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5.1 引言
5.2 谐波激励响应
5.2.1从t=0激励的应用
5.2.2所有时间的激励
5.2.3无阻尼系统的共振响应
5.2.4幅度和相位信息
5.3 频率响应函数
5.3.1介绍
5.3.2曲线拟合估计
5.3.3灵敏度对系统参数和滤波特性
5.3.4频率响应函数与传递函数的关系
5.3.5频率响应函数的替代形式
5.4 旋转不平衡质量系统
5.5 基激发系统
5.6 加速度测量：加速度计
5.7 隔振
5.8 耗能减震
5.9 谐波分量对励磁的响应
5.10 非线性刚度对强迫响应的影响
5.11 总结
练习
5.1引言
第3章推导了单自由度系统的控制方程。从这个方程，系统的解决方案受到压力和初始条件被确定在附录D。在没有压力下，对振动系统的响应受不同初始条件类型进行了研究。在本章中，我们要解决的情况是一个外力F（T）、初始位移和初始速度为零的物理系统。特别是，我们认为谐波和其他周期激励的响应。将频率响应函数的概念和相关的传递函数的概念引入，用于系统设计。
图5.1，是一个振动系统受到压力f（T）与系统的输入输出关系的插图。在本章中，我们确定了周期激励的时域和变换域的关系。在第6章中，我们确定了任意激励的时域和变换域的关系。
本章还研究了旋转不平衡质量振动系统的响应。对物理系统进行基本运动进行了分析，并在此上下文中，该设备被称为加速度计，用于加速度测量。隔振检查长度。对不同阻尼模型的能量耗散进行了讨论和引入等效粘性阻尼的概念。刚度非线性的强迫响应的影响也被处理。
参考图5.1，我们考虑f（T）定期变化的情况。运动方程的形式是[回忆式（3.22）]
初始条件为零，即，
注意到该系统的初始条件为零，一般解是由Eq.(D.17)为0le;zeta;＜1；即，
图5.1 受迫振动系统及系统概念图
其中eta;是积分变量①和
接着，线性振动系统的谐波的响应被认为是激发。首先，响应研究时，在时间T=0开始激发，然后响应研究时，激励是目前所有的时间。
在本章中，我们将展示如何做：
bull;分析了单自由度系统对不同时刻简谐激励的响应。
bull;确定的频率响应和相位响应的单自由度系统。
bull;解释一个单一的自由度系统的激励频率小于，等于，大于系统的固有频率的响应。
bull;从测量的频率响应确定系统参数。
bull;关于不平衡与基激励的单自由度旋转系统的响应分析。
bull;用加速度计测量单自由度系统的响应。
bull;单自由度系统的隔振。
bull;单自由度系统对多谐频分量激励的响应分析。
bull;确定能量耗散并定义等效阻尼。
- 在写Eqs.(5.2)中，使用了如下性质的卷积积分：
5.2 谐波激励响应
5.2.1从t=0激励的应用
在本节中，被认为是正弦谐波和余弦谐波励磁的响应。虽然初始条件为零，但是会显示，事实上，激发会突然施加在t = 0的包括一个瞬态部分和稳态部分的响应。这些瞬变是典型的情况下，电机启动或励磁间歇打开和关闭。在没有阻尼的情况下，振动系统的响应不能被表征为具有瞬态部分和稳态部分。
情况1：正弦谐波激发
我们首先考虑周期强迫函数
其中u（t）是单位阶跃函数②
当式Eq.（5.3）代入式Eq.（5.2），其结果是
此外，我们引入了无量纲时间改写Eq. (5.5)为
其中无量纲激励频率，无量纲积分时间变量xi;=，我们使用了由Eq.（4.5）定义的。注意当激励频率为固有频率——也就是说，。
强制反应的解决方案
在执行积分之后③，Eq.（5.6）变成
- 单位阶跃函数被用作简化，我们可以表达类似方程的函数的方式紧凑的形式比如Eq.（5.3），其仅在特定间隔中为非零。 在不使用单位阶跃函数的情况下， Eq.（5.3）将被写为
- 使用来自符号工具箱的MATLAB函数int。
其中响应的稳态部分由下式给出
并且响应的瞬态部分由下式给出
经过长时间，这意味着在许多循环的强迫之后，响应减小到
