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铁路桥梁车辆的横向振动：
一种解析方法
Zhibin Jin 1 ; Shiling Pei, M.ASCE 2 ; Xiaozhen Li 3 ; and Shizhong Qiang 4
摘要：铁路桥梁的横向振动，通过通过数值积分已经解决了传统意义上移动列车荷载。虽然它提供了实际的预测，数值方法没有明确揭示的基本驱动机制的铁路桥相互作用。在本文中，根据通过运行轮组获得力量的简支桥的横向振动得出了一个封闭式的解决方案。通过复杂的傅立叶扩展，这个解决方案导致三个具有明确的物理意义的影响因素，即，桥梁有效的单位移动荷载，所有移动的轮组的安排，和桥梁的频率响应函数。这些因素的基础上，提出了一个简化公式来估计桥梁的最大振动。通过与数值积分结果的比较，验证了封闭式解和简化公式。通过简化估计得出了通过移动获取力的桥梁的共振条件。
部门：10.1061 /（ASCE）be.1943-5592.0000784。copy;2015美国土木工程师学会。
关键词：铁路车辆；桥梁；横向振动；共振条件。
引言：铁路桥梁横向振动引起的列车安全运行的潜在影响，成为现代高速铁路桥梁设计中的一个重要问题。例如，大多数在中国2000年后建成大跨度桥梁已通过车桥耦合振动分析。目前，用于分析铁路桥梁耦合振动是一种高密集型计算和特定系统的非线性时程积分方法。在车辆荷载作用下，桥梁的横向振动的评估并没有任何简化的分析方法。从历史上看，假设没有车辆在桥梁的质量参与振动，桥梁结构竖向响应在移动荷载作用下求解，即，处理车辆作为移动荷载的影响。类似的方法可以应用于横向振动响应分析，从而简化它。本研究旨在开发一个在横向车辆载荷作用下的桥梁横向响应分析模型，并评估其准确性和在工程应用中的潜在应用。
对桥梁的动力响应，Timoshenko推导出简支梁采用幂级数展开法的运动谐和力的解析解。在这一分析中，谐波负载的使用目的是为了表示由于机车驱动轮的缺陷而产生的力。对于垂直响应，福瑞巴研究了简支梁采用固定或随机移动荷载的响应振幅驱动。DOM nguez考虑到火车轮组载荷的联合作用得到了一个使用傅立叶扩展的封闭形式的解决方案。按照这个解决方案，提出了共振分解公式(DER)作为一个桥梁振动振幅的上限（工程的一个重要参数和设计问题），避免了指定的ERRI D214/RP6 (ERRI 1999a)直接时间积分。通过这种简化方法，“高速列车”成为所有轮组布置效果的代表。Garinei研究移动荷载等间隔轮组作用下梁的竖向振动，将每个负载被理想化为一个常量和一个谐波分量的总和。Yau等人考虑到桥在弹性轴承作用下的情况。Yang等人给出了桥梁响应的移动列车荷载作用下的近似解。Ricciardelli and Briatico提出了一个简单的近似瞬态位移和恒速移动正弦力下的加速度反应。所有这些方法都将车辆和桥梁视为在动态过程中不相互作用的独立系统。
计算机的出现使封闭形式解决方案是很难制定情况下的动态交互方法成为可能。Chu 等人和 Bahatti等人首先考虑到了车辆质量和悬浮液对桥梁振动的影响。之后更复杂的模型被引入桥梁与车道的相作用下车辆、铁路、轮轨的计算中。Yang 等人提出了车桥单元求解的动力相互作用问题。Xia等人考虑到车轮的运动并采用了模态叠加法对车辆进行动力学分析。Li（2005）等人运用非线性轮轨关系进行车桥的动力分析。Zhai等人提出了车辆和轨道振动及其在桥梁振动中的非线性相互作用。
Museros等人对纵向反应做了初步的动载荷以及方法的比较。该比较表明交互模型在垂直方向振幅较小，尤其是对于段跨度桥梁。这是合理的，因为车辆质量可以作为调谐质量阻尼器来吸收能量。ERRI D214/RP9 (ERRI 1999b) 表明增加额外的人工阻尼的移动荷载模型会导致这种影响，并且这有助于在保持简单的格式的情况下提高分析方法的准确性。
另一方面，研究主要集中在桥梁的横向振动的分析方法是非常有限的。以安等人于2013年提出的虚拟路径的方法是一种在不考虑车桥相互作用的情况下无路桥横向振动的简化仿真方法。它不是一个封闭的形式的解决方案，但已被证明通过动力作用相互分析能够实现合理的精度。虚拟路径方法（准确来说，移动力法）在预测桥梁横向响应的准确性意味着移动力法可能是适用于桥梁的横向振动。
