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OPF问题的基本回顾:挑战、解决方案和先进算法
摘要
最优潮流是保证电力系统安全、经济运行的关键。本文对OPF问题进行了基本分析。作为数学家常遇到的一类非线性规划问题，分析了电力工程中OPF问题具有挑战性的原因。结果表明，潮流方程的非线性是导致OPF问题难以求解的主要因素。总结了处理潮流方程的思路。根据潮流方程的处理方法，将现有的OPF方法进一步分为三类:基于严格交流网络模型的OPF方法、基于凸松弛的OPF方法和基于线性化网络模型的OPF方法。综合评述了各类OPF算法的发展现状。分析了不同分类的特点、优点和缺点。此外，还介绍了与OPF计算相关的工业实践。讨论了OPF问题的扩展，包括安全约束OPF (SCOPF)、离散变量OPF和不确定性OPF。
引言
最优潮流是一个具有潮流方程约束和电力系统运行极限的非线性优化问题。在电力工业中，如何发电和输电是通过OPF计算来确定的。OPF求解器的性能直接影响电能消耗的效率(Singh et al. 2014)。OPF求解器还有助于通过缓解阻塞和维护电网N - 1安全来提高电网运行的安全性(Esmaili et al. 2013)。在电力市场中，通过求解OPF模型进行市场清算。电力市场的效率和公平取决于OPF计算的性能。据估计，使用一种增强的OPF算法(Ilic 2013;ARPA-E 2016)，美国的电力成本可减少5-10%(相当于60亿至190亿美元)。对于电力行业，OPF求解器改进的收益共层在10到1000之间(Cainet al.，2013年)。最近，高效、健壮的OPF求解器的开发被美国国家科学院、工程院和医学院(2016年)认定为下一代电网的基础研究。
由于OPF问题是在20世纪60年代(Carpentier 1962)首次提出的，因此已经出现了大量的求解算法。对于数学家来说，这是一个常见的非线性规划(NLP)问题。然而，对于电力工程师来说，OPF问题仍然没有得到很好的解决。OPF模型的全局寻优已被证明是一个非确定性多项式时间(NP)的难题(Lavaei and Low 2012)。更重要的是，由于OPF模型的非凸性，OPF算法的计算鲁棒性无法得到保证(Wang et al. 2007)。由于在电力系统运行和规划中，特别是在市场清算中，OPF的计算每天都在进行，实际的OPF求解器必须在各种系统运行条件下，在有限的时间内提供合理的解。因此，尽管学术界提出了许多OPF算法，但大多数系统操作人员仍然采用具有严格收敛要求的兆瓦(MW)直流(DC)，这已经实践了几十年。
本文对OPF问题进行了基本分析。阐述了OPF模型对于电气工程师难以求解的原因。分析结果表明，潮流方程的非线性是影响OPF模型不凸性的主要因素。给出了处理潮流方程非线性的思路。此外，还对近年来OPF方法的研究进展进行了综述。根据潮流方程的处理方法，将OPF算法分为三类:基于严格交流网络模型的OPF方法、基于凸松弛的OPF方法和基于线性化网络模型的OPF方法。讨论了各类算法的特点、优缺点。提供了与OPF计算相关的较为普遍的工业实践。提出了OPF问题的几个扩展。
OPF问题的公式化和挑战
OPF模型的基本公式
OPF问题(单周期连续变量OPF问题)的基本公式如下。
优化变量与目标函数
对于一个OPF模型,优化变量是发电机有功功率输出(Pg)、发电机无功功率输出(Qg),电压幅值(v)和电压相角(theta;)。
目标函数的一般公式如下:
最小化运行成本是OPF模型最常见的目标函数(Capitanescu 2016)，该模型符合经济学原理(Cain et al. 2013)。其他的目标功能包括最小化损耗，最小化违规约束，最小化控制行为的数量(Stott and Alsac 2012)。大多数目标函数是分段多项式和凸函数。对于非凸目标函数，如考虑发电机无功发电的运行成本的函数，可以使用混合整数规划(MIP)建模方法来简化线性公式(Zhong et al. 2004)。
约束条件
典型的约束条件如下。
潮流方程
潮流方程描述了输电应遵循的基本规律。在潮流方程中，电压V、电流I、功率S和网络参数Y由基尔霍夫定律和欧姆定律耦合。支路(i, j)上的视在功率流为：
