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基于混合域有限元耦合和HISS塑性模型的群桩三维非线性地震分析
摘要：本文研究了在地震荷载作用对桩群浮动的三维非线性动力分析。对于一般的地基非线性动力分析，特别是桩基础的非线性动力分析，确保无界土支撑的频率特性以及局部时间非线性的精度至关重要。本文将有限元（FES）和边界FEs耦合在交变频率时域的混合域中，分析在三维空间中桩基础的非线性动态。在频域上，无限远处土体的刚度和阻尼的频率特性通过无穷小有限元单元法（CIFECM）来描述，在时域上，非线性和瞬态条件通过有限元来模拟。采用混合频域-时域算法对两个域进行耦合。为评估非线性效应，采用了一种基于塑性的、分级的单表面（HISS）土壤模型，并在论文中使用了已知结论验证了这种方式对桩基的适用性。并对粘土中2times;2桩基进行了瞬态动力响应分析，得出了在弹性和非弹性土条件下，不同桩间距的动力阻抗和运动相互作用因子。结果表明，由于土体的塑性作用，群桩的侧移刚度和阻尼均显著降低。
介 绍
三十年来，人们发展了许多数值分析方法来计算桩基础对外部动力荷载和地震荷载的响应。最初研究工作是基于质量、弹簧和阻尼器的离散系统。传统的非线性土-结构动力相互作用分析的时域方法通常采用Winkler模型进行远场分析，而有限元(FEs)用于近场分析。一维Winkler模型对土体的近似建模不能得出三维问题的真实瞬态响应。该方法只是近似处理，特别是在非线性条件下。而其它基于有限元公式的时域方法被用来预测三维系统的瞬态或者非线性响应。然而，在这些方法中，对无边界土的频率特性只能以近似的方式来表示，特别是在荷载为瞬态的情况下，例如地震荷载。此外，这些方法所采用的局部/传递边界不能模拟应力波为斜入射时的边界条件。
在频域使用边界积分方法一般只能用在线性或至多等效线性系统的稳态响应分析。Knappett和Madabhushi（2009）通过一组离心机和轴向载荷的数值研究，研究了土壤行为的简单分析对放大效果的影响。Haldar和Sivakumar Babu(2010)研究了液化土中桩基础的破坏机理。Maheshwari和Sarkar(2011)考虑了土体液化对土-桩-结构相互作用的影响。Sarkar和Maheshwari (2012b)研究了液化条件下桩土分离对土-桩相互作用动力特性的影响。Sarkar和Maheshwari (2012a)研究了塑性和液化对群桩动刚度的影响。Huang和Shi(2013)研究了排桩在衰减水平振动中的应用，并利用应变楔参数推导桩的横向响应。
为了获得真实的非线性响应，必须充分考虑系统的频率相关性，同时考虑系统响应的时间和三维空间变化。通过将有限元法和边界元法的优点以及频域和时域技术结合起来，可以实现上述要求，在频域上采用有限元与边界元法，对二维和三维土结构体系进行了弹性分析。同样的在时域中也进行了类似的耦合。作者证明了有限元-耦合模型能够分析具有弹性和循环非线性特性的三维土-桩系统。Syed和Maheshwari(2014)实现了时间域内的femscale边界 有限元模型的耦合。
近年来，在频域进行非线性分析的方法有很多。本文提出的方法是基于混合频域(HFTD)公式。此外，在本研究中，为了满足相关条件，采用了一致无穷小有限元单元法，并考虑了土壤的材料非线性，采用了层次单表面(HISS)模型。该方面作者是通过开发的MATLAB代码实现的，因为没有商业软件能够执行这项任务。
物理系统与建模
桩-土系统的三维模型(图1)由两个子结构组成，即一个无界远场(以下简称地面子系统或地面)和一个有界近场(以下简称结构子系统或结构)。通过耦合两个子结构得到了系统的动刚度(包括惯性、阻尼和刚度的影响)。对结构子系统进行了最小程度的选择，以准确地表示近场效应，如非线性效应。本算例中，通过反复试验从桩帽的边缘开始确定结构的边界。
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图1将桩土系统细分为远场和近场 |
