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最优 Ferrers 图秩度量代码的构造
摘要：子空间码和常维码由于其在随机线性网络编码中对错误控制的重要性而成为一个广泛研究的研究课题。Ferrers 图中的秩度量代码可用于构造良好的子空间代码和恒定维度代码。在本文中，介绍了三种 Ferrers 图秩度量代码的构造。前两种结构基于最大秩距离代码的子码，最后一种结构从已知的 Ferrers 图秩度量代码生成新代码。
这些结构中的每一个都会产生具有不同图表和参数的最佳代码，而这些最佳结构以前是未知的。
关键词： Ferrers 图 · 秩度量代码 · Gabidulin 代码 · 子空间代码 · 常数维代码 数学学科分类 15A03 · 15A99 · 15B99
1 引言
2008年，Koetter和 Kschischang [10] 提出了子空间码在随机网络编码中用于纠错的应用。在这项工作之后，子空间码理论得到了迅速的发展。子空间代码和常数维代码的构造和边界可以在 [1,4,6,8–12,15–17,19] 中找到。
请注意，通过提升最大秩距离（MRD）代码获得的代码是渐近最优的恒定维度代码 [16]。然而，这些代码并不是最优的。
构造大尺寸的常数维代码和子空间代码是有意义的。
在[4-6,10,17]中可以找到几种具有大基数的常数维代码和子空间代码的构造。
在[4]中，提出了多层次结构。它是提升的 MRD 代码的推广，并提供具有最大已知基数的恒定维度代码。多级构造基于具有给定码字形状的若干秩度量代码的并集，即费雷尔图秩度量代码。此外，在 [13,14,18] 中给出了多级构造的改进，另外考虑了用于构造恒定维度代码的 Ferrers 图的所谓未决点。
Ferrers 图是点和空条目的数组，Ferrers 图等级度量代码是一组矩阵，其中仅允许 Ferrers 图中带点的条目为非零。在[4]中给出了这种Ferrers图等级度量代码的基数的上限，并且在同一篇论文中给出了这种Ferrers图等级度量代码的具体构造。后来，Etzion等人。[3] 提出了四种新的最优费雷尔图等级度量代码结构。
本文的主要目标是继续这项研究。我们将给出三种 Ferrers 图等级度量代码的构造。特别是，我们为不同的图表和参数获得了最佳代码，而这些代码之前没有最佳构造。本文组织如下。我们给出了关于秩度量代码和Ferrers图秩度量代码的一些基本结果。我们提出了三种最优费雷尔图等级度量代码的构造。第4节总结了论文。
2 预备知识
在本文中，将固定以下符号。
- 设是素数的幂，是序的有限域。
- 让所有矩阵的集合成为长度超过 的所有行向量的集合。
- 矩阵的行和列将分别由 和 索引。
不失一般性，我们假设 。
2.1 秩度量码
秩距离定义为:
其中 rank 代表该字段上的等级 一个子集称为等级度量代码的最小距离是:
当 是 的线性子空间时，我们称其为线性码，其维数定义为 的维数。
让 和 ，众所周知:
这是等级度量代码的单例边界，参见 [2]当等式成立时，我们调用最大秩距离 (MRD) 代码。有一些MRD代码的构造，第一个也是最著名的家族是Delsarte [2]和Gabidulin [7]独立发现的。由于他们的工作，我们知道对于任何参数集都存在线性 MRD 代码。
如果我们选择一个固定的基，那么任何向量都可以看作是一个矩阵，基于这个事实，Gabidulin 代码可以构造如下。
定义 2.1(Gabidulin Code [2,7]) 一个线性 MRD 码，在向量表示上，维数超过和最小秩距离由其生成矩阵定义：
其中 和 在 上线性无关。
2.2 Ferrers 图中的秩度量码
Ferrers 图定义如下。
定义2.2: Ferrers图是点和空条目的数组，具有以下属性：
- 所有的点都向右移动，
- 每行的点数最多为前一行的点数，
- 第一行有点，最右边的列有点。
其中点数由 表示。我们还使用 来表示所有矩阵的集合，并且仅在具有点的位置具有非零条目。显然是一个线性空间并且 在 的维数是 。 此外，如果一个 Ferrers 图有个点，则它被称为完整的 Ferrers 图。
例 2.3 下面的例子显示了一个 Ferrers 图，
Ferrers 图等级度量代码是一组矩阵，仅在 Ferrers 图具有点并配备等级距离度量的位置处具有非零条目。对于给定的 Ferrers 图，三元组表示具有最小秩距离和维数的线性 Ferrers 图秩度量代码。由于得到的常数维码的基数随着Ferrers图秩度量码的维数增加，所以很自然的问，Ferrers图秩度量码的最大可能维数是多少，最小距离是多少。
让 成为第 -th 列中的点数。对于给定的 和 ，关联等级度量代码的最大维度由 表示。 在[4]中给出了一个上限。这是 Ferrers 图等级度量代码的类似 Singleton 的边界。
定理 2.4 [4]，表示去除前 i 行和最右边的列后Ferrers图中的点数。然后，
达到这个界限的代码称为最优的。很容易看出，MRD 代码达到了完整 Ferrers 图的定理 2.4 的上限。Etzion 和 Silberstein 提出了以下猜想。
猜想 1 [4] 对于任何给定的参数集，定理 2.4 的上界是可达到和
以下定理给出了一些已知的最佳费雷尔图等级度量代码的构造。
定理 2.5 [4] 设一个 Ferrers 图并假设最右边的每一列都有点。那么存在一个秩度量代码，从定理 2.4 获得任意和任意
定理 2.6 [3] 设一个 Ferrers 图并假设最右边的每一列都有点。那么存在一个秩度量代码，从定理 2.4 获得任意和任意
定理 2.7 [3] 设一个 Ferrers 图，假设最右边的每一列至少有一个点，最右边的一列有点。然后存在一个秩度量代码，它从定理 2.4 中获得了任何和任何的界限。
备注 2.8 在 [3] 中，作者还提出了从MDS代码构建最佳Ferrers图秩度量代码的方法。此外，他们给出了两种结构，将小图中的代码组合在一起以生成更大图中的代码，详情参见 [3]。
3 构造
在本节中，我们给出了三种Ferrers图秩度量代码的构造，其中前两种基于 MRD 码的子码，最后一种来自已知的Ferrers图秩度量代码。作为准备，我们给出 的定义，它是从到的映射。
让成为 over 的有序基础。矩阵 上任意向量都有一个双射映射，表示如下：
其中定义如下，使得
3.1 构造一
我们首先用一个例子来说明我们的想法。请注意，对于此示例的参数之前的构造都没有给出最佳代码。
例 3.1 令 F 为以下 8 times; 8 Ferrers 图：
对于 ，上限给出 。
让我们成为一个基础。然后是生成矩阵的代码：
是线性 MRD 代码。存在一个矩阵使得：
和 。矩阵AG生成与矩阵相同的代码。
是基数代码。让成为矩阵的每个码字的矩阵表示。请注意，那么的第四个元素是.因此很容易看出，中的所有元素都具有形式：
因此是一个代码。
现在我们概括例 3.1 中的构造。
定理3.2 Let be integers with Let be integers for which and Let 是一个 Ferrers 图，使得
- ;
- .
