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结构噪声和减振用涂层球体填充粘弹性复合材料的微结构优化设计
摘要：利用非结构化网格 Galerkin 时域有限元分析，验证了 n 层球形夹杂模型的有效结构刚度预测。我们研究了由涂有粘弹性聚合物层的二氧化硅球形核壳夹杂物填充的固体聚合物复合材料。假设涂层的温度依赖于性能，温度运行是从下面到上面的玻璃过渡区。复合材料的刚度为 30ー3000，涂层厚度相对于球半径为 1ー0.001。在有限元计算中，采用了27 个不重叠的相同核壳球的周期性随机蒙特卡罗计算模型。结果表明，n 层球形夹杂模型具有较高的精度，适用于层状球形夹杂粘弹性复合材料的快速、可靠的微结构设计。考虑了粘弹性 Bernoulli-Euler 梁和 Kirchhoff 板的阻尼固有振动，利用粘弹性对应原理，导出了用于结构噪声和振动阻尼应用的最佳材料选择的精确值。我们进行了最佳减振时间的设计，结果表明，通过优化涂层的厚度和性能，可以显著改善粘弹性梁和板的阻尼特性
引言：噪音通常是由振动的结构元件如梁、板和壳发出的。它令人讨厌，它还是不健康的。前向振动还可以减少建筑物的使用寿命，限制其开发利用的范围。粘弹性阻尼材料通常采用自由层和约束层阻尼处理或与基础匹配的粘弹性阻尼器来增强结构的振动阻尼。
聚合物的粘弹性来源于节段性局部运动，因此聚合物处于固态，其动态剪切模量 Glowast; = G iG有一个约 1GPa 的阻尼部分G和一个约 10MPa 的 损失部分 G。随着温度的升高，聚合物动力学会发生各种转变，每一种转变都与特定聚合物分子运动的开始有关。在玻璃化转变区域，出现大范围的节段性运动，引起G的明显下降和G的明显峰值。在峰值最大时，存储量和损耗模量具有可比的大小，因此阻尼因子(tang/g)接近于 1。在玻璃化转变区以上， 无定形聚合物变软，其 g 的含量由交联密度决定。环氧树脂具有较高的化学交联密度，其 g 值约为 10mpa，g 值约为 1mpa。在橡胶中，交联密度较低，所以它们的存储模量只有几兆帕以下。在没有化学交联的情况下，玻璃过渡区以上的聚合物进入熔体状态，其刚度受到链间物理纠缠波动的控制。聚合物的粘弹性质与频率有关，频率增加一个数量级，通常会使转变向更高温度移动几度。
在这项工作中，根据复合材料有效粘弹性性质的非结构化网格时域有限元预测的最新进展(Gusev，2016a，2016b，2017)，我们提供了由固体无定形聚合物基体填充相同二氧化硅小球并涂覆可视弹性环氧树脂层组成的复合材料的有效粘弹性刚度的数值估计。我们改变温度T，从低到高于环氧层的玻璃化转变区域，并在假定不同的球体体积分数c和粘弹性涂层厚度的情况下收集有效刚度估计值，见图3。 2关于cand的定义。 使用这些有限元估计，我们首先验证了n层球面夹杂模型(Herve和Zaoui，1993)，然后用它来展开(T，c，)定义的微结构设计空间，以确定有效损耗模量超过E=0.6 GPa上限值的区域(Ashby，2011；Laves，2009)。 然后，我们还以粘弹性Bernoulli-Euler梁和Kirchhoff板的阻尼自然振动为例，利用该模型评估了最优微结构复合材料在结构减振应用中的技术潜力。
我们研究了一种由固体聚合物基体组成的三相复合材料，该基体由不重叠的完全相同的硅核/环氧壳层球体随机分散而增强或减弱。 各相均假定为线性粘弹性应力应变关系。
本文根据非结构网格时域有限元方法的最新进展，采用固体无定形聚合物基体填充可见弹性环氧树脂涂层的二氧化硅微球，对复合材料的弹 性刚度进行了预测。我们改变温度，t，从低到高于玻璃化转变区的环氧 层，并收集有效刚度估计假设不同体积分数的球，c，和厚度的粘弹性涂 层，见定义 c 和。利用这些有限元估计，我们首先验证了 n 层球形夹杂 模型()，然后利用该模型对(t，c,)所定义的微结构设计空间进行扩展，以 确定有效损耗模量超过 e0.6GPa()上限值的区域。然后以粘弹性 Bernoulli-Euler梁和 Kirchhoff 板的阻尼自然振动为例，利用该模型评估了最佳微结构复合材料在结构振动阻尼应用中的技术潜力。
3.1.非结构化网格时域有限元分析
我们使用 amontecarlo (MC)程序对27个非重叠的应用微结构体进行了周期性的生产，见图2。已经证明了用这种小型计算机模型实现的有效性估计，也就是说，估计仍然存在实际上不可改变的增量球数(Gusev，1997; Gusev，2016 a)