在本文中，列车全轮组获得的荷载可以简化为一系列谐波，移动荷载扩展成复合傅里叶级数，从而形成一个封闭式的桥梁反应解决方案。受“范德尔瓦斯方程”在恒载方面的启发，得到了移动荷载作用下桥梁横向振动的简易估算，并且通过与时程模拟的比较得到验证。
1.1桥梁振动受力分析的解析解
简支梁受力控制方程
在该研究中考虑的车辆的横向荷载是车辆运动产生的力。
图1显示的曲线是理想化的沿导轨锥形轮动引起的轮组横向调和运动，曲线运动的波长Lh可以根据克林格尔公式求解：
r0=轮滚轮半径 b =1/2仪表读数 gamma;=锥度的轮线
对于非锥形踏面，根据UIC代码519（国际铁路联盟2004）可以通过轮组运动轨迹得到等效锥度
为了更好的了解曲线运动的波长，从第一轮组的横向力可以表示为：
其中 t=时间 j=虚拟单元 F0=振幅 v=车辆运行速度omega;f=频率
图2 表示应用于桥上N个轮组的移动荷载。火车上每个轮组具有相同的频率和振幅但是据有不同的相位角，因为相对于第一个轮组，第K 个轮组有滞后时间tk=xk/v。在这里xk表示第一个轮组与第k个轮组之间的距离。因此，第K 个轮组的力可以表示为
简支梁在力Fk(t) (k =0 to N minus; 1)作用下以速度v运行的横向位移方程y(x,t)可以表示为
边界条件(part;4y/part;x4)(0, t)= (part;4y/part;x4)(L, t) =0
初始条件y(x,0) = _ y(x, 0)= 0.
在公式4中m, EI, and chi;分别表示线性质量密度，弯曲刚度和阻尼的桥梁，L表示桥的跨度，delta;(:)表达集中力的狄拉克函数，方程式Pi;(x)用来表示该力是否在桥的范围内。
式（4）的解可以通过模态叠加法求解
在大多数情况下，根据早期Goicolea等人的研究，采用桥第一振型可以实现良好的精度，为了简单起见，该模型仅考虑第一振型。因此，桥的横向振动可以简化为
在这种简化下，方程式（4）可以简化为
其中omega;20=（pi;/L）4(EI/m)，M = mL/2 ， zeta; =chi;/2momega;0，P(t)是所有轮组中N个轮组力的和，也可以表示为
Pk(t)可以通过以下公式求得：
移动荷载下桥梁振动的封闭解
为了得到方式式（7）的解析解，p（t）可以用以下方式扩展成一个傅里叶函数
其中omega; =2pi;/T表示傅里叶扩展式的频率，T = (L xN-1)/v表示列车通过桥的时间，xN-1表示火车最后车轮与第一个车轮之间的距离。
根据傅里叶展开式，系数Cn可以表示为：
令cn、k=cn，得到傅立叶级数系数的表达式
需要指出的是，当(nomega; minus; omega; f )/(pi;v/L) = ∓1时，cn趋近于无穷小，在这种特殊情况下，将其代入式（11）得到
将动力代入傅里叶扩展式之后，桥的横向运动扩展方程可以写成
式（14）二阶微分方式的解是特殊解与一般解的和，第n个傅里叶项的特殊解
qp，n(t) =F0/MCnH(nomega;) jnomega;t H(nomega;)为桥梁的频率响应函数
将所有傅里叶级数相加得到特殊解
通解
其中omega;D表示桥的阻尼固有频率，A和B为q(0)= 0 和（0)=0常数
最终，方程式（14）的解可以写成
通过对时间的二次微分得到加速度微分方程，得到加速度方程
1.2移动荷载下桥梁振动的简化计算公式
闭合解的主导因素
根据式（20）和式（21），移动荷载下桥梁的横向振动可以表示为傅里叶级数无穷项的和，仔细观察可以发现，仅有几项对公式求解影响最大，因此可以推导出一个仅含几项的简化公式。
由于侧向力的强制振动，随时间衰减的临时响应可以忽略不计。在稳定的条件下，令达到峰值的解决定了整个方程，其中表示模数运算。因此，式（20）和式（21）的简化解就是寻找令达到峰值的解，根据式（12）和式（15）得到以下公式：
方程式（12）的项并没有出现在式（22）中因为其系数为1.
