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基于小波变换和快速傅里叶变换的电弧炉谐波检测
摘要：本文提出了一种基于小波变换和快速傅里叶变换的电弧炉谐波系统的检测方法。该方法不仅克服了传统傅里叶变换对暂态分析，不平稳的时变事件无效的缺点，同时也避免了单独使用小波变换不能获得在某一特定频率下的精确值的缺点。MATLAB的仿真结果也已经表明了给出的方法是合理有效的。
关键词：电弧炉；谐波分析；小波变换；快速傅里叶变换
- 引言
随着社会钢铁制造业的发展，直流和交流电弧炉已经越来越多的被使用。电弧炉炼钢过程中产生的谐波问题对电能质量的严重影响已经被我们关注到。电弧炉产生的谐波不仅仅只有整数倍波、非整数倍波和次谐波，还有不稳定、暂态的和时变的谐波成分[1][2]。确认谐波成分并消除谐波来确保高质量的电力功率供应是非常重要的，电弧炉也将可以更成功地得到控制。基于傅里叶变换的传统检测方法研究广已经泛应用于谐波分析，还可以用来准确地测定整数倍谐波的振幅和相位值。但是也存在很多问题，比如这种方法在分析暂态、不稳定的和时变的波形时是无效的。然而，小波变换对于上述信号的分析是非常有用。目前已经提出了许多基于小波变换的谐波检测方法。但是由于小波变换只能给出某些特定带宽有效，所以很难得到更细致精确的结果。
分析电弧炉谐波时，我们不仅是想获得静态谐波的准确幅值和相位，也希望获得暂态信号的的信息。本文基于参考文献5给出了一种方法，该文结合了小波变换和FFT的优点来满足我们在分析电弧炉谐波中的需求。样本数据先用离散小波变换进行预处理，数据被分成明确的系列，包扩了我们想要测量的整数倍谐波、非整数倍谐波和次谐波的近似系数谐波。然后用FFT分析近似系数来获得静态谐波的波形、幅值和相位值。随后，其他信息将由WPT（Wavelet Packet Transform,小波包变换）来获得暂态信息和时变谐波。仿真结果表明，当前的谐波处理方法是有效且适合电弧炉的。
- 电弧炉谐波
由于对电力系统安全性的高要求和日益增长的电容，使得大量的电弧炉已经成了电力系统的主要负担之一。超高功率电弧炉的出现给我们带来了严重的功率污染问题。
图1所示为典型的稳态下定长的电弧炉U-I动态特性。当电弧炉工作在稳态时，即电流、电压都是稳定的，它的U-I特性明显是非线性的。因为整倍谐波电流会加入到电力系统中去。在钢融化期间，由于某些影响，弧长发生变化，电弧的电压电流会失去周期性，整倍和非整倍谐波电流将会流入到电力系统中去。随着钢逐渐的熔化增多，电弧渐渐变得稳定，电弧的电压电流也趋于稳定。失真相对减小。[3]
图1 稳定电弧炉的暂时特性
由于复杂的谐波成分和暂态变化使得分析由电弧炉产生的谐波变成复杂困难的问题。大多数的谐波分布在2-7阶，其中二次谐波和三次谐波占有最高的HR（谐波比），平均值达到基波的5% - 10%，甚至高达15% - 30%。同时，4到7阶的谐波比例大约是2% - 6%，可能高到6%- 15%。考虑到电弧炉以上的所有特征，本文将采用一种结合FFT和小波变换的方法来分析电弧炉谐波。
- 小波变换
为了完整性，这一部分将给出WT（小波变换）的简要概括。
3.1 连续小波变换
连续小波变换（CWT）定义为：
(1)
而 (2)
是小波变换的母函数的拓展和转移形式。函数是定义在区间为（b,a)，且(bR,agt;0)的半平面上。函数(t)表示的是(t)的复杂的共轭函数。参数a对应的是尺度因子，表示与频率相关的伸缩，参数b对应的是时间平移因子。1 / 是函数(t)的归一化值，因此，如果(t)为单位长度时，那么它的缩放版本函数(t)也会有一个单位长度。(t)是一直复值函数，而且它满足一下几点条件：
(3)
(4)
且函数()是(t)的傅里叶变换。第一个条件 表示函数的有限性。第二个条件是允许性条件，意味着如果函数()是平滑的，那么就有(0)=0。初始信号x(t)可以通过逆小波变换（ICWT）的方法，从WT系数CWT(a,b)来重建，其变换公式如下：
x(t)= (5)
是正常化的连续值。
3.2 离散小波变换
令公式1中的a = ，b = ，t = kT。当T=1.0而且k,m,n都是整数值时，离散小波变换的公式如下：
(6)
为了计算方便，提高效率，和分别设置为2和1，可以扩展使得a的值为2-m和2mn。逆离散小波变换（IDWT）给出的公式变成为：
(7)
通过有限脉冲响应数字滤波器（FIR）比较公式6和一般公式
(8)
可以看到函数是转换函数为的低通数字滤波器的脉冲响应。当 = 2，函数的每一次扩张，都会有效地平分函数的带宽。多级离散小波变换（DWT）滤波器在开始的变换阶段使用离散小波变换（DWT）公式6，在逆变换阶段使用逆小波变换（IDWT）公式7。
3.3 离散小波包变换
离散小波包变换的定义公式为：
(9)
小波包变换是从小波变换母函数(t)的缩放、变换形式以及它的缩放形式(t)的线性组合而成的。和是长度为2N的低通（LP）滤波器和高通（HP）滤波器，与小波变换母函数相对应。
4 、本文提出的方法的理论
被分析的谐波中存在许多暂态和稳态的谐波成分。考虑到电弧炉谐波的特性，本论文通过使用小波变换的变形从稳态部分中区分出了稳态部分的谐波。先使用快速傅里叶变换（FFT）算法分析稳态谐波信号，然后再分析暂态谐波信号部分[5][6][7]。