将微结构网格划分为基于非结构四面体的优质网格。对于未涂层的球体，网格生成过程已经在其他地方描述过了(例如，Gusev，2016a)。 为了引入均匀厚度的涂层铺层，我们考虑一个这样的网格，复制在球基体界面的节点(见图。 2a)并将复制节点的坐标缩放到它们所属的球体的中心。在基体和减小尺寸的球体之间产生的球形空腔内填充三角形棱柱体，这些棱柱体在转动过程中被细分为四面体(见图2b)。 根据球体体积分数，得到的非结构化网格有高达约。3万个节点和16万个四面体单元。
在大多数计算中，在空间中使用四次(四次多项式)插值。所得到的有限元线性方程组的维数约为500万，并使用预条件共轭梯度迭代进行求解(Saad，1996)。 我们在空间中用五次(五次)插值系统地检验了收敛性。结果表明，只有涂层最薄的模型/R=0.001才需要五次插值。
我们应用谐波应变振荡，并从产生的稳态谐波应力振荡中提取复有效弹性常数。在时间步长方面，采用了半时间步长配置的 Crank-Nicolson 算法，并利用时域上的加权残差 Galerkin 近似导出了该算法(Gusev，2016b)。 在计算中，不失一般性假设频率为1赫兹。大多数计算是在 ETH z 丰富的主机 Brutus 和 Euler 星团上执行的，后者专门用于计算最困难的五次方基数。 每个单独的时域模拟在 Intel Xeon E5-2697v2(2.7 GHz)处理器上花费大约一周的 CPU 时间，并询问大约15 GB 的内存。我们在每个振动周期使用64个积分点，并利用模拟运算的后半部分得到有效弹性常数的估计。在大多数情况下。
大约十个时间步骤的相对较短的运行已经足以获得准确的估计。然而，在困难的情况下(用最薄的涂层模拟玻璃转变范围)，需要长时间运行多 达五十个步骤才能获得可靠的数值估计。
在研究的每个温度下，对每个组织进行了6次独立的时域模拟试验，采用6种不同的载荷工况，并且具有线性无关的应变振幅。 由此得到的有效弹性常数一般是三斜对称的，我们首先利用它们得到有效体积和剪切模量的 Voigt 和 Reuss 估计(Voigt，1928; Reuss，1929)。然后使用两个对应估计值的平均值[即 Hill 定向平均估计值(Hill，1952)] ，用一个标准的各向同性弹性公式估计有效杨氏烟雾量，然后使用它们的差值估计误差杆(Gusev，2016b)。在所有情况下，误差线都比图中使用的 sym-bol 大小小得多，因此在图中省略了它们。顺便说一句，Voigt 和 Reuss 估计的密切性可以表明，研究的27个球面的 MC 模型与宏观各向同性并没有太大的偏离(Gusev，2016b; Gusev，1997)。
3.2.n层球形夹杂模型
阐述了n层球形夹杂模型的几何排列。对于有限状态下的单轴拉伸，利用和扩展了弹性力学解，得到了弹性位移场和应力场。对由界面连续性条件产生的线性方程组进行了数值求解。利用方程的对称性，提出了一种有效的数值计算方法——拟递推算法，并应用该算法求得了有效体积的解析解。
假设均质各向同性线性弹性本构相，对于相i = 1、2、3，已知的本体模量，剪切模量的泊松比nu;i和对于相4的模量未知。
5. 噪声和振动阻尼应用中的实用价值系数
本文采用 n3 层状球形夹杂模型，利用本文给出的相态特性，分析了涂层二氧化硅填充聚合物在减振降噪方面的技术潜力。我们分析了不同球分数 c 的存储和损耗模量设计图。E 设计图显示出增加有效损耗模量的两个不同区域。第一个是在/r0.1 处，同时发生相对于矩阵的刚度减小;第二个是在/r0.01 处，观察到有效储能模量可以考虑地增加。当增加 c时，有效存储量和损耗模量都增加，体积分数 c约为0.38，需要超过 e0.6GPa的实际值。
通过 3D 存储和损耗模块设计图显示 2D 切片。薄片是在 t0k，也就是在涂层 的玻璃化转变温度下获得的。我们可以看到有两个明显的损失峰，第一个在 /rasymp;0.2，第二个在/rasymp;0.007。技术上，第二个峰当然更有吸引力，因为它允许同时
将储存模量增加两倍和损耗模量增加十五倍结合起来，分别相对于矩阵存储和损耗模量。
6.能量耗散率
为了研究增强损耗模量这两个区域的微观力学根源，我们利用 n 层模型研究了局部能量耗散率的空间分布。为此，我们假设无穷远处有一个简单剪切, 并雇用评估局部，位置相关的应变和应力张量的分量使用可见共弹性对应原理。
7. 粘弹性 Bernoulli-Euler梁的阻尼自由振动
考虑长度为 l，横截面积为 a，横截面积为 i的均匀 Bernoulli-Euler梁，其材料为各向同性材料，密度为 e，弹性模量为 e*。在自由振动中，在 忽略转动惯量的情况下，给出梁的运动方程。
