一种用于结构可靠性分析的新型自适应 稀疏响应面分析法外文翻译资料

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一种用于结构可靠性分析的新型自适应

稀疏响应面分析法

摘要

在基础设施风险评估的领域中，结构可靠性分析在处理相互冲突的目标方面提出了一个具有挑战性的问题：精准估计的失效概率和计算效率。由于经典的可靠度方法应用范围有限，而且经常会引起大量计算，所以元建模技术（如混沌多项式展开、克里金插值法、响应面分析法等）得到了广泛的使用。然而，现有的RSM在处理高度非线性极限状态、大规模问题和近似误差时会存在局限性。为了克服这些问题，此文章中提出了一种先进的响应面算法，该方法包括以下几个方面：（i）通过变量筛选来降低维数；（ii）定义一个有意义的搜查域；（iii）在对空间填充方案优化的基础上做初始实验设计；（iv）根据逐步回归法进行模型选择；（v）运用交叉验证法进行模型验证；（vi）使用双重加权回归法进行模型拟合；（vii）通过探索定义域中有意义的部分有顺序地进行抽样；（viii）基于自举技术的可靠性估计的置信区间。为了证明该方法的有效性，本文搜集了六个与有限元分析相关的实例。对现有的文献中的研究成果运用基准化分析法，证明了提出的新方法不仅比现有的RSM更加优秀，而且还为其他元建模技术提供了更强力的替代品。

关键词：结构可靠性，响应面，元模型，小失效概率，置信区间

1.简介

由于可能会受到潜在危险事件的威胁，对于能满足性能和安全要求的需求增加，因此进行风险和可靠性评估在许多复杂的工程实践中是一项尤为重要的任务[1] 在这方面，无论是随机性的还是可认知性的不确定性都发挥着重要作用，以及它们的影响必须认真对待。为了研究不确定性的扩散，通常需要用到结合了前沿的数值模型的概率方法。在结构工程领域，可靠性评估是一项具有挑战性的任务，特别是对于失效概率较小的复杂结构[2–4]。在一方面，为了再现重要的结构行为特征，可能需要非线性有限元分析模型。另一方面，由于数值模型的复杂性，计算量大幅度增加。在这情况下，研究的重点被放在了评估失效概率上，力求将计算量控制在一个合理的范围内。

在结构可靠性分析中，由用来表示系统响应的数值的功能函数所描述的极限状态下的失效概率，可以通过以下n次积分计算：

(1)

这里x表示输入的一个基本随机变量的向量n，其联合概率密度函数和的定义是发生故障事件或状态的概率。

可惜的是，在公式（1）中的失效概率评估存在两个主要难题：一是联合概率密度函数是未知的，二是积分域是未明确定义的。因此，在过去的几十年里，发展出了几种概率可靠性方法[2–4]。大致上，这些方法可以分为三种增加复杂度的方法：基于近似或梯度的方法、基于模拟或采样的方法和基于元建模的方法。在本文中其最重要的基本原理都做了简要的介绍。

关于近似方法，最常用的两种方法是所谓的FORM和SORM（一阶和二阶可靠性方法）。一般来说，失效概率的计算的是通过三个步骤实现的：（i）通过恒等变换化简被积函数，将随机变量映射到标准正态空间u中；（ii）利用泰勒级数展开求积分的近似边界值；（iii）通过搜索算法确定所需要的“设定点”（或“最可能失效点”（MPFP），即是极限状态函数（LSF）上概率密度最高的点。为了获得良好的计算性能，目前已开发了几种优化算法[5]。然而，这些方法存在一些明显的缺点[2,3]：（i）梯度和Hessians不能轻易获得；（ii）在高度非线性极限状态的情况下，用FORM求出的在u-space内的线性近似解存在大量的误差，但可以用SORM稍微提高精度；（iii）在失效概率的估计中，并没有考虑近似误差（iv）对于大型问题，若采用通常的有限差分方法来计算有限元响应梯度，会严重影响计算效率。

至于基于模拟的方法，这些方法包括原始的和基于方差减少技术的有所改进的蒙特卡罗（MC）方法，例如重要性抽样（IS）及其变体[6,7]、线抽样[8,9]、定向抽样[10,11]、拉丁超立方抽样（LHS）[12,13]、子集模拟（SS）[14,15]。尽管原始的蒙特卡罗方法是求解式（1）中积分的最稳健方法，但在处理有时间要求的性能评估和/或需要非常可靠的工程系统时，其计算成本是让人望而却步的。方差减少技术可以通过探索失效区域的邻域来有效地改进蒙特卡罗方法估计。然而，在性能评估中的减少仍然不充分[16,1,17]。

