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砂粒的三维球度、圆度和分形维数
B.ZHOU*,J.WANGdagger;,and H.WANG*
摘要：不同尺度的颗粒形态特征是了解天然砂的地质成因和力学行为的关键。在这种情况下，有必要通过定义一系列合理的描述符来描述和量化这些形态特征。在本研究中，基于从一系列图像处理技术中收集到的X射线微计算层析成像（mu;CT）图像，作者首先引入了球面谐波分析来重建砂粒的三维（3D）真实表面。然后引入三维球度、圆度和分形维数来定义颗粒形态的整体形式、局部特征和表面纹理。在球面谐波重构表面的基础上，建立了一种新的框架来测量砂颗粒的三维球度、圆度和分形维数的描述符。三维分形维数是表征真实砂粒表面形态分形性质的原始描述符。利用所提出的方法，对两种天然砂颗粒的形态描述符进行了测量。统计结果表明，在不同的特征尺度上，不同描述符之间存在着明显的相关性。相关性在很大程度上依赖于形态描述符的特征尺度之间的距离。
关键词：离散单元建模；分形；砂土；砂土分类
[1] 1.引言
颗粒形态是一种固有的砂土特征，对理解天然砂的力学行为起着重要的作用。许多实验研究表明，颗粒的形态特征对砂的压缩性、抗剪强度、压碎性和临界状态行为等宏观力学性能的影响很大（Guoamp;Su，2007年；
Rouse等人，2008年；Tsomokosamp;Ge-orgiannou，2010年；Altuhafiamp;Coop，2011年）。由Cundallamp;Strack（1979）首次提出的离散元法成为研究砂土基本行为的一种替代方法，并在阐明影响砂粒力学性能的颗粒形态微观力学方面做出了重要贡献（Wangamp;Gutierr-ez，2010年；Mahmoodamp;Iwashita，2011年；Zhou等人，2013年）。为了确定颗粒形态对实验和数值框架中砂的力学性能的影响，预先表征和量化颗粒的形态特征是必要的。在这种背景下，使用包括球度、圆度和分形维数在内的三个描述符来定义不同长度尺度的颗粒形态，包括全局形态、局部特征和表面纹理方面，被广泛接受（
Sogaamp;Mitchell，2005年；Blottamp;Pye，2008年）。利用分形维数表征颗粒形态的自相似性，是一个引起许多学者兴趣的科学课题（例如Hyslipamp;Vallejo，1997；Santamarinaamp;Cho，2004；Lan-groudi等，2014；Hanaor等，2016）。
在工程和地质学中，球度和圆度通常被用来分类和量化砂土的形态特性（Mehringamp;McBride，2007年；Sa-ntamarinaamp;Cho，2014年）。根据W-adell（1935）的说法，通过将颗粒的表面积与体积相等的球体的表面积进行比较，就可以量化颗粒的球度，而圆度由所有角的曲率半径与颗粒最大内切球半径的平均比值来量化。在工程应用中，通过将显微视图Krumbeinamp;Sloss（1963年）和国际ASTMI提供的标准图表进行比较，可以很容易地测量二维（2D）球度和圆度（ASTM，2009年）。随着显微摄影和图像处理技术的发展，二维球度、圆度和其他一些描述符（例如紧凑度、凸度、角度和主尺寸）可以通过从颗粒的二维投影得到的图像分析和计算几何测得（Moraamp;Kwan，2000年；Sukumaranamp;Ashmawy，2001年；Altuhafi等人，2012年）。为了量化颗粒的表面纹理和粗糙度细节，采用了不同的定义，其中包括Alshibli等人（2014年）提出的局部区域的材料粗糙度指数（即：平均和均方根粗糙度），zheng和Hryciw（2015）的统计指数（即局部加权回归和k-折叠交叉验证）以及Bowm-an等人的傅里叶描述符。（2001年）和Mollonamp;Zhao（2012年）的2D投影。
对于早期在二维框架中的研究，应该强调的是，从颗粒的随机投影中测量二维球度、圆度和分形维数总是会产生随机且不准确的值。因此，三维球度、圆度和分形维数的测量对颗粒形态定量的真实性和准确性具有重要意义。在过去的二十年里，X射线显微计算机断层扫描技术的发展为砂颗粒三维可视化和表征内部微观结构和形态特征提供了强有力的工具。（