式(2)的显式表达，分别描述有功功率和无功功率，在OPF模型中更常用
式(3)、(4)分别为支路有功潮流和无功潮流(Wood和Wollenberg 1996)。该方程是基于电压V的极坐标推导出来的。通过对式(2)中V和I的不同分解，可以得到功率流方程的替代公式。
例如，潮流方程的直角坐标公式如下(Torres和Quintana 1998):
ViRe 和ViIm 分别为Vi的实部和虚部
潮流方程的电流-电压公式如下(Castillo et al. 2016a):
IijRe和IijIm 分别为Iij的实部和虚部
本节描述的潮流方程也称为严格的交流网络模型。不同的方程各有利弊。由于潮流方程的所有公式都是等价的，所得到的OPF模型的复杂性具有相似的量级(Park et al. 2016)。在接下来的内容中，以极坐标潮流方程为例。
根据基尔霍夫电流定律(KCL)，节点功率平衡方程由式(9)给出。
运行限制
分支潮流约束，即式(10)反映了线路的热极限。由于式(10)定义了一个凸区域，分段线性化技术可以很容易地应用到公式(10)的线性逼近中(Yang et al.2016a)。一些研究通过限制线路电流限制支路潮流 (Castillo et al.，2016b)。式(11)、(12)分别表示发电机输出功率和电压幅值的运行极限。式(13)为电压相角差的限制。虽然电压相角的差异并不直接对应于任何物理限制，但它为一些研究提供了便利，例如凸松弛(Coffrin et al.，2016)或拓扑优化(Yang et al.，2016b)，因为电压角的范围是有界的。
在一些OPF研究中，包含了高保真度的约束条件。例如，Zhong和Bhattacharya(2002)和Canizares 等人(2010)考虑了发电机容量曲线(D曲线)，为发电机有功和无功输出提供了更现实的运行限制。只要约束是凸的，OPF模型的计算负担就不会显著增加。
OPF计算中的挑战
在“OPF模型的基本公式”中提出的OPF模型中，目标函数通常是凸的，而操作约束描述的是凸区域。非凸性来自于非线性潮流方程。式(3)(4)中右侧的变量是紧密耦合的，功率流方程定义了一个非凸曲面，这导致了OPF问题的非凸性(Yang et al. 2017d)。
对于非凸优化问题，不能保证求解算法的收敛性(Avriel 2003)。此外，无法确保解决方案的全局最优性。在早期的研究中，假设实际的OPF解，即每单位电压幅度接近1.0 (p.u)的OPF解决方案是唯一的。Bukhsh等(2013)研究表明，在某些测试系统中，OPF问题的局部最优存在电压界限，偏离标幺值5%-10%。基于对OPF模型Fritz John条件的椭圆表示，Wu等(2017)提出了一种寻找局部最优解的方法。通过算例验证了OPF解的多个局部最优解的存在性。OPF问题的可行域在Molzahn(2017)中被可视化。可以清楚地看出，OPF问题的可行空间是非凸曲面，甚至可能是不连续的。OPF问题的这些性质使得它很难找到全局最优解。基于OPF问题松弛的Karush-Kuhn-Tucker (KKT)条件，Molzahn et al.(2014)提出了OPF解的全局最优性的充分条件。
电力行业OPF求解器的需求
前面讨论的OPF问题的计算挑战由其他非凸优化问题分担。在电力工业中，OPF计算的特殊挑战是在某些应用中需要保证OPF求解器的收敛性。例如，在电力市场中，市场参与者和系统运营商不能接受可能不收敛的OPF求解器，因为市场需要在一定时间内进行结算。OPF问题的非凸性与电力行业的计算需求之间的矛盾是近几十年来推动OPF计算研究的主要原因。
为了满足实际运行的需要，电力工程师选择牺牲精度来提高OPF计算的计算性能。挑战在于如何在计算性能上获得尽可能多的改进，同时在精度上损失尽可能少。由于凸优化的计算效率和鲁棒性是公认的(Avriel 2003)， OPF模型的凸化是电力工程师减少计算负担的一种理想方法。对功率流方程定义的曲面进行凸化处理是实现凸化的关键。根据优化理论，只有将非线性潮流方程转化为定义凸区域的不等式，或将非线性潮流方程转化为线性潮流方程，OPF模型才会凸化。现有的方法在前两种思想的基础上对OPF模型进行了改进。
最新OPF算法的分类与综述