W(x，t)是时间 t时未变形梁中性面上 x点的横向位移，w(x，t)是由经典 Bernoulli-Euler 梁理论的相应运动方程得到的，该理论是利用虚位移原 理(即哈密尔顿原理，见，例如)的动力学版本，用粘弹性模量ex(见，例如)代替弹性杨氏模量 ex来推导的。
它们是从满足边界条件中得到的。反之，就一般粘弹性解而言，与相应的弹性解完全相同。因此，得到的频率方程也是相同的，它的根定义了一个实 p 值的离散谱，其中 p 是一个正整数。相应的自然频率依然复杂，它们与 p 有关，而振型 Wp(x) 是真实的，它们只是可比弹性问题的自然频率。
考虑了由环氧包覆二氧化硅微球填充的固体聚合物基体和涂层密度 为 1000kg/m3，二氧化硅密度为 2500kg/m3 的复合材料。通过对微观结构设计的探索我们调整光束的长度 l，使 p保持不变，并假设粘弹性杨氏模量 e/*与 p无关。在这样的条件下,解是直接的，它不需要知道粘弹性杨氏模量的频率变化规律。人们可以看到，设计景观有两个明显的改善阻尼性能山谷。每个山谷都有自己的最大阻尼性能的局部最小值。在 tasymp;0k 左右，第一个发生在/rasymp;0.3，第二个发生在/rasymp;0.01，分别相当于0.5 和-2 的对数值。在第一个最小值处，阻尼时间下降约 10 倍，在第二个最小值处，下降约 8 倍。然而，在第一个最低限度的刚度 e 也显着下降，而相反，在第二个峰值，它大大增加。在求解这个复杂的方程时，必须指定 e*的频率相关性。由此产生的 固有频率的实部 p 对应振型振动频率，而虚部 p 则决定振型的参数阻尼行为。同样适用于其他常见的梁束缚力条件，但具有数值不同的响应频率方程实根。例如，对于无支撑的梁，前两个根分别为 11.506 和 22.500。但是材料对固有振动频率的贡献仍然很大。
7.2. 最佳微结构设计
我们考虑了在模态频率 p 保持不变的约束条件下梁固有模态 p 的最大阻尼的情形。这种设计约束只是许多可能的设计约束之一，本文所考 虑的仅仅是举例说明经验证的 n 层球形夹杂模型在粘弹性梁刚度和振动 阻尼特性的微结构优化设计中的实际应用。给出了根据这两个最小阻尼时间点的位置得到的最佳阻尼时间设计图。我们可以看到，在增加 c 时，阻尼性能在最小值和最小值都单调增 加，尽管大部分增加已经发生在 casymp;0.3以下。至于硬度, 在增加 c时，e在第一个峰出现大幅度的下降。相反，在增加 c的第二个峰值的刚 度在折痕，这可能证明在许多应用的吸引力。
8. 粘弹性基尔霍夫板的阻尼自由振动
根据边界条件的不同，采用不同的解析解法求解，其中包括四边简支板的 Navier 方法和两边相对简支板的 lvy 方法，以及一般边界条件板 的近似 Ritz解法。
可以看出，经典的梁和板的最佳阻尼时间设计图实际上是无法区分的。原因在于所研究材料的有效泊松比*变化相对较小，对有效 q*只有 很小的贡献，因此 e*和 q*对复合材料微观结构的依赖性非常相似。
这是平行形式的粘弹性梁情况，参考。N层球面模型可以很容易地得到粘弹性系数 q*的预测，因此板的设计过程与上面描述的梁的情况是平行的，板的边缘被调整到保持不变的解答。结果发现，q，q和设计图实际上与梁壳的设计图相同，见和，因此只有最终的最佳阻尼时间设计图显示在。
9.梁板减振应用中的实用价值图
忽略泊松比的贡献，材料对经典梁和板阻尼固有振动频率的贡献是 相同的形式，e/，其中 p是一个标记自然模式的整数。该方程为选择结构梁板阻尼应用的最佳性能材料提供了一个精确的 实用价值图。这意味着与传统的黄褐色相比，我们更应该考虑黄褐色相比。这种改变有利于高分子材料及其复合材料的使用，因为它们具有相对较大的阻尼因子，但就 e/而言，它们的刚度性能不如金属和陶瓷那样不利。
应当指出，传统的和拟议的价值数字对其适用性都有一定的限制。例如，它们都依赖于材料和结构设计参数之间的尺度分离，并且它们都 假定所建议的材料的变化仍然使得所考虑的结构设计成为可能。
10.结论
我们使用非结构网格伽辽金时域有限元分析来验证我所知道的粘弹性材料的 n 层球形包含模型。该模型具有解析形式，可用于层状球形夹杂 粘弹性复合材料的快速、可靠的微结构设计。我们研究了由粘弹性聚合 物涂层硬硅球组成的核壳夹杂填充聚合物基体的复合材料。利用粘弹性 对应原理、经典 Bernoulli-Euler 梁和 Kirchhoff 板理论，进行了最优阻尼 时间设计，结果表明，通过优化涂层厚度和性能，可以显著改善梁和板 的结构振动阻尼特性。虽然在本工作中作了一定的简化设计假设，但由于有经
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