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摘要
我们提出了一种基于移动可变形组件（MMC）的显式等几何拓扑优化方法。使用NURBS补丁离散指定的设计域，并采用基于NURBS的等角线分析（IGA）方法进行结构响应分析和灵敏度分析。我们使用MMC的显式设计参数来表示结构组件（设计域的子集）的几何形状。MMC的中心坐标，半长，半宽和倾斜角均用作设计变量。所提出的方法不仅继承了基于MMC的拓扑优化的明确性，而且还具有等几何分析（IGA）的优点，例如与计算机辅助设计的紧密联系（CAD）和基函数的高阶连续性。几个数值算例表明，所提出的基于IGA的方法比使用MMC的基于FEM的拓扑优化更加鲁棒和稳定。
关键词：等几何分析；NURBS；拓扑优化；移动可变形组件；拓扑描述功能；敏感性分析
1.介绍
拓扑优化技术基于计算机技术、力学理论和数学规划方法，不仅可以提高材料的利用率和设计质量，缩短设计周期，而且可以解决传统经验式设计方法难以解决的复杂设计问题。随着增材制造技术的快速发展，通过拓扑优化实现的先进材料和结构将会最大程度地发挥其性能值优势，因而拓扑优化技术也被赋予了更多的自由度，研究基于拓扑优化的结构设计方法，已经成为了当前数字化设计领域的重点发展趋势。
基于有限单元法（Finite Element Method，FEA）的结构优化是工业产品研发和工程设计中普遍采用的技术手段。然而，随着设计问题和模型结构的复杂性增加，对于有限元网格划分的速度和质量、仿真精度及求解效率等都提出了更高的要求。一方面，有限元分析只是CAD几何模型的近似而非精确表示，这在一定程度上引入了几何的误差，而通过不断地加密网格来提高分析精度的方法会产生大量的单元，导致计算成本过大；另一方面，分析和设计均以有限元网格的形式呈现，这给需要多次迭代计算的优化过程带来了许多不便。通常，结构拓扑优化的目的是在指定的设计域中找到合适的材料分布，以使最佳结构具有某些出色的性能。自从Prager和Rozvany[1]，Cheng和Olhoff[2]，Bendsos和Kikuchi[3-4]以及Zhou和Rozvany[5]的开创性著作以来，拓扑优化已受到相当多的研究关注。提出了许多拓扑优化方法，并将它们成功地应用于各种物理学科中的各种问题，例如声学，电磁学和光学。在这些方法中，最完善的方法是带有罚分的固体各向同性材料（SIMP）方法[4-7]和水平集方法[8-11]。由于易于理解的99行或88行MATLAB，在基于像素的解决方案框架内，SIMP方法得到了研究人员的广泛研究。可以使用的代码[6-7]。水平集方法，该方法是有代表性的节点基于点的拓扑优化方法中，首先由王引入到拓扑优化[8]。读者可以参考[12-15]，以对结构拓扑优化进行最新的回顾。
最近，郭等人[16-18]提出了基于MMC的概念的新颖拓扑优化方法。他们的方法优化了设计域中组件的中心位置，长度，倾斜角度和其他一些几何特征，并允许这些MMC重叠和合并，以便最佳的结构组件可以描述所需的拓扑结构。基于MMC的拓扑优化框架不仅可以将更多的几何和机械信息纳入拓扑优化过程与传统结构拓扑优化方法相比，在优化过程中还大大减少了设计变量的数量和计算负担。在基于MMC的方法中，拓扑结构可以由MMC来描述，而设计域是使用有限元网格的形状函数来近似的。但是，低阶形状函数通常会导致数值不稳定和收敛速度慢。而且，几何表示与有限元分析之间仍然存在差距和障碍。
等几何分析（IGA）有望解决这些问题。IGA由Hughes等人开发[19]。目的是统一计算机辅助设计（CAD）和有限元分析领域。在传统的有限元分析过程中，网格的生成和适合分析的几何图形的创建大约占整个分析时间的80％，这主要是由于工程和设计中的几何表示完全不同。休斯希望通过在CAD的几何框架内重构分析程序来改变这种情况技术-NURBS。这种新的分析过程称为IGA。IGA最显着的优势是它有可能打破工程设计和分析之间的障碍以及与现有实践的兼容性。IGA已应用于各种领域，例如流体和流体-固体相互作用[20]-22]，梁和壳体[23-26]，断裂[27]，非整合结构[28-29]和结构振动[30]。许多新的建模技术，例如T样条[31-37]，分层B样条曲线[38-40]，PHT样条曲线[4-42]，Web样条[43]，[44-46]，B 样条[47]和细分曲面[48-50]已用于IGA和有限元分析。