需要注意的是，这里没有考虑几何非线性，假定了土与桩之间的完美结合。因此，没有考虑土-桩界面的滑移和分离。本文首次证明了HFTD在三维非线性动力学中的应用。因此，只研究材料非线性。同时，HFTD方法是通用的，因此可以应用于滑移和分离的情况。例如，Wolf(1988)演示了如何使用HFTD方法来获得基底分离的核安全壳建筑的地震响应。此外，模拟土塑性所采用的HISS模型可以用于模拟土与桩的界面。因此，将滑移和分离引起的几何非线性加入到所开发的算法中是很简单的。
远场的建模
利用CIFECM对远场进行建模，在近场和远场交界面上对不同频率下的无界域动刚度进行评估。该方法利用了相似度的优势，将模型缩小了一维。装配好的远场动刚度矩阵是一个完全填充的复埃尔米特矩阵，包含了远场的所有刚度、惯性和阻尼(滞后)特性。
近场的建模
近场(图2)是由土壤和2times;2群桩组成(桩帽宽度为2B，厚度为t)。桩心间距为s，桩身长度为L。将圆形桩等效为方形桩。在这三个方向上，将群桩边缘延长长度B所得到的近场大小均令人满意[图3]。2 (a)]。土和桩均采用八节点三维实体(有限)单元建模，质量矩阵一致。假定土体中的阻尼为滞回型。利用对称性，只建立了实际有界域的一半，并将相应的对称边界条件应用于对称面上的各个节点[图2(b)]。
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图2近场的物理模型和有限元:(a)全模型;(b)模型的一半 |
假定桩是均匀各向同性弹性材料。桩体材料的杨氏模量为，桩体材料的泊松比为。桩帽被认为是无质量和刚性的。它靠在桩头上，桩头略高于土壤表面;因此，桩帽刚性地连接所有桩头，而不直接与土壤相互作用。认为土体是均匀的，杨氏模量为，泊松比为，质量密度为，阻尼比为。
模型材料
土单元的非弹性行为采用HISS土模型(Desai 2001)模拟。在当前模型考虑了HISS中的参数。该模型考虑了土体的塑性和加工硬化，并考虑了土体的联合塑性。采用材料参数来定义八面体平面的形状屈服面。假设，无量纲屈服曲面F可简化为：
其中为应力张量的第一不变量；偏应力张量的第二个不变量；为大气压强；为硬化函数；和n是影响在空间处无量纲曲面F形状的材料参数；参数n于相变点相关，该点与物质从收缩变为膨胀的行为相关（图3）；硬化函数定义按照塑性应变轨迹，表示为
其中和是材料参数；是体积塑性应变轨迹。该模型的典型屈服面为
如图3所示。
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图3 HISS土体模型在空间处的屈服面形状 |
荷载和边界条件
谐波荷载可以作为桩帽质心处的外动力荷载，也可以作为近场和远场交界面处的地震激励。在这两种情况下，初始瞬态响应的准确评估都要求超过关注时间部分的加载变为零。这种修改导致傅里叶振幅谱与连续谐波负载时程相比发生了显著变化。因此，必须分析更多的频率，即使是谐波负载。近场在侧面和下方受远场边界的限制，而上表面是自由表面。对于半模型，侧面上存在对称边界条件。（1）是桩帽在横向荷载作用下转动自由度被约束，（2）是桩帽在竖向荷载作用下转动自由度被约束，（3）是表示地震激励且未约束状态。
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图4 在水平（a），垂直（b）和地震（c）激励下的桩帽约束 |
方 法
当前工作中，采用HFTD方法来评估桩基础的非弹性动力响应。该方法的两个主要步骤是(1)瞬态弹性响应的评估和(2)利用非线性刚度产生的伪曲面对响应进行迭代修正。所提出的非线性分析是Emani和Maheshwari(2009)提出的线性分析的扩展，并通过桩群的弹性分析验证了FEM和CIFECM耦合在三维土结构系统中的适用性。因此，本文不详细讨论近场(FEM)和远场(CIFECM)之间的耦合。在HFTD算法中，虚力在时域内进行评估，并用迭代的方式修正系统响应的线性估计。在每一次迭代中，考虑前一次迭代近似的响应，并对每一次时间步长计算对应应变水平上的真实非线性内力与线性内力的差值。为此，采用HISS土塑性模型。这给出了虚力的时间历史，当在频域求解时，它给出了对下一次迭代响应的改进估计。
验 证
利用弹性分析结果验证了所提出的FE-CIFECM耦合方法对土-结构体系频率响应的评估准确性。当前工作中，HFTD算法的验证及其在三维有限元问题中的实现是通过三维悬臂梁在突然施加的均匀分布荷载作用下的弹塑性动态分析来实现的。此外，还对群桩的抗震分析进行了验证。
