10 。为了简单起见，我们假设有四类收入轨迹，一类对应于那些永远不穷的人，一种与那些总是贫穷的人（但仍然在试验收入从5增加到7.5的人）相对应的收入轨迹，下降的个体陷入贫穷，进入贫困的个人。表格前三列描述了每个社会的收入流分布情况。例如，在社会中，88％的人口从未贫穷等等。表1a的最后两列显示了每个相应收入轨迹的剥夺流。这些专栏中的每一列分别使用上面介绍的基础静态贫困措施之一，贫困指标和贫困差距。[1]
-
表1a：数值示例：收入和消费流表1b：数值示例：贫困股票和流动使用表1a，可以直接在每个时期t计算静态贫困，贫困创造L和贫困破坏G.这在表1b中有报告。 这些是计算公式（3）的多期贫困度量所需的投入。 例如，将贫困差距作为潜在的静态贫困衡量标准，每个社会的功能和的多期扶贫措施由下式给出，and. 对于固定对，这些指标定义了社会之间的排名。 所有与单调性和损失规避相一致的措施的家庭产生一个部分秩序：社会的收入动态X主导着社会的收入动态Y，如果对于图1中阴影三角形的所有对。从上 16注意，这个限制并不一定意味着收益将与剥夺的减少，这就要求gt; 0。虽然这无疑是一种可能性相关联，该框架允许向上“调整成本”，但它需要这些费用成为流出的贫困比流入的贫困小。面我们可以得出 ，对于所有和可以显示为严格的负数17。因此，社会A主导社会B。注意到，减贫在社会B中较高，而由L G衡量的“贫穷流动性”也是如此。然而，我们的措施衡量了股票，社会中的平均贫困程度A远低于社会B。此外，即使社会B比A更具有贫困破坏，也有更多的贫困创造，损失比失去厌恶指数的收益更重要。类似的练习表明，A也支配着C.比较B和C我们看到如果，则该数字为正数，否则为负数。因此，对于家庭B中的一些措施优于C，而对于其他方面，排名相反。特别是，如果贫困流动比较重，社会B比社会C好，反之亦然。事实上，社会B的平均贫困程度要高于C，而且还有更多的贫困。这个简单的例子说明，一般来说，我们采取措施的排名与通过减贫和贫困流动性来看，排名不一样。我们根据我们的经验应用进一步讨论。在续集中，我们提出了定义我们的多时期贫困测度的主要公理，与随时间相同的总体剥夺的增加结果序列的偏好一致。然后，我们描述这些措施在收入动态空间中引发的秩序。
3多期扶贫措施
我们根据多时期的福利属性来介绍贫困措施。社会由N个人组成。每个时间段或“时间窗口”表示为.18简而言之，福利属性被称为“收入”。个人i在时间段t的收入用表示，是个人收入路径。可能收入水平的集合由Y表示。我们假设Y具有由表示的完整线性顺序。具体而言，这允许专项福利属性，如个人的就业状况19。所有可能的收入路径的集合是。在时间t，队列具有收入概况。后者相当于静态收入分配。队列的收入路径曲线为。我们专注于基于进出的贫困状态转换多期贫困的措施。这个状态是基于（每周期）的定义和贫困的措施的底层静态的。
3.1 贫困状况和基本的静态贫困
静态贫困线是收入水平，如果，则在时间t被认为是个人。静态贫困措施是基于个人剥夺和聚合的个别措施。剥夺个人的措施满足一组“核心”公理：焦点，单调性，连续性和规范化。聚合的主要公理是对称性和亚群可分解性20.以下考虑的静态措施也符合这些公理。通过这些公理暗示的属性由下面的定义概括。 17因为在参数中是线性的，所以在阴影三角形中的那些对最小化是一个线性程序。 因此，通过三角形的顶点之一来实现最小值，并且评估这些顶点的目标，显示。 18 在我们的实证应用中的每个“时间窗口”相当于五个日历年。因此，时间段不应与历年混淆。每个窗口的日历观察数由贫穷的潜在定义决定。在我们的应用中，贫困状况是根据五年的收入观察而定义的。 19 如应用所示，我们的方法需要纵向数据。在许多发展中国家，有关相关知识属性的小组数据难以确定，但可能需要根据前几年的调查对象来构建流的过去价值观。在这种情况下，如就业状况的分类数据可能会大大高于其他减少噪音的措施。 20 请参阅附录中的公理正式。小组分解意味着贫困的措施是整个社会成员的添加剂。对称性意味着，贫困变量的贫困指数水平完全取决于特定个人的收入水平，而不是她的准确性，因此个人的个人剥夺功能相同。