本节提供了一个最新的OPF算法的综述，通过处理潮流方程的方法进行分类。介绍了各类算法的最新研究进展。详细讨论了各种算法的特点、优缺点。
基于如何处理潮流方程的OPF算法的分类
介绍
根据潮流方程的处理方式，现有的OPF算法可分为以下几类:
严格的交流网络模型下的OPF方法:在这些方法中，原公式的功率流方程，即交流网络模型，在优化过程中加以考虑。相关的OPF模型也称为AC OPF模型。采用非线性优化技术求解OPF问题。因为OPF是不凸的问题，既不能保证解的收敛性，也不能保证解的全局最优性。
基于凸松弛的OPF方法:近年来，OPF问题的凸松弛引起了学术界的特别关注。将潮流方程简化为定义凸区域的不等式。作为一个凸问题，可在多项式时间内得到松弛模型的全局最优解。如果松弛模型的最优解是原OPF问题的可行解，则松弛模型达到原OPF模型的全局最优。
带有线性化网络模型的OPF方法:对于这类OPF方法，将非线性潮流方程替换为线性化的潮流方程，从而减少计算负担。虽然牺牲了建模精度，但可以显著提高计算效率，保证收敛性。
举例
潮流方程处理的可视化
为了说明三类OPF算法是如何处理潮流方程的，将有功潮流方程定义的可行域可视化。对于严格交流网络模型的OPF方法，式(3)所描述的非凸曲面如图1(a)所示。表面的横截面,当theta;ij=0.05的横截面如图1 (b)所示,这是一个非线性曲线描绘了一个非凸区域。由于潮流方程是非线性的，所以潮流方程所定义的曲面是非凸的。对于基于凸松弛的OPF方法，以Jabr(2006)中的松弛潮流方程为例，其表达式如下:
由式(14)和(15)定义的可行域如图2所示。将非凸曲面松弛成上下表面之间的凸空间(通过将v2视为一个自变量)。该空间包含由潮流方程定义的非凸曲面。如果松弛区域的最优解恰好在潮流方程定义的非凸面上，则松弛是精确的。对于这类OPF方法，目标是找到一种合适的松弛方法，以确保在大多数情况下松弛是精确的或接近精确的。达到这个目标的方法就是尽可能地放松。
对于线性化网络模型的OPF方法，以直流网络模型为例(Stott et al. 2009)，如下所示:
如图3所示，所列的潮流方程定义了一个平面，该平面是一个凸区域。这类OPF方法的目标是找到最接近潮流方程所定义的非凸曲面的平面。说明了OPF算法的求解过程。为了更好地理解这三种方法的处理过程，图4给出了原OPF模型可行域的二维投影、OPF模型的凸松弛以及线性化网络模型的OPF模型。
对于具有严格交流网络模型的OPF方法，算法在OPF问题的原非凸可行域上搜索最优性。一些算法从可行域的内部进行搜索[如内点法(IPM)]，而另一些算法从可行域的外部进行搜索(如外罚函数法)。该算法的目标是找到原OPF模型(点A)的全局最优解。
对于基于凸松弛的OPF方法，将OPF问题的可行域扩展为一个凸区域，包含原OPF模型的可行域。因此，通过凸松弛(点A1)得到的解总是作为原OPF问题解的下界。
对于具有线性化网络模型的OPF方法，采用一组简化的潮流方程来代替原来的非线性潮流方程。利用线性化方程，使带有近似网络模型的OPF模型的可行性变为凸。然而，由于潮流方程没有严格执行，原OPF模型的可行域与线性化网络模型的OPF模型的可行域之间不存在包含关系。通过对潮流方程进行适当的线性化，A2点通常会非常接近a点。
图1.式3表达的无功潮流方程( vj = 1.0 p.u.; rij = 0.02 p.u.; xij = 0.1 p.u.): (a) 潮流方程决定的可行域 (b) 当theta;ij = 0.05时的可行域交界
图2.Jabr(2006)中的无功潮流方程(vj=1.0 p.u.; rij =0.02 p.u.; xij = 0.1 p.u.)
图3. 直流网络模型中的无功潮流方程(vj =1.0 p.u.; rij =0.02 p.u.; xij =0.1 p.u.)
图4.不同OPF算法的可行域: (a) 交流网络模型的OPF算法; (b)基于凸松弛的OPF算法 ; (c) 线性化网络模型的OPF算法
最新OPF方法综述
本节将回顾三类OPF算法。
严格交流网络模型的OPF算法
对于具有严格交流网络模型的OPF方法，可以应用NLP问题的通用求解算法，包括牛
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