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数值耦合准则的有限元实现
脆性材料裂纹产生与扩展的数值模拟
摘要
根据适用于有限断裂力学的一般框架的耦合准则（CC）提出用于模拟脆性材料二维裂纹过程的数值模型。 耦合准则指出应同时满足能量和应力条件，以预测脆性固体中的裂纹产生。 为了正确绘制潜在的裂纹路径并相对于所有预测的裂纹路径将势能降至最低，开发了特殊的数值方法。 这项工作的独创性在于能够描述一个或多个裂缝的产生和扩展。 而且，可以考虑缺陷的统计分布。通过几个在文献中是众所周知的数值示例验证了该方法的效率和准确性。
- 引言
固体中断裂的数值预测是力学和计算科学的经典挑战。在过去的二十年中，已经广泛研究开发有效、准确的数值模型来模拟断裂行为。尽管文献中已有许多理论和数值研究来预测裂纹扩展，但很少有数值模型可用于预测裂纹产生和裂纹扩展。
在这些模型中，当今最流行和最有效的模型是内聚区模型（CZM）[1,2]。这种模型已经广泛应用于分析多种现象。像有限元法这样的数值方案已经成为CZM的解决方案的主体。裂纹扩展–裂纹成核可以通过引入粘性表面[3,4]进行建模，从而允许剪切以及拉伸剥离。这种方法的一个优点是，它不再需要难以确定裂纹长度和方向的初始裂纹，因此可以轻松地分析裂纹形核。一般而言，可将粘性元素插入所有块体元素之间，以便粘性模型可以自动选择裂纹路径。但是，如果对有限元网格进行细化并在所有元素之间连续添加内聚曲面，则始终无法实现收敛。 实际上，粘性元件仅在预定的裂纹路径处插入以避免这些数值复杂性。 这些观点在文献[5,6]中已有详细记录。
除了CZM，所谓的相场模型还提供了预测裂纹产生和裂纹扩展的另一种可能性。 Francfort和Marigo [7]开发了一种损伤梯度模型，其中，当规定的长度参数趋于零时，损伤区域会收敛到裂缝。为了解决复杂的裂纹问题，开发了有效的算法[8,9]。近来，相场模型已经广泛的建立以涂抹的方式模拟脆性裂纹的产生和扩展。但是，也引起了关注。已经表明，载荷-位移曲线很大程度地取决于内部长度尺度l，该尺度确定了分布的断裂带的宽度，并且取决于所引入的退化函数[10,11]。一旦根据所考虑的材料指定了参数Gc、临界能量释放速率和l并给出了网格密度，就无法指定临界应力[12]。
Leguillon [13]在研究从尖锐的V形缺口的根部开始的裂纹时，注意到采用单个常规断裂准则（即格里菲思能量准则或应力准则）是不合适的，并且常常出现自相矛盾的预测。 结论是，当发生断裂时，即使一个条件经常掩盖另一个条件，两个标准也同时得到满足。两个条件都是必要条件，它们共同构成了一个充分条件。 将此耦合标准（CC）应用于V形缺口根部的裂纹起始预测显示出相对于实验结果的令人满意的一致性。 之后，CC在脆性或准脆性材料的断裂预测中越来越受欢迎。 该标准[14-19]在大量断裂情况中使用研究。
如果通过大量实际结构分析证明了该标准的准确性和有效性，那么通常会通过使用特定的分辨率技术（例如渐近分析或局部有限元建模）对此进行逐步研究。 因此，我们认为有必要将这一标准转化为为数字代码，以便能够处理更复杂的断裂问题。 这是当下工作的主要目的。
在本文中，为开发自动预测裂纹成核的位置及其下一步的路径的算法做出了各种努力。 通过这些努力，CC成功地转化为有限元代码，利用该代码可以轻松地模拟脆性材料中的二维断裂。 此外，为了评估所提出的数值模型的有效性，研究了几种经典的断裂问题。 其数值结果与文献中的一些著名解决方案相比几乎没有误差。
- 数值断裂模型的描述
2.1 耦合准则
耦合标准（CC）在文献中被广泛提出（参见Weissgraeber等人的综述论文[20]）。 在此，我们仅作简要概述。 CC基于有限断裂力学（FFM），其中格里菲斯准则以递增形式编写：
(1)
其中delta;prod;是势能的变化，delta;S=tdelta;l是新创建的裂纹表面（在2D框架内，t是所考虑的主体的厚度，delta;l是裂纹的增加长度），G inc是所谓的增量能量 释放速率，Gc是代表材料断裂韧性的临界值。 该标准是不够的，因为它取决于新创建的表面delta;S（迄今为止未知）。 为了弥补这一缺点，必须增加压力条件。 对于脆性材料，最大主应力准则是合适的压力条件：
(2)
其中 sigma;1和sigma;c分别是材料的最大主应力和极限应力。 在平面弹性框架内，Leguillon [13]指出，有且仅当应力和能量条件均得到验证（即，沿着新创建的裂纹路径的所有点，即整个区域）都满足应力准则时，才会创建新裂纹，并且满足格里菲斯准则中相应的裂纹路径。
CC的主要优点之一是能够预测裂纹萌生和裂纹扩展。 实际上，通过匹配的渐近扩展分析，Leguillon [13]表明在裂纹萌生时施加的应力sigma;*app可以写成：
(3)
其中lambda;（lt;1）是应力集中的奇异指数（例如，在V形缺口的情况下），（sigma;0，G0）是缩放系数。 显然，该公式与裂纹存在下的格里菲斯准则（lambda;= 0.5）和直边的强度准则（lambda;= 1）一致。