对于相同数量的自由度，IGA的NURBS基本函数比传统FEA的形状函数具有更高的精度，并且因为这些基本函数与对象的边界几何具有自然的兼容性，因此IGA也吸引了结构优化领域的研究人员的注意。Youn等人施加的IGA到结构形状优化的二维（2D）和壳的问题[51-52]和通过修剪花键延伸到IGA拓扑优化[53-54]。Dede等人运用IGA进行相场模型的拓扑优化[55]。哈萨尼等人提出了一种等几何SIMP拓扑优化方法最优性标准[56]，并采用隐式函数代替密度函数[57]。Wang等将IGA应用于传统的水平设置方法，其中水平设置功能通过最佳性标准[58-59]进行更新。最近，Jahangiry等提出了一种等几何水平集拓扑优化方法，其中通过计算Hamilton–Jacobi方程来更新控制网格（控制水平集函数），然后将其用于解决应力优化问题[60]。
所有上述等几何拓扑优化方法均采用隐式优化框架。在当前的工作中，我们通过结合IGA和基于MMC的拓扑优化方法，提出了一种显式的等几何拓扑优化方法。我们的方法称为TOP-IGA-MMC。所提出的方法继承了MMC和IGA的优点。实际上，所提出的方法不仅可以将大量的几何和机械信息明确且直接地整合到拓扑优化中，而且可以使分析和优化过程更加灵活。因此，它有可能集成CAD，CAE，并将拓扑优化整合到一个统一的框架中。几个数值基准示例证明了该方法的有效性，稳定性和鲁棒性。为了简单起见，在此工作中仅考虑二维平面应力问题和具有直骨架（中心线）的分量。
图1.具有直骨架的二次变量分量的几何描述。
本文的其余部分安排如下。在第2节中，我们简要回顾了基于MMC的拓扑优化方法和IGA。在第3节中讨论了TOP-IGA-MMC的数字实现方式。在第4节中，提供了一些基准数值示例，以证明所提出方法的效率，稳定性和鲁棒性。最后，在第5节中提供了一些总结性说明。
2.移动可变形分量和等几何分析
在本节中，将简要回顾基于MMC的拓扑优化方法和IGA的基本思想。我们向读者推荐[16-19]，[62]，[63]及其参考，以获取有关基于MMC的拓扑优化方法、NURBS和IGA的更多详细信息。
2.1基于移动可变形组件的拓扑优化
传统的拓扑优化是通过更新像素密度（SIMP法）或通过演化结构边界（水平集法）来实现的。文献[16]提出了一种基于MMC的显式拓扑优化方法。
2.1.1结构组件的几何描述
所提出的基于MMC的拓扑优化方法将MMC作为主要构建块。用这种方法，该区域Ωi主要结构部件所占据的位置可以隐式描述如下：
其中拓扑描述函数：
并且p是一个相对较大的偶数（例如，p=6）。在等式（2），（x0,y0），L和theta;下标分别表示组件的中心，半长和倾斜角（从水平轴逆时针方向测量）的坐标，并且下标i代表组件的序列号。在这里，为简单起见，我们考虑具有直骨架的二次变量分量：
对于更多类型的直形骨架组件，我们请读者参考[17]，对于拓扑描述功能完全不同的弯曲骨架，我们请读者参考[18]。
结构组件可以移动，扩张，收缩和重叠。当不同的组件重叠时，可以通过与组件相对应的拓扑描述函数的最大值来描述两个或更多组件所占据的区域。该表示与仅由一个特定组件占据的区域兼容。因此，结构拓扑可以描述如下：
因此，结构拓扑可以通过设计变量的向量来明确和唯一地描述：
2.1.2基于MMC的问题表述
结构组件可以移动，扩张，收缩和重叠。当不同的组件重叠时，可以通过与组件相对应的拓扑描述函数的最大值来描述两个或更多组件所占据的区域。该表示与仅由一个特定组件占据的区域兼容。因此，结构拓扑可以描述如下：
在等式（6）中，I是目标函数，gj, j =1,...,m是约束函数，U（D）是D属于的可容许集合。如果考虑可用体积约束下的最小化法规遵从性问题，并采用Galerkin数值方法，则优化问题可表述为：
在二维平面应力问题中，弹性矩阵的该部分可以用数学公式编写如下：
在二维平面应力问题中，弹性矩阵的该部分可以用数学公式编写如下：
考虑单相材料和Heaviside功能时
等式（7）可以重写为：
