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英文文献翻译
国际热质交换学报47（2004）4685-4695
多孔通道内流动温度场的格林函数解
A.Haji-Sheikha,*,W.J.Minkowyczb,E.M.Sparrowc
a德克萨斯大学阿灵顿分校机械和航空航天工程系，阿灵顿西第一街500号，美国TX 76019-0023
b伊利诺伊大学芝加哥分校机械与工业工程系，美国伊利诺伊州芝加哥60607-7022
c明尼苏达大学机械工程系，明尼阿波利斯，MN 55455-0111
2004年4月29日收到；以修订版收到2004年6月1日
2004年7月20日在线可用
摘要
近来，多孔通道中的热传递已受到许多研究者的关注。Green的函数解法可以用作完成此任务的有力工具，可以为轴向传导影响的这类问题提供解决方案。本研究的主题是在没有轴向传导的情况下，重点研究摩擦加热的传热问题。作为一个简单的例子，考虑了两个不可渗透的平行板之间流动中的热传递的数值研究。考察了壁面温度变化，摩擦加热以及综合影响的各个影响。数据表明，在某些边界条件下，组合效应可产生可移除的奇点。为了避免在这些类型的应用中出现奇点，某些传热参数以不同但基本的形式表示。
关键词：格林函数；多孔通道；摩擦加热；通道流量；对流
- 简介
Green函数解是解决存在体积热源和各种边界条件的情况下线性传热问题的强大工具。这样的解决方案提供了对具有不可渗透的壁的多孔通道中的流动的一般问题的认识。为了简化说明，忽略了轴向传导。轴向传导效应的研究被推迟了，因为它需要对函数关系的广泛修改，超出了本演示的范围。
最近的许多研究使用称为Brinkman–Forschheimer–扩展的Darcy的通用流动模型。Kaviany [1]使用Brinkman扩展的Darcy模型数值来获得由等温平行板界定的多孔通道中的层流。在各种教科书中，例如在Nield和Bejan [2]，Kaviany [3]和Vafai [4]中，对多孔介质中流动的研究已有报道。Angirasa [5]讨论了多孔介质中输运方程式发展的历史以及有限差分模拟。
这项研究报告了使用格林函数解在不同横截面管道的入口区域进行传热计算的精确数学关系。文献[7]报告了存在摩擦加热和轴向传导的入口流问题。对于平行板通道，对于圆管的研究在文献[8]中进行讨论。关于摩擦加热项的形式在[9]中讨论，在[10]中进行了修改。
在这项研究中，使用格林函数解分析了平行板通道中存在摩擦加热时的传热，这是一个精确的级数解，需要计算一组特征值，其中包括对收敛性和精度的讨论。 摩擦加热和壁温变化的综合作用表明存在一定的奇异性。
二、速度场的一般公式
通过限制在具有恒定横截面的导管内的多孔介质对完全展开的流动进行传热速率的计算（图1），需要了解速度分布图。假设热物理性质保持恒定，并且Brinkman动量方程式 保持充分发展的流动，
当压力梯度是常数，可以使用有效粘度，流体粘度，渗透率和特征长度来设定公式（1）的无维数形式
，
无量纲参数为和是达西数。在边界条件 的情况下,方程(2)的解通常是可以解析得到的。一旦速度确定，有关系式如下：
则公式(2)的关系式提供平均速度。由于流体沿x方向流动，公式(2)中的拉普拉斯算符根据坐标系的不同采取不同的形式。
三、温度场的一般表述
假设局部热平衡的条件是有效的，则当速度完全发展且热物理性质与温度无关时的能量方程为
在这里，是经典的体积热源，包括各种形式的摩擦加热的贡献。参数和是等效热电容和导热系数。在数学上，有可能假设和；然而，在随后的分析中，它们仍然独立于。使用这些指定的条件和方便的数学公式，方程（4）成为
在以下公式中，作为速记符号，方程（5）左侧的前两个项将被指定为。 第二个术语在等式的右边。本文的重点是研究多孔材料在通道中摩擦加热的影响。为此，为了简化数学程序， 给出了具有较大佩克莱数的流动；因此，轴向传导的影响不包括在随后的公式中。
四、格林函数解方程的公式