为了克服这些低效的问题，基于元建模的方法提供了一个有趣的解决方案，通过用相比之下评估速度要快得多的元模型（或替代模型）替换真实的性能函数来提高可靠性分析的效率。一般来说，元模型是由一组已知的输入输出量构成的，这些输入输出量构成了所谓的实验设计（ED）。由于利用不同类型的元模型而提出了各种不同的方法，例如多项式响应曲面（RS）[18-25]、混沌多项式展开（PCE）[26-28]、人工神经网络[29-32]、支持向量机算法[33-35]、克里金插值法[36-38,17,39,40]等。无论元模型如何，这些迭代方法都包括以下步骤：（i）应用目的；（ii）元模型目标；（iii）实验设计策略；（i v）模型拟合；（v）模型验证；（vi）失效概率评估；（vii）改进模型直到收敛。事实上，准确性和效率在很大程度上是取决于如何解决以上这些问题的。为了便于理解和对比现有的方法，在表1中按照时间顺序，对每种元模型的最有效方法进行了粗略的回顾和比较。

与文献综述一致的是，通过利用其精确插值方法和有效的自主学习方法，得到了很大改进的克里金插值法是近年来最有效的方法[37,38,17,39,40]。然而，它的实际操作并不是一项简单的任务[36]，因为它需要专业的统计和优化学习函数相关的知识。事实上，这项深入的研究工作试图克服经典响应面分析法和自适应响应面分析法的局限性。尽管二次响应面方法的效率比基于克里金插值法低，但由于其在实用性和效率之间的折衷，二次响应面方法仍然是最流行的元模型。然而，RS方法会遭受“维度灾难”，这会在第2.1节中讨论过。

克里金插值法和响应面分析法作为元模型的主要区别在于它们的目的/目标，因为可以遵循两个广泛的过程[41]：回归和分类两种方法。一方面，回归技术使用一组统计工具对兴趣反应和自变量之间的非确定性关系（如二次RS、PCE）进行数学建模。根据这些模型的建立方式，全局插值精度可能会受到影响。另一方面，尽管分类方法也研究了这些关系，但它的主要重点是通过统计、机器学习或神经网络的方法来识别和聚类观察结果中不同类或类别的。大多数基于克里金插值法的方法都将可靠性问题理解为一个分类任务，它关注的是根据样本的位置将样本分类为安全或不安全[41]。

基于元模型的方法成功的关键之一是将元模型的优点与次序实验设计策略相结合。该策略需要指导实验去探索感兴趣的设计空间，这在第2.2节和第2.6节中进行了检验。通常，序列（或自适应）过程从初始实验设计开始，该实验设计由额外的训练点依次充实，直到满足停止或收敛准则。在文献中可以找到数量众多的实验技术的设计（见[42,16]），例如星形、阶乘、中心复合、空间填充设计（例如低差异序列、拉丁超立方抽样）、优化设计等。然而，它们的样本量会随着问题维数的增加而迅速增长，这将直接影响到计算的工作量。这一障碍会在第2.3节中说明

估计值方法会由于多项式形式和实验设计方案的选择不同而收到强烈影响[43]。针对这一缺点，加权回归方法[22]、实现设计点置信域的重采样技术[27]、基于随机变量响应面偏导数的采样方法[23]、嵌套LHS设计[25]和移动最小二乘法近似[44]都被发展改进了。本文第2.5节会介绍一种提高失效面附近拟合精度的双重加权技术。

至于其他元模型，大多数方法将初始实验设计定义为和蒙特卡洛采样等同，并且在先前选定的初始设计更新时，根据学习函数[45,46]或蒙特卡洛马尔可夫链（MCMC）算法[47]来选择附加的后续有希望的训练点。

尽管自适应和精细化策略与采样工具相结合的发展已经得到了广泛的研究，但模型验证和误差传播并没有受到研究界的重视[17]。事实上，确保对其使用有足够“信任度”的一个必要步骤就是要在验证阶段评估元模型的可预测性[48]。尽管在这方面已经做了一些努力（见表1），但由于训练阶数的大量重叠，由穷举交叉验证（CV）的最简单形式，留一验证（LOOCV）给出的预测误差估计的结果呈现高方差。因此，为了实现更好的偏差权衡，会更倾向于取10阶的变异系数或10倍的变异系数[49]。在这方面，在第2.4节给出了模型验证程序。

表1

基于元建模的可靠性分析方法综述

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