在等式 Eqs.（5.8a），量H（）被称为振幅响应和量theta;（）被称为相位响应，其提供相对于迫使f（t）的相位。我们看到，稳态部分周期性变化的无量纲频率，所施加的力f（t），频率和振幅。另外，位移响应相对于输入延迟量theta;（）。 对于几个zeta;值，在图5.2中绘出了幅度响应H（）和相位响应u（）。 我们将在第5.3节讨论这些数量的意义。
瞬态响应以频率周期性地变化，并且其振幅作为阻尼比zeta;的函数随时间指数地减小。 另外，响应相对于输入移位量。
瞬态响应时间 出于实际目的，我们定义时间持续时间，超过该时间，系统可以被认为已经达到稳定状态; 那是，
图5.2 直接应用于系统质量的谐波激励：（a）振幅响应和（b）相位响应。
获得此持续时间的估计，让瞬态衰减包络值d在一个无量纲时间，这是由关系
如果|d|＜＜1，即，当位移的瞬态部分的幅度远小于位移的稳态部分的幅度时，该瞬态被称为已经“消失”，并且只有该静态部分的反应仍然存在。 求解无量纲时间，我们得到
我们还可以表示无量纲时间，其对应于尺寸时间，以激励时的周期数表示归一化位移所需的频率omega;，衰变到d。由于激励时间，那么周期，
因此，Eqs.（5.10）导致
的一些典型值从公式Eq.（5.11）在表5.1中提供。从该表中注意到，对于给定的阻尼因子zeta;，有趣的是，瞬态持续的周期数随着激励频率而增加。如所预期的，对于给定的激励频率，瞬态的持续时间响应的部分减小以用于阻尼因数的增加。
表5.1 对于d = 0.02， 的一些值
正弦谐波激励的代表性系统响应 图5.3所示的三组曲线给出了对于三个Omega;值由Eq.（5.7）定义的归一化位移响应，并且在每个Omega;值下，对于三个不同的zeta;值获得响应。图5.3a中所示的第一组对应于小于固有频率的激励频率：Omega;＜1。 第二组，如图5.3b所示，对应于等于固有频率的激励频率：
Omega;=1。第三组，如图5.3c所示，对应于大于固有频率的激励频率Omega;＞1。对于这九个值的组合中的每一个，给出H(Omega;)和的值。随着tau;增加，瞬态部分消失，并且位移响应的幅度接近大小H(Omega;)（稳态值）。响应幅度在周期之后该稳定值的2％（d=0.02）或更小之内，或者等效地，当tau;ge;。 注意，当Omega;＜1或Omega;＞1，系统响应衰减到其稳定值的plusmn;d内。当Omega;=1时，位移响应增加，直到其达到其稳态值的plusmn;d之内。 此外，在发出瞬态部分的响应部分期间，响应不是周期性的。 然而，当过去时，每个响应接近具有由激励频率确定的周期的周期性; 即。
图5.3
当瞬态包络参数d = 0.02和不同的zeta;值时，系统对突然施加的正弦波强制函数的归一化响应：（a）Omega;=0.2。
图5.3（续）
（b）Omega;=1.0 和（c）Omega;=3.0。
情况2：余弦谐波兴奋
为了完整性，考虑周期性强制函数
在代入式 （5.12）代入式 （5.2），结果是
其中无量纲频率Omega; 和积分变量zeta;如情况1所定义的。
强制反应的解决方案 在Eq.（5.13）执行集成④，我们得到位移响应
其中响应的稳态部分由下式给出
并且响应的瞬态部分由下式给出
在等式 Eqs.(5.14)和(5.15)，幅度响应H(Omega;)和相位theta;(Omega;)由方程Eqs.(5.8a），并且注意到必须考虑适当的象限用于确定。 再次，如在正弦谐波激励的情况下，在长时间（多个周期的强制）之后，响应稳定到稳态形式; 那是，
位移响应由公式 Eq.(5.14)绘制在图5.4中的三个Omega;值，并且在每个Omega;值处，对于三个不同的zeta;值确定响应。 对于这九个值的组合中的每一个，给出H(Omega;)和的值。如在正弦谐波激励的情况下，瞬态在九个时间历程中的每一个中最初是非周期性的，然后在系统稳定之后响应变为周期性。 虽然瞬态响应的形状不同于针对正弦波强制函数所获得的形状，但是瞬变消失所花费的时间与相应的情况相同。