最好是用最一般形式的基本变量来表示格林函数解的推导。 然而，在数学公式中，下列假设适用：1.在整个完全饱和介质中存在局部热平衡条件 2.这种流动是完全发达的，因此是 3.因为条件2的原因没有压缩工作 4.热物理性质与轴向坐标无关 5.稳态条件存在于整个介质中 6.轴向热传导的影响可以忽略不计（大的佩克莱数）
格林函数在数学上描述了源的贡献。格林函数描述一个源的影响，来描述格林函数的一个微分方程是
格林函数G满足沿通道边界（轮廓）的均匀边界条件，下一个任务是找到广义格林函数 能量方程的这种抛物线形式的解。 改变方程（6）中的导数，对于y和z，对于和，对于x，对于，则提供以下关系：
其中意味着梯度算子在或空间中。还有在空间中，当x被替换时，方程（5）写为
方程（7）乘以T和方程（8）乘以G，然后减去结果产生关系
使用[6]中描述的标准程序，等式（9）的两边将在空间的截面面积A和从0到的上集成，其中是一个小的正数。在应用格林定理之后，在让变为零之后，结果是
其中A代表通道的截面面积，代表截面面积的轮廓，见图2因此，一旦方程（7）可解，方程（10）提供 边界温度、规定热流、初始条件、体积热源、摩擦加热等任何变化的温度解法，就可以对所有可能的案例进行数值研究；然而，通过两个平行板之间的多孔介质流动主要是为了说明这一过程。
在方程（10）的右侧有三个贡献。第一项表示边界条件的贡献，第二项包括摩擦加热的影响，第三项描述了温度场在入口位置的影响。 因此，本说明的其余部分讨论了对这三项贡献的影响的研究在平行板通道中流动。
4.1.摩擦加热的一般影响
布林克曼动量方程包括在经典动量方程中加入达西项，而被替换为；矢量V是局部速度矢量。用有效粘度代替流体粘度并假定局部热平衡后，用应力张量与变形张量之间的经典关系推导出布林克曼动量方程。
在布林克曼动量方程中，项表现为单位体积的内力，作用于体积单元及其对能量方程的贡献是。此外，对于管道中的流动，应包括壁面附近摩擦加热的贡献。提出了三种不同的模型，并在[7]中使用分析平行板通道摩擦加热。
第一个模型忽略了壁面的摩擦加热，在这种情况下，源项变为。在第二个模型中，对于平行板通道，源项是。在第三个模型中，对于平行板通道，源项是。前两种情况的基本理论在[9]中进行了讨论。[10]讨论了[9]中提出的理论和介绍，在第三个模型[7]中使用了一个新的模型，并进行了修改，即用流体粘度代替有效粘度，以考虑摩擦加热的贡献。为了验证摩擦加热在第三模型[7]中的适用性，进行了独立推导。在公式中，应力张量、变形张量和相对论在这两个张量之间，产生了布林克曼动量方程。使用经典的方法，这个公式在[10]中而不是在[7]中得到了与理论模式一致的能量方程。因此，在本研究中，以下数量定义了体积热源的贡献，用于通过充满完全饱和多孔材料通道的完全发展的流动，数量关系如下：
4.2温度解
根据方程（12）为了方便本文的介绍，图2中所示的通道的无量纲温度被分解为两个贡献，
其中呈现摩擦加热的贡献，描述了壁面温度变化的影响。当时，壁面无温度变化；温度解为此解决方案扩展到的其他值。格林函数用于，使用条件和，是
因为函数当时有一个零值，这就是在的条件。当时，壁面条件是。的解很容易得到，在文献[11]中对不同多孔通道的形式进行了研究。形式如下：
其中，
变成
并在后续计算中使用。在方程(14b)的第二项中，变为负责更换标志。
由于分析的确切性质是基于格林的函数解，因此有必要为特定的段落定义格林的函数。 选定的管道结构是平行的平台图3中的通道。当时，摩擦加热在开始，假设恒定的温度场在和时为，见图2，在处，有一个壁面温度跳跃和当时图3还描述了这一通道的坐标系统和边界条件。
五、平行平板通道中的摩擦加热
首先，有必要计算格林函数。作为一个例子，对于两个平行板之间的流动，相隔2H的无量纲距离，[11]中提出了一个解决方案。在没有摩擦加热和轴向传导的情况下，可以使用无量纲参数写入，比如：
其中在x轴变换后，和。正交条件导致这种关系
其中
当，壁面边界条件是时，比较方程（14）和方程（15a）得到：
获得摩擦加热的贡献和其他可能的变壁温度条件需要进一步修改以预测轴向传导和轴向传导的影响翅片效应。因此，对于两个平行板之间的流动，函数[11]可以找到摩擦加热引起的温度升高。对于两个平行板之间的流动，布林克曼动量方程的解得到完全展开的速度分布，如下：