其中q是大于1的整数。
2.2等几何分析
2.2.1NURBS
由B样条曲线开发的NURBS是CAD和IGA中使用的基本几何表示[61-62]。甲节点向量是一个非递减序列的实数的在一个方向上在参数空间。如果结向量的每个跨度的长度相等，则将结向量称为统一结向量。然而，在实际应用中，结向量通常是不均匀的。具有不均匀结矢量的NURBS对象的数值行为要比具有均匀结矢量的NURBS对象丰富得多。另外，结向量中的某些结值甚至可以重复。换句话说，某些结值的多重性可能大于一个。
对于给定的结向量E={u1,...,un p 1}，B样条基函数可以被构造成具有开始分段常数递归从p=0：
对于p=1,2,3hellip;hellip;由递归定义
这是著名的Cox-de Boor递归公式。
通过引入正权重到相应的B样条基函数，一个带度的NURBS基函数可以构造如下：
此函数具有几个重要的属性，在此处简要列出：
（1）统一分区：；
（2）非负性：；
（3）连续性：是p-k顺序连续，其u的多重性是k。换句话说，当u的多重性增加时，减少。
（4）本地支持：p阶NURBS基函数是p 1结跨度。
（5）节点插入：可以将节点插入到初始节点向量中，而无需在几何上更改NURBS对象。
图2.NURBS修补程序，控制点用黑色表示。
ithNURBS基本函数的导数可以有效地表示为：
其中是ithB样条基函数的导数：
根据张量积公式，二维NURBS基函数随度p在u方向和程度q在v-方向，，可以定义如下：
使用控制点，它形成了对应NURBS基本函数的控制网格，可以按如下方式建立 NURBS贴片（如图2所示），它也是一个二元有理矢量函数：
我们向读者介绍[61，62]，以获得有关NURBS曲面的几何图像和有效算法的更多详细信息。
2.2.2等几何分析
在传统的FEA和IGA中，用于描述几何和解空间的基础是相同的。这就是等参概念。两种方法之间的根本区别在于，在传统的有限元分析中，首先选择多项式基础来描述未知的解空间，然后逼近给定的几何形状（即离散化过程）。但是，IGA会旋转等参箭头。它选择一个可以表示给定几何形状的基础（即NURBS基础）作为未知解空间的基础，以便可以利用我们拥有的信息，并且可以省去费时的近似网格生成过程。
在数学上，位移解可以描述如下：
其中是解决方案空间的一组基本函数，并且nnp是基函数的数量。在经典的FEA中，是Lagrange插值多项式基函数，并且在u角节点处插入位移di。相反，在IGA中，是NURBS基本功能，是在控制点处的位移，而不是在节点处的位移，如在FEA中进行插值；u由控制变量控制而不是用于内插它们。这是传统的FEA和新颖的IGA之间的根本区别。
现在，考虑一般结构分析问题的等效积分方程的弱形式：
可以通过一组预先指定的NURBS函数的线性组合来描述解空间。在等式中（19），对于任何v和u，存在常数这样
然后等式 （19）可以重写为：
然后等式（19）可以重写为：
如ci是任意的，等式（21）可以再次重写如下：
其中Beta;适应变为以矩阵，然后，我们定义以下内容
这样我们可以重写Eq（22）以矩阵形式：
然后我们定义以下术语：
请注意，整体刚度矩阵，位移向量和力向量与控制点有关，而不是与FEA中的节点有关。整体刚度矩阵K是从NURBS基函数的局部支持获得的稀疏矩阵，并且像FEA中一样，是从单元刚度矩阵组装而成的。我们将单个元素上的局部形状函数的数量表示为，因此，单元上的单元刚度矩阵的大小为。
从数学上讲，单元的刚度矩阵ethNURBS单元，，可以使用高斯正交求出，如下所示：
其中和是高斯点方向和方向在参数对应于元件u方向和v分别在ethNURBS元素。
我们将遍历NURBS单元，并为特定单元构建相应的单元刚度矩阵。然后，我们将这些单元刚度矩阵添加到整体刚度矩阵中的适当位置。因此，我们不需要在已知先验为零的单元上集成函数。
通过将NURBS引入分析框架，NURBS在Lagrange插值多项式函数上的某些优点也可以引入到IGA中，例如凸度，高阶连续性，局部支持，hkp细化，以及变异性降低。对于相同数量的自由度，NURBS的本
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