- 使用来自符号工具箱的MATLAB函数int。
图5.4
当瞬态包络参数d = 0.02和不同的zeta;值时，系统对突然施加的余弦波强制函数的响应：（a）Omega;=0.2和（b）Omega;=1.0。
图5.4（续）
（c）Omega;=3.0。
示例5.1系统阻尼比的估计以定制瞬态响应
具有66.4rad / s的固有频率的单自由度系统间歇地循环开启和关闭。当它打开时，它以5.8Hz振动。 阻尼比应该是什么，以便系统在每次施加强制时在150ms内衰减到其稳态幅度的5％以内？
假设系统稳定到强制循环之间的静止状态，从公式Eq.(5.10b），这是适用的，当强制打开，我们有
数值求解⑤，我们得到zeta;=0.244。
- 使用MATLAB函数fzero。
示例5.2灵活支撑的旋转机器的启动响应
当旋转机器从静止状态开始时，旋转速度通常线性增加，直到其在t =达到其操作速度。然后，从图5.5可以看出，机器的激励频率可以表示为
然后，对于图5.6所示的系统，系统的惯性元件上的强制为
或者
其中是机器的最终旋转速度与系统的固有频率的比率，，和与达到工作速度所需的时间与系统无阻尼自由振荡周期的比值成正比。
然后，图5.6中所示的系统由公式Eq.（3.23），其中上面的点表示相对于无量
纲时间tau;的导数。 由于正弦函数的自变量的形式，对于，该方程必须数值求解⑥。结果如图5.7所示zeta;=0.1，对于所有的Omega;的组合，=0.25，和2，和0.25,1.0,2.0.在每个值处，对应的稳态响应由方程Eqs.(5.17)和(5.18)；即H（）和theta;。
图5.5 图5.6
单自由度系统受到其频率
（t）从零上升到工作频率
励磁频率斜坡上升到其工作频率在时间。
- 采用MATLAB函数ode45。
图5.7所示的结果在初始阶段期间具有瞬态特性，其后是稳态阶段，如图5.3所示。当激励频率的最终值低于固有频率时，稳态振幅与瞬态运动的最大振幅没有太大的不同。然而，当激励频率的最终值等于固有频率时，从瞬态运动到稳态运动的累积是显而易见的。当激励频率的最终值高于激励频率时，可以看出瞬态衰减到最终的稳态运动。
图5.7 一个单自由度系统的激励频率的增加从零到最后的无量纲频率响应
5.2.2励磁存在于所有时间
在前面的部分中，示出了对于在时间t = 0处发起的谐波周期性激励，振动系统的响应由瞬态部分和稳态部分组成。 在无量纲时间之后，仅响应的稳态部分保留。这种观察被利用来表征线性系统在频率响应函数和传递函数方面。一旦从谐波强制为线性振动系统确定频率响应函数，该频率响应函数可以用于确定线性振动系统对于谐波输入的任何组合的响应。为了在这个方向上进行，首先，重新考虑在5.2.1节中发现的响应的稳态部分的先前确定的结果。
当周期力由下式给出时
或者等价地，根据无量纲时间变量tau;，如
也就是说，谐波激励存在于所有时间，相关联的稳态响应的部分由等式Eqs.（5.8）和（5.9）给出。 从而，
稳态速度和稳态加速度分别由下式给出
我们看到，对于谐波振荡，加速度的幅度等于激励频率乘以位移幅度的平方，加速度响应与位移响应相位相差180°的速度的幅度等于激励频率乘以位移的幅度，速度响应与位移响应相差90°。
例5.3阻尼系统的强制响应
考虑电动机如图5.8a所示。 电动机的输出连接到两端固定的两个轴。电动机提供沿着单位矢量k的方向指向的谐波驱动转矩。该扭矩具有大小100 Nbull;m，驱动频率omega;为475rad / s。电动机的旋转惯性为0.020kgbull;，轴的扭转刚度为2500 Nbull;m /rad， =3000 Nbull;m /rad，并且转子所经受的总阻尼可以根据具有阻尼系数 Nbull;m bull;s/r
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