定义1（静态测量）一个函数是一个单独的静态度量的剥夺或贫穷，如果不增加，和对于所有的ygt;z。如果一个函数被认为是可接受的静态贫困度量则
对于一些个人剥夺功能。所有可接受的静态贫困措施的集合由表示。
我们用指定具有个人剥夺功能的静态贫困度量。例如，如果 1（·）是指示符函数和
，
则是人口比例，那么在给定时刻的个体的比例。Foster，Greer和Thorbecke[1984]（FGT）引入的一个受欢迎的静态贫困措施家庭由单一参数和个体剥夺功能定义
对于，减少到贫困指标。对于，公式对于与贫困线的距离很敏感。的情况下对应于广泛使用的贫富差距。
简单起见，我们考虑静态贫困的措施的一种额外的限制。特别是，我们假设，除非贫困指标是总人数，贫困地区的个人剥夺是严格单调的。修正静态剥夺措施，并且让成为可能的剥夺值的集合，并且只要不导致混淆，写。我们先前的假设，意味着无论是，或者当时，是所有FGT的家庭情况。21
3.2多期匮乏和贫穷动态
我们采取与收入路径相关的贫困措施，满足与静态措施相同的基本公理。22
定义2
函数是多阶段贫困的个体度量，如果不增加，则其最小值为零，其最大值为1.函数被认为是可允许的多期贫困度量，如果
（4）就像静态贫困措施一样，上述假设假定个别多期贫困措施满足单调性和正常化。同样，总体贫困度量可以从子群体的可分解性和对称性公理中得出。然而，与静态贫困措施相反，我们不要求存在多时期的贫困地区。上述定义对于确定“随时间流逝的人”是完全不可知的。如下所述，我们最终对由一系列贫困措施引起的收入过程的命令感兴趣，这些贫困措施应允许随着时间的推移，任何合理的多层面的贫困定义。在下文中，我们提供了限制个别多期剥夺措施q的性质的公理。
4主要公理和演示
我们为一系列措施引入一个公理基础，概括了第3节中介绍的措施。我们的主要结果是表征满足它的个别多期措施的明确表示。
所有证明均在附录中。
在第3节的例子中，允许个别的多期剥夺措施取决于随着时间的推移剥夺或不服从指数的水平和变化。该指标是评估每个时期的福利及其变化-时间和损失的单位指标。我们的缩放公理介绍了这一措施。
公理（SC）[缩放]对于每个q，存在静态剥夺索引，使得对于一些单调函数，其中。一些言论到位。首先，我们使用来指定一个满足公理（SC）对于给定的尺度和单调函数的度量。第二，给定度量q完全由单调变换M确定。
进一步，对于一个，任何收入路径与剥夺路径相关联。我们所有的公理都可以重新定义为一个固定的的剥夺路径，并被解释为对单调函数M的空间的限制。我们选择在收入方 21 这是一种温和的限制，主要是为了说明。
22 在这种情况下，跨期剥夺由两个属性确定，第一和第二期的收入。同样的公理用于推导基于静态收入的贫困措施，可用于推导出多维度的贫困措施。 参见例如Bourguignon和Chakravarty [2003]。
面呈现公理来强调原始。 第三，从理论的角度来看，公理并不能阻止该措施直接依赖于福利属性的等级或路径。例如，Y=R，是线性的（如贫困差距），贫困线Z可以选择任意大小。公理允许更一般的不适性指数，它适应任意增加的函数和Z：。但从实践的角度来看，我们认为有必要把重点放在普遍的静态贫困措施上。在这种情况下，公理（SC）指出，贫困衡量标准跟踪了预先确定的静态贫困状况之间的转变。