fonseca等人，2012年；Alshibli等人，2014年； zhao等人，2015年）。基于mu;CT图像，这些三维形态因子的计算方法可分为两种。第一组依赖于图像分析和计算几何在mu;CT图像的应用。通过对颗粒的组件体素应用简单的算法，可以很容易地测量颗粒的体积、转动惯量和主要尺寸（Forseca等人，2012年；zhao等人，2015年）。然而，由于其尺度相关特性（Hanaor等人，2014年）和边界检测算法的误差（Fonseca，2011年），测量合理的颗粒表面积仍然是一个挑战。从mu;CT图像中，颗粒的表面可以被边界检测算法和连通性准则识别的一系列边界体素捕获。然而，体素构造的表面总是以锯齿图案和由高阶连通性引起的重叠体素为特征。因此，在mu;CT分辨率的分析范围内，得到的体素构造的表面积总是高于实际表面积，从而极大地影响了球度的准确性（周等人，
2015年）。此外，也不可能从这种不光滑表面中获得粒子的正确表面曲率和圆度。
另一组主要包括基于mu;CT图像重建的颗粒表面计算几何特性的数学方法（Alshibli等人，2014；Zhaoamp;Wang，2016）。为了重建颗粒表面，人们提出了多种平滑算法（Field，1988；K-obbelt等人，2001）来同时去除阶梯状锯齿并保持颗粒的整体形态。在这种情况下，表面平滑的效率很大程度上依赖于mu;CT分辨率和算法机制。在数学上，用这种方法重建的颗粒表面仍然不是严格的连续和可微的，这导致了对表面曲率和圆度的不精确估计。为了克服这个问题，Mollonamp;Zhao（2013，2014）和Hanaor等人（2015）提出通过傅里叶描述子和分形几何模拟的三个正交二维截面的三维插值生成虚拟砂颗粒。然而，人为选择这些截面可能会导致颗粒形貌的局部特征丢失，特别是对于高度不规则的颗粒。基于这些原因，作者引入了一种更为复杂的方法，利用球谐函数（SH）分析来表征三维粒子形态并重建其连续的颗粒表面（Zhouamp;Wang，2015，2017；Zhou 等人，2015）。此外，砂颗粒闭合表面的三维分形维数的测量仍是一个尚未克服的重大挑战。
因此，本研究主要发展了计算真实砂粒三维球度和圆度的实用方法，并进一步提出了一种计算三维闭合砂粒表面分形维数的新方法。首先，利用高分辨率X射线扫描获得了两种天然砂粒的mu;CT图像：Leighton-Buzzard砂粒（LBS）和高分解花岗岩（HDG）颗粒。然后将一系列的图像处理技术应用到mu;CT图像中，提取每个颗粒的形态信息。然后利用SH分析重建三维粒子表面。在SH重建颗粒表面的基础上，对颗粒的表面积和局部表面曲率进行了计算和讨论，以进一步测量颗粒的三维球度和圆度。在此基础上，定义了砂粒三维闭合表面的分形维数，并将SH分析与图像分析相结合，建立了新的砂粒三维闭合表面分形维数测量方法。为了验证本文所提出的计算方法的有效性，文中讨论了这些形态描述符的统计特性。
2.颗粒表面重建
2.1mu;CT重建和图像处理
Leighton-Buzzard砂粒是在英格兰东南部Leighton-Buzzard镇附近开采的。它来自于沉积在浅海和河口环境中的下绿砂层序。矿物成分主要是石英和一些长石，具有化学惰性和较大的硬度。如图1（a）和1（c）所示，圆形和光滑的颗粒形态可能是地质运输过程的结果。HDG，通常在香港发现，主要是由风化和侵蚀花岗岩岩层露头产生的。HDG的颗粒形态总是以局部棱角、粗糙度和一些表面空洞为特征，如图1（b）和1（d）所示。为了实现对砂粒的mu;CT扫描，从筛分填料中随机选取约120个LBS的沙粒和80个1.18mm～2.36mm的HDG砂粒。对于每种类型的砂，在直径为16 mm、高度为20 mm的聚碳酸酯小管道中放置几层颗粒，并用硅油固定，如图1（a）和1（b）所示。采用深圳市美信检测技术有限公司提供的卡尔蔡司CT系统（metromota1500）对这两个标本进行高分辨率X射线mu;CT扫描和容积重建。由于样品的大小和探测器的总像素，重建的mu;CT图像的体素大小为
32·65mu;m。
为了提取和分离被扫描的颗粒，将重建的三维mu;CT图像经过一系列的图像处理步骤。本研究使用图像处理包ImageJ（Abreacute;moff 等人，2004）中的内置3D分割插件（Ollion 等人，2013）。这些图像处理技术主要包括分割不同的相位、降低噪点、分离和标记单个粒子。首先采用阈值法将固相（即砂粒）与空隙和硅脂相区分开，得到二值CT图像，其中固体像素为白色，背景像素为黑色。然后使用强度等级为5像素的3D中值滤波器来降低二值mu;CT图像中的噪点。为了分离接触颗粒，在mu;CT图像中引入了一个改进的3D分水岭以防止过度分割。最后，使用简单的分割算法，用序列灰度标记单个颗粒。处理后的mu;CT图像在图1（c）和图1（d）中呈现和可视化。