使用级数解，下列关系产生函数，关系如下：
图三（a）表示的对称性，因为板之间相距2H，在参考文献[11]中可以根据如下关系式求出其中，特征值，方程（19a）中的另一个参数是，基于从方程式（16b）中提取的具有格林函数的方程式（12），包括摩擦加热的温度解为
一旦根据公式（20）确定了温度场，就可以从以下定义获得传热系数：，其中
在没有摩擦加热的情况下，方程（20）中第一项的功能行为在[11]中有很好的记录，并给出了选定的值的特征值。方程（20）中第一项的收敛性取决于的值。例如，当时，第10个特征值为。因此，有可能有一个解决方案，例如当时，即。 此外，一个具有35个特征值的解，当xgt;0.0009时，得到的结果具有相似的精度。
在没有壁温变化的情况下，摩擦热在等式（20）中的贡献为
对应的壁热通量，在处用导致以下关系：
这种热流关系有几个优点。 方程的右边依赖于而是唯一的参数。 方程（23）的收敛性目前的形式是不好的，改进其趋同的补救措施将在以后出现。在图4（a）中，将不同的无量纲热流的值绘制为的函数。对于大范围的坐标轴，当较小时，热流数据与时的渐近解有相当好的一致性。用标准傅立叶谱仪求出当时的渐近关系；即这表明当较小时，壁面对摩擦加热的影响较小。还有，图4（b）显示了利用该关系得到的平均壁面热流密度，关系如下：
图4(b)中还包括的渐近行为， 一旦和被知道，所有其他信息，如局部/平均传热系数和体积温度都很容易或得。
在任何位置，局部传热系数的一般公式都通过以下关系式与整体温度有关：
其中：，包含在等式（25a）和（25b）中的无量纲速度，等式(17)的值是 ,
其中，对于给定的参数，方程（25a）中的积分具有固定值，即
除了无量纲轴坐标外，局部和平均努塞尔数依赖于和Br。因此，在单个图中表示局部和平均热流更为简单，因为壁面温度的变化，如果需要可以将结果与壁面热流结合起来，使用公式（23）的热通量值，通过将公式（27）应用于材料元素的热力学第一定律，可以得到整体温度：
随后，局部努塞尔数是
下面的关系式是当时的极限值：
其中，是一个源函数，
等式（22）的收敛最好是慢的，等式（23）的收敛是不令人满意的。例如，使用，图6中的数据显示在x较大的情况下， 基于方程（23）的解与其精确极限值（27）之间存在较大偏差。对方程（20）的研究表明，该解有两个贡献：完善的解和互补的解 入口解如下：
其中
为了提高的精度，应将完全展开的分量替换为精确的完全展开的解，即
为了更好的精确性，方程（23）采用如下形式：
由于处的导数，互补入口解收敛略慢于方程(31c)。 当使用方程（21）去计算体积温度，由于完全发展的解决方案和一个由于互补的入口解决方案，就会有体积温度。区域上的集成增强了互补入口解决方案的收敛性。
数值例子：目的是证明摩擦加热和壁面温度变化对方程（25a）中努塞尔数的总体值的综合影响，所有计算都是在[13]上象征性地执行的。 此示例讨论两个限制情况的解决方案， 当足够大时，方程(30a)的右侧说明摩擦加热对本体温度的影响。方程（20)和(25）是在除了表面热流包括壁面温度变化对块体温度和粘性耗散的贡献，这些信息提供了图7(a)中绘制的总传热系数。
六、讨论
数值例子说明了格林函数解方法的实用性。此外，它还证明了摩擦加热在通道流动中的总体贡献，包括对壁面的贡献、吃通量、壁温变化对壁热通量的影响具有相似的确定性，如[11]所示，局部和平均传热系数的相关性在[11]中。这些贡献中的每一个都可以提供相应的传热系数。事实上，平均传热系数的知识是非常重要的，因为它允许从业者从经典关系中很容易地计算体积温度：
因此，在没有摩擦加热的情况下，可以利用现有的传热系数知识来计算壁面温度变化的影响。此外，本研究还讨论了溶胶摩擦加热的影响从任何位置开始，这取
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资料编号：[239319]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word
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