本文所提出的方法理论在图2中展示出来。首先，初始信号经过二维离散小波变换（DDWT）进行预处理，然后信号被区分成低频部分（近似部分）和高频部分（精确部分）。大多数情况下，包括整数倍波、非整数倍波和子波在内的稳态成分位于近似处理的部分之内，而暂态部分包含在精确部分内。前一部分将用快速傅里叶变换（FFT）来进行分析。我们需要测定准确的幅值和相位值的。后一部分将用小波包变换来进行研究。然后，我们将获得非整数倍谐波和暂态谐波的相关信息。
为了验证这个方法，接下来我们将用合成信号来仿真检测这个方法的性能。仿真工作将由MATLAB软件来进行。
电弧炉谐波：
amp;稳定成分：整数倍、非整数倍谐波，次谐波
amp;暂态成分：案例1——指数衰减
案例2——突然消失或出现
DWT
精确部分：
暂态部分
近似部分：
稳态部分
FFT WPT
波形、振幅、相位
非整数倍谐波和暂态谐波信息
稳定部分
图2 方法理论框图
- 仿真及结果
本文提出的算法通过使用合成波形来仿真，经有力的测试，已经验证了算法的正确性。合成而来的仿真的样本信号具有电弧炉谐波的特性，如下：
= 50 Hz,表示基频。
为了让结果更加清晰明了，我们将信号的振幅进行了归一化。这些谐波的频率和振幅被选出来代表那些可能存在于需要准确识别谐波的电弧炉电力系统波形中。初始信号的波形见如下图3。
图3 合成的初始信号波形
选择采样频率 = 6400 ，信号先经过二维离散小波变换，如图4表明了二位小波变换的系数。近似部分在左边部分，精确部分在右边部分。
图4 合成初始信号的离散小波变换
一方面，稳态部分是由一个频率为25赫兹的次谐波和两个阶次分别为2和3的整数倍谐波组成的。所以频率范围是[0,150]。离散小波变换系数的频率范围是,计算结果即为[0,200]。我们再重建离散小波变换的系数，再换用快速傅里叶变换来进行分析处理。分析处理得到的幅值和相位值如以下图5和表格1所示。
图5 稳态谐波的信息
表1 稳态谐波的信息
另一方面，暂态部分的谐波包含了250赫兹和350赫兹两个频率。离散小波变换系数的频率范围为，经过计算可得具体结果为[200,400]。因此，关于暂态谐波的所有信息都包含在小波变换系数中。我们再次重建离散小波变换系数，然后用离散小波包变换来研究。提取和重建系数，获得的暂态谐波波形如下图图6。然而，混叠现象还是存在，因此我们还有更多的工作需要去做。这些仿真的结果证明了本文提出的基于小波变换和快速傅里叶变换的谐波分析处理方法对于电弧炉谐波问题是正确和有效的。
图6 暂态谐波部分信息
6、总结
为了检测电弧炉系统谐波问题这一目标，本文提出了一种基于小波变换和快速傅里叶变换的检测分析方法。小波变换适用于分离不同频率，并检测暂态谐波。快速傅里叶变换适用于分析稳态谐波。本文展士了对合成信号用24分贝的小波变换处理分析进行的仿真。证明了本文提出方法的正确性。
参考文献
[1] Chen Zuxian, “Harmonic Filters for Electric Arc Furnace”, Industri al Heating, No.1, 1997, pp. 29-34, Jan.1997.
[2] Deng Fei, Zhou You-qing, Li Xin-ping, “Generation and Control of Arc Furnace Harmonic Current”, Electric Switcher, No.1, 2005.
[3] Liu Xiao-he, “Study on the Mode, Harmonics Analysis and the Adaptive Control of the Electrode Regulator System of Arc furnace Electrical System”, The full text of Chinese doctoral thesis database，2000, 10.
[4] Stephane Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing, Second Edition, China Machine Press, Beijing, 2003, 9.
[5] Qi Xue-guang, “Study on Harmonic Detection Methods in Power System Based on FFT and Wavelet Transform”, The full text of Chinese doctoral thesis database，2004, 9.
[6] V. L. Pham and K. P. Wong, “Wavelet-transform-based algorithm for harmonic analysis of power system wavelet”, IEEE Proc.-Gener. Transm. Distrib., Vol.146, No.3, May 1999.
[7] Liu Pingying, Liu Guohai, “The Harmoni
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