（c） （d）
（c） （d）
图1 扫描样本和mu;CT图像的体绘制：（a）一层LBS颗粒；（b）一层HDG颗粒；（c）LBS颗粒的mu;CT图像；（d）HDG颗粒的mu;CT图像
Fig. 1. Scanning specimens and volume rendering of mu;CT images: (a) a layer of LBS particles; (b) a layer of HDG particles; (c) mu;CT images of LBS particles; (d) mu;CT images of HDG particles
（a） （b）
2.2粒子表面的球谐重构
作者提出用SH分析方法重建粒子表面，这已被证明是一种在多尺度水平上表示粒子形态特征的有力工具（Zhouamp;Wang，2015，2017；Zhou 等人，2015）。为了完整起见，这里简要介绍了SH理论。在采用前一节提到的图像处理技术的mu;CT图像中，每个粒子的体素都可以通过其标记的灰度很容易地识别出来。然后使用Matl-ab中的内在函数“bwperim”（Mathwo-rks，2010）检测选定粒子的边界体素。一组边缘顶点（x，y，z）可以由这些边界体素的空间位置和体素分辨率（即每个体素的宽度）确定。
如方程式（1）所示，SH分析的第一步是从单位球体到由边缘顶点（x，y，z）组成的颗粒轮廓展开极半径,并计算相关的SH系数:
(1)
其中是从颗粒中心到球坐标（）的极半径，可通过从（x，y，z）的笛卡尔坐标到球面坐标的转换获得。是方程式（2）给出的SH级数；是需要确定的相关SH系数。
(2)
其中是微分方程定义的相关勒让德多项式
(3)
其中n和m分别是的阶和次。注意，根据所需的拟合精度，n是介于0到无穷大的非负整数，因此一组球谐系数的总数为 。
（a） （b） （c）
图2 （a）细分的三角形映射网格有10240个顶点和20480个面；（b）基于细分的三角形映射网格的粒子体积、表面积和局部曲率的计算原理图；（c）细分的四边形映射网格有16万个顶点和159 201个面
Fig. 2. (a) Subdivided-triangular mapping mesh with 10 240 vertices and 20 480 faces; and (b) diagram of the calculating principals of the volume, surface area and local curvature of the particle based on the subdivided-triangular mapping mesh; (c) subdivided-quadrangular mapping mesh with 160 000 vertices and 159 201 faces
以为方程（1）左侧的输入，得到了个未知数的线性方程组。作者（Zhouamp;Wang，2015，2017）已经证明当SH度的最大值大于15，
SH分析足够（即在mu;CT扫描尺度下，局部误差小于2%）来表示粒子表面的局部形态特征（即局部圆度和表面纹理）。在当前的mu;CT分辨率下，曲面顶点的数目约为20000个，这足以唯一地求解该方程组。采用标准最小二乘估计，很容易确定的最优解。注意，由于相关Legendre多项式的性质，这组包含所有复数。通过使用获得的和一个映射球面网格（见图2），可以通过使用下式重构颗粒的连续拟合曲面：
(4)
图3 典型LBS粒子和典型HDG粒子的mu;CT图像体积可视化、基于体素的表面重建和基于SH的表面重建
Fig. 3. Volume visualisation of mu;CT images, voxel-based surface reconstruction and SH-based surface reconstruction of a typical LBS particle and a typical HDG particle
最大SH阶设
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