那么存在一个最优秩度量代码，它从定理 $2.4$ 获得任意 的界限。
证明：令 是在 其中 and 该编码有生成矩阵：
是线性 MRD 代码。注意:
是可逆矩阵，则存在一个矩阵使得:
对于 ，其中 . 矩阵AG生成与矩阵相同的代码。
令代码为以下形式的所有矩阵的集合：
注意，对于 , then ( 因为 , 代码是一个等级度量代码。这里我们认为，其中最后一行的码字为 0 。
另一方面，这种类型的 Ferrers 图的代码维度的上限可以通过删除最右边的列来获得，因此 。我们的结构达到了这个最佳尺寸并且具有最小秩距离
备注 3.3 代入定理3.2，可得例 3.1。
3.3 构造三
回想一下本节开头的定义。对于任何矩阵 ，有定义 。然后我们有以下引理。
引理 3.8
证明让如果排名。那么对于 的任何列，存在不全为零的 ，使得 ，因此 ，这是矛盾的。
定理 3.9 设一个 Ferrers 图并假设 是一个代码。让是一个带有 for 的 Ferrers 图然后存在一个代码。
此外，如果 是最优的，并且对于 ，则存在最优代码。
证明，那么很容易看出，维度 $t k$ 超过 ，秩距离至少距引理 3.8。因此是一个代码。对于秩距离，如果 ，则可以通过删除最右边的列来获得代码维度的上限。注意 。 因此，我们的构造达到了这个最佳尺寸并且具有最小秩距离
下面的示例显示了一个图表，其中可以通过定理 3.9 构造最佳 Ferrers 图等级度量代码。请注意，对于以下示例的参数，之前的构造都没有给出最佳代码。
例 3.10 是下面的 Ferrers 图：
对于 ，上限给出 。
设质数幂，则从[3，定理7]，存在最优码。
有了定理 $3.9$，我们可以为任何素数构造一个最优代码。
4.结论
在本文中，我们在费雷尔图中提出了三种等级度量代码的构造。前两种结构是基于MRD码的子码，它们的最小秩距离比较大。最后一个构造来自已知的 Ferrers 图等级度量代码。这些结构中的每一个都为不同类型的图表提供了最佳代码。我们的结果进一步证实了Etzion-Silberstein猜想。
现在我们总结了最佳 Ferrers 图等级度量代码的已知结果。回想一下，它表示第 -th 列中图表的点数。如果图和最小秩距离满足以下条件之一，则存在最优代码：
- , 定理 3;；
- 和 ([3, 定理 8]);
- 存在整数使得 和 (定理 3.2);
- 存在整数使得 , 和 (定理 3.6);
- 通过对角线组合某些具有相同距离的MDS代码，从MDS构造获得的代码图（[3，定理7]）；
- 将两个相同维度或相同距离的度量代码适当组合得到的代码图（[3，定理 9,10]；
对于未来的研究，我们建议解决以下问题：
- 在 方格中存在最优 Ferrers 图秩度量代码是一个有趣的问题。对于正方形，定理2.4的界限是由 [4] 和 ([3, Theorem 11]) 获得的。 在[3]中获得了一些最优代码。在本文中，根据定理 3.2，我们可以得到更优的代码（尤其是 和 的情况，其中 是 的真除数）。由定理 3.6，可以解决一些情况 为 （特别是情况 和 ，其中 是 的适当除数）。为这些图获得更优化的代码很有趣。
- 基于 MDS 代码的构造 [3，定理 7] 仅适用于足够大的字段大小。我们能否给出一个结构，为相同的图表提供最佳代码，但对于任何图表？这个问题也在[3]中被提出。
- 从备注 3.5 中，我们发现小图中的最优代码也可能是较大图中的最优代码。由于构建最优 Ferrers 图秩度量代码是一个困难的问题，下一步可能是考虑是否存在通过从已知图中删除一些“虚”点获得的图的最优代码（这些图存在最优代码）图）。例如，下图是否存在代码？
致谢
作者感谢匿名审稿人的详细和建设性意见，对本文的改进很有帮助，感谢副主编Tuvi Etzion教授富有洞察力的建议和出色的编辑工作。
参考文献
-
Bachoc C.,Passuello A.,Vallent
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资料编号：[406039]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word
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