可以将方程式右边分成4个部分，令
其中X表示从第一个车轮到最后一个轮之间的距离。
式（22）可以写成
第一项A是给定的常数，表示桥梁位移的频率函数，如果只考虑一个移动荷载，根据式（12）可以得到
，
这就揭示了C(K)的物理意义：简谐运动傅里叶展开式第k项的比例系数。
根据随k变化的C（k）做出图3，函数C(k)在k=0，plusmn;3.779，plusmn;5.86，plusmn;7.896时
达到峰值。第二个峰值仅为第一个峰值的7%，在简化公式的推倒中，取C(K)的值在第二峰值之上的点作为桥梁反应的主要点，这种情况对应的范围minus;2:7le; kappa; le; 2:7, minus;2:7pi;/L 2pi;/Lhle; nomega;/v le; 2:7pi;/L 2pi;/Lh。
函数取决于列车车轮之间距离X的取值，当nomega; = omega;0时，Domiacute;nguez将其定义为列车动力特征。因此，的物理意义相当于固有频率为nomega;的桥梁荷载影响的动态特征。
如果列车轮组与图4相同，求列车动态方程的简化表达式是可能的。通过这个简单的表达式，可以明确地确定动力特征的零点和峰值点。
对于具有相同轮距la的列车，因为第k个车轮的距离xk =kla，根据式（23），动态方程的表达式可以写成
其中 运行式（25）得到
将式（26）代入（25）得到
8个轮组的动态特征如图5所示，该动态特征是一个周期为2pi;的周期函数，当beta;/pi;取偶数时达到最大峰值，除了最大峰值，一个周期含有N-2个峰值，零点大概位于中心最大峰值处。令式（27）右侧为0，运用一下公式可以求得零点：
其中Z为整数集合，mod(x,N)模运算，mod(n a , N) =0的点不是零点，移位当mod(n a , N) =0时，式（27）中分母sin(beta;/2)=0，在这种情况下，通过附值令式（27）的右侧为N，使之与动态特征的峰值相对应。
因为是一个周期为2pi;的周期函数，峰值沿轴呈周期性变化，找到beta;与最大值之间的变化范围是不可能的，一个最简单的方法就是找到所对应的因为K和beta;是关于相关的，其中beta;f=2pi;la/Lh，K的变化范围与变化范围相同，在这个范围内，根据式（28），Sa（N，beta;）的零点
图6所示具有N个车轮的常规车辆，可以根据式（26）的类似到处方法得到下式：
需要指出的是，在图6中，转向相同的两个车轮之间的力是密切相关的，并且用这中方法合并为一个力，因此，通过转向架可以用一种简化的方法将两个力合二为一。
式（27）的零点就是的零点，在cos(lc/2la)=0或者beta;=(2nc 1)pi;la/lc是可以求得的其他零点。此外，如果仅考虑令的beta;值，Sc的其他零点：
将式（29）和式（31）得到的的零点定义为其中n0表示第n个零点，可以发现峰值大概出现在零点的周围。因此，根据零点的范围可以大致估算的峰值
在式（32）中，假设零点以升序排列，可以求得：
然后选取个峰值点根据的最大值进行估算得到桥梁的最大应力点。
式（24）中的项和的最大值可能对桥的总体应力反应产生较大的影响，如果桥的固有频率omega;0不在范围内，相应的需要考虑在桥梁最大应力的范围内。换句话说，如果需要考虑附加值：
根据式（33）-式（35）得到的四个，桥的横向位移可以根据下式估算：
相应的，桥的最大加速度可以用下式计算：
其中，，需要指出的是在估算最大加速度时，的最大值需要考虑在内。
桥梁横向振动简化公式及计算
通过上述桥梁得出的横向振动的解决方案，得到一个如图7所示的桥梁估算程序：
输入参数：L =32m; omega;0(2pi;) =13.57 Hz; m =28125 kg/m; zeta; = 0:05; F0 剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
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