为了介绍我们的下一个公理，我们指出，剥夺路径可以总是由剥夺变化的（T-1）组件向量和严格增加的实值映射v(d)来描述在所有的论点。形式上，任何这样的，即分配给各对的图是一个双射。此外，可以选择地图完全依赖于收入水平，而不考虑流中的序列。为了做到这一点，我们引入一些符号。每个收入流在收入水平上诱导概率分布：对于每个，分布将“经验”频率分配给收入.由y引发的Y上的分布不变，收入随着时间的推移。23由路径引发的分布完全独立于连续周期之间的轨迹或收入变化。因此，如果q(y)单独是的函数，则它独立于收入或剥夺变化。另一方面，给定索引和收入路径y，剥夺变化的(T-1)维向量是
我们的下一个公理规定了一个关键的可分离性条件。
公理（SF）[股票流动分离性]在其所有论据中存在函数的增加（对于而言),因此
(SF2) For all x,xrsquo;,y,yrsquo;such that and
q(x)q(xrsquo;)q(y)q(yrsquo;) 23 例如，如果T = 2，y =（10; 20）并且yrsquo;=(20,10)，则a(y)=a(yrsquo;)，并且该分布将10和20中的概率1 = 2分配， 他们的时间顺序（和0到任何其他）。 我们注意到条件（SF1）本身是空泛的，因为正如我们所说，我们总是可以将流分解成一个跟踪从一个时期到下一个时期的变化的组件，以及不变的收入水平排列的“剩余”跨周期。然而，结合（SF2），残差必须使得剥夺措施可以表示为的可分离函数。实际上，在附录中，我们显示公理（SF）意味着存在单调函数和功能使得，其中是从一个时期到下一个时期可能的剥夺变化的集合。直观上，我们可以将作为独立于流的“形状”的收入水平的估值。因此，（SF）是一个强大的限制，因为它使剥夺变化的估值-“流动”独立于剥夺水平的估值-由捕获的“储备”。与此同时，这种流动性的分离性产生了直观性，并且在最近关于参考依赖偏好超过消费流的文献中的突出例子（Gilboa[1989]，Bowen，Minehart和Rabin[1999]，Koszegi和拉宾[2006]）。我们将其视为直观的基准，如简短所示，允许在收入流分布的空间上显性地表征优势关系。还要注意的是，与公理（SC）相结合，我们必须有的一些函数V，这也是不变的其参数排列。在我们的激励例子中，T=2,V(dI,d2)=(d1 d2)/2和我们需要一些符号来介绍我们的下一个公理。让表示由R(y1,y2,...,yt)=(yt,...,y2,y1)定义的“反射图”。我们写对于“支持”的收入增加的集合,i,e.,，即在每个时期，收入是Y。观察到，如果rsquo;是增加收入的路径，则R（y）是收入下降的路径。24另外注意，，即，y和R（y）与上的相同分布相关联。因此，虽然这些路径中的每一个与完全相同数量的收入的周期相关联，但y与随时间的增益相关联，而R（y）与损失相关联。公理（LA）[损失规避]任何 WITH 和任何收入流，多时期贫困的个人剥夺度量满足，随着的增加而增加。简而言之，符合第2节讨论的证据，公理（LA）表达了一个个体从不断增长的路径经历（弱）更高的幸福感的想法，而不是减少。我们接下来的两个公理在中限制了我们的测量对轨迹的依赖性。令 AND 表示为时间间隔。给定两个任意收入流24 我们提醒读者，按照贫困文献，本文中“收入”仅仅是指相关的福利属性。也许消费会对应。更准确地说，大多数经济学家将会考虑一个天然的效用载体，在这一方面，下降（增加）可被认为是消费下降（增加）的一条道路。我们使用来表示收入流，使得xt=kt，对于， for 。 公理（TD）[时间分解性]对于任何非空时间间隔和收入
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