CC在概念上是明确的，并且在物理上具有说服力。将其应用于不同的学术或工程断裂问题已展现出显著的效率和准确性。如果已知断裂位置和裂纹路径，则很容易应用，但不包括某些复杂结构。因此，在该准则的数值实现中的首要任务是确定裂纹产生的位置。为此，已经采用了一些简单合理的假设。在下文中，我们将在执行此标准的过程中的数值细节呈现为FE代码。在仿真中使用了三节点线性三角形元素。使用这种简单的元素的几个原因：首先，采用通过消除元素来表示裂纹扩展的过程需要非常强的网格细化，使用有限元法进行运算是很方便的。其次，使用恒应力有限元可以简单地实现2.4节中提出的裂纹路径预测程序。最后，由于缺乏求解的平滑性，在弹性奇异点附近增加插值度是没有用的。
2.2 一般计算注意事项
在提出的数值模型中，外部载荷以增量方式施加。根据CC，断裂的必要条件之一是必须在假定的裂纹路径上始终满足应力准则sigma;1/sigma;cge;1。因此，我们首先应找到sigma;1/sigma;c ge;1的所有区域，每个区域仅包含一个sigma;1的局部最大值。我们进一步假设在每个这样的区域中仅产生一个裂纹。如果未检测到这样的区域，则所施加的载荷会逐渐增加。
裂纹可能会从第一主应力sigma;1局部最大的点开始，并沿着垂直于第一主方应力的方向传播。在所有这些潜在裂纹中，真正的裂纹将是使能量释放速率增加最大的组合。该假设是断裂力学中的经典假设[21]，尽管未考虑应力准则。此外，在FFM的框架中，Mantic [22]在数学上将该假设假设为最小化问题。所有这些假设允许建立一个强大的计算算法来评估裂纹的产生和进一步的裂纹扩展。
2.3新产生裂缝的潜在位置
根据上述一般考虑，首要任务是找到在给定的规定载荷下sigma;1/sigma;cge;1的区域，每个区域都包含sigma;1的局部最大值。
为此，我们将sigma;1的符号取反，以使局部最大值变为局部最小值。然后，我们使用所谓的分水岭洪水技术找到这些区域。基本思想是将应力分布视为地形表面，并将水源放置在其地形的每个局部最小值中。接下来，整个泄洪源逐渐被洪水淹没，水坝被放置在不同水源汇合的地方。图1显示了一维表面的泛洪过程，根据该过程构建了算法[23]。
给定最小值附近区域中的所有元素均构成与该最小值相关的集水盆地。分水岭是划分相邻集水盆地的区域。水首先到达的点是应力值最高的元素，即-sigma;1/sigma;c最小，然后逐步达到所有元素，直到应力水平sigma;1/sigma;c=1。
图1.分水岭注水过程（a）：将水源放置在以下位置：-sigma;1/sigma;c是最小的，增加水位允许发现邻近的元素，然后创建第一个集水盆地； （b）通过增加水位，找到另一个明显的局部最小值，从而形成第二个集水盆地； （c）当第一和第二集水区汇合时，放置水坝； （d）继续这一过程，直到sigma;1/sigma;c=1允许找到不同的集水盆地，每个盆地的局部最小值为-sigma;1/sigma;c。
流域盆地标有整数值。 每个集水盆地都包含一个局部最大值sigma;1，由此可以产生潜在的裂缝。
通常，经典的分水岭技术经常会导致过度分割现象，这归因于数值结果嘈杂而发现了太多的流域盆地。文献中有许多降噪技术可以减少这种过度分割[24]。 在这项工作中，为了简单起见，我们使用中值滤波技术对其进行了预处理。中值滤波器的主要思想是逐个元素地遍历应力分布图，用相邻元素的中值代替元素的sigma;1值。在应力评估足够准确的情况下，此简单技术足以有效减少过度分割现象。
该算法可以提取N个区域Sn，像“山峰”一样，每个区域都包含第一主应力的局部最大值，
2.4 绘制潜在的裂纹路径
在每个区域Sn中都可能产生裂纹。 根据最大主应力准则，新产生的裂纹的方向垂直于第一主应力。 该标准允许从每个“山峰”绘制主应力轨迹。 以下算法用于确定裂纹路径：
- 从对应于Sn中“山峰”的点（x0,y0），我们首先绘制预测裂缝路径的右分支。 为此，我们计算坐标x1=x0 ∆l cos alpha;0，y1=y0 ∆l sin alpha;0，其中alpha;0是点(x0,y0 )处的第一主应力轨迹的角度。 如有必要，可以改变∆ l，以使点(x1,y1)位于相邻元素中。
- 如果点(x1,y1)不在Sn中，请转到步骤5。否则从点(x1,y1)开始并以第一个主应力的角度此时的轨迹alpha;1，计算x2right=x1 ∆l cos alpha;1 ，y2right=y1 ∆l sin alpha;1和x2left=x1- ∆l cos alpha;1 ，y2left=y1-∆l sinalpha;1。如有必要，可以改变∆l，以使点(x2right,y2right)和(x2left,y2left)位于相邻元素中。
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