悬臂梁的非线性瞬态动力分析
图5为悬臂梁的几何形状、边界条件和有限元网格以及加载的空间变化。梁被认为是由一个完美的塑料材料遵循冯米塞斯屈服准则。材料性能如图5所示。假定阻尼矩阵与质量矩阵成正比。非线性动力响应历程如图6所示。可以看出，使用当前算法得到的结果与发表的结果完全一致，验证了HFTD算法。
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图5 悬臂梁有限元法用于三维非线性动力分析的验证 |
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图6 悬臂梁尖端节点A的弹塑性响应历史 |
2times;2方桩群的运动相互作用因子
利用该方法对弹性土在频域内的行为进行了频响分析，得到了单桩和2times;2群桩在界面处简谐地震激励下的稳态运动响应。平动的运动学相互作用因子(KIF)是同一水平上桩帽位移()的稳态值与自由场位移()的幅值之比。同理，旋转的KIF定义为桩径(d)与桩帽稳态旋转()振幅的乘积与自由场位移振幅的比值。图7对比了用现有方法得到的KIFs和用严格边界积分公式得到的KIFs。在图7中无量纲频率，其中是激振频率，是桩径，是土体的剪切波波速图7显示了当前的结果与Kaynia和Kausel的结果相当一致。KIFs的差异，特别是旋转的差异，是由于有限元离散化在波传播分析中引入的误差所致。这验证了所开发的地震激励算法的有效性。
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图7平移和旋转中的运动相互作用因素：（a）变形（单桩）；（b）变形（s/d=2）； （c）转动（s/d=2）；（d）变形（s/d=5）；（e）转动（s/d=5）；（f）变形（s/d=10）；（g）转动（s/d=10） |
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结果:使用输入数据
应用验证的分析方法对群桩的响应进行了分析。该方法在考虑桩-土-桩相互作用(PSPI)的同时，可以考虑各种近场不均匀性(如斜桩、桩帽与地面接触等)下的非弹性行为。如图8所示，分析了四个有限元模型。从图中可以求出桩的大小、桩间距和模型的大小。在所有模型中，直径为0.6 m的单桩均为方桩，其等效边长为0.527m。所有桩长均为9.0m；因此，对于所有的桩，L/d=15。
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图8 有限元半模型的网格划分细节：（a）单桩；（b）2times;2的群桩，s/d=2； （c）2times;2的群桩，s/d=5；（d）2times;2的群桩，s/d=10 |
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计算中使用了土壤、桩和桩帽的以下材料参数：
，，
，，
，，
对于刚性无质量桩帽来说
，，，，=0.78
对于土壤的非线性HISS模型。
Wathugala和Desai（1993）以及Desai等人报道了HISS模型参数的评估以及三轴试验结果预测的验证。对谐波激励和瞬态激励进行了分析。研究了谐波作用下，非线性对不同激励频率下的动力刚度和地震反应的影响。而对于瞬态激励，地震响应对实际地震激励下的非弹性行为进行了分析。结果将在下面章节中讨论。
非线性对动刚度的影响
本章给出了弹塑性半空间中单桩和2times;2浮桩群的动阻抗计算结果。为了评估单桩和群桩的水平（或垂直）阻抗以及相应的模型在桩帽顶部受到水平（或垂直）力。该荷载在桩帽的中心对称施加，同时限制荷载节点的自由度，在荷载方向以外的方向，如图4的（a）和（b）所示。实际上，这相当于一个固定桩头。
对于谐波荷载，通过计算在0.5 ~ 20Hz范围内不同激励频率下的动力刚度，研究了频率的影响。在这个范围内，无量纲频率大约在0.025到1之间，在文献中通常用于土-结构相互作用分析。非线性效应受动力幅值的影响很大；因此，必须指出。计算动力阻抗时，2times;2
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