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缓和垂直曲线II视距的发展
M. Easa , Yasser Hassan著
摘要
由一个缓和曲线（三次多项式），一个抛物线和另一个缓和曲线组成的新的垂直曲线的数学性质已经在同伴论文中提出。本文论述了这种新曲线的视距距离特性，称为缓和垂直曲线。对于峰值和凹陷曲线，考虑到与最小视距以及缓和和抛物线曲线的长度相关的各种情况，分析地导出最小视距和所需的曲线长度。基于由美国国家公路和交通运输协会提出的停止视距的上限范围，使用开发的分析模型，针对缓和竖直曲线的长度要求建立示例设计图。类似于实践中通常使用的螺旋水平曲线的缓和垂直曲线代表简单垂直曲线的替代，特别是对于尖锐垂直对准。2000 Elsevier Science Ltd.保留所有权利。
1.引言
视距是公路几何设计的基本要素之一。 美国国家公路和交通运输协会（AASHTO）的设计指南定义了三种类型的公路视距（AASHTO，1994）：停车视距（SSD），通过视距（PSD）和决策视距（DSD）。 所有公路都需要SSD，只有双车道农村公路需要PSD，复杂公路位置需要DSD。 视距距离要求影响水平对准的设计，例如水平曲线的侧向间隙和垂直对准，例如垂直波峰和垂度曲线的长度要求。
有四种类型的垂直（抛物线）曲线：简单曲线，不对称（两弧）曲线，三弧曲线和缓和曲线。 AASHTO（1994）提出了最简单曲线的视距要求，这是最常见的。传统的不对称曲线具有在垂直相交点处连接的两个抛物线弧，而等弧不对称（EAU）曲线具有在曲线中间连接的两个弧。Easa（1991a，b）和Easa和Hassan（1998）分别建立了传统不对称曲线和EAU曲线的视距要求。三弧曲线提供了满足垂直间隙约束的能力，而且可能提高视距（Easa，1998）。缓和曲线由连接到切线的两个缓和曲线之间的抛物线曲线（具有等级r的变化率）组成。缓和曲线的坡度变化率从抛物线曲线上的零（切线处）到r逐渐增加。这个新曲线的数学属性在一份配套文件（Easa和Hassan，1999）中给出，本文中给出其视距距离特性。
本文提出的视距距离分析需要缓和垂直曲线的基本属性，而且首先总结了其基本属性。坡度的代数方差A和抛物线曲线的坡度变化率r为：
（1）
（2）
其中g1和g2是第一和第二坡度（以小数表示），l和分别是缓和和抛物线曲线的长度。 对于缓和曲线（三次多项式），相对于位于缓和曲线开始处的笛卡尔坐标轴的高程y和从第一正切处得到的抵消值为：
（3）
。 （4）
对于抛物线曲线，y和为：
（5）
（6）
注意，对于波峰曲线，y和将分别为正和负，对于下降曲线反之亦然。
以下各节介绍了缓和的峰值和垂度曲线的最小视距的公式推导。接下来涉及到与控制最小视距和初步设计图的情况有关的实际方面。
2.缓和波峰垂直曲线
缓和的垂直曲线连接具有等级g1和g2的两个切线，并且以缓和曲线为始，接着是抛物线曲线，最后是另一个缓和曲线（图1）。连接点分别为：切线到缓和（TS）点，缓和到曲线（SC）点，曲线到缓和（CS）点和缓和到切线（ST）点。当从驾驶员眼睛（在h1高度）到设计对象（在h2高度）的视线与波峰曲线相切时，波峰曲线上的视距被控制。用于驾驶员眼睛和物体的几种布置可以涉及具有其段的缓和曲线而存在。然而，控制最小视距的布置将是捕获曲线的最大曲率的布置。对于缓和-抛物线-缓和曲线的构造，最大曲率存在于抛物线上，接着是缓和曲线的更接近抛物线的部分。因此，对于以下三种情况确定的缓和峰值垂直曲线的最小视距，其基于相对于L和的值，其中L是总曲线长度。
情况1： lt;。 在这种情况下，驾驶员和物体都位于抛物线上（图1）。 这种情况类似于简单的垂直曲线，其中最小视距的公式已经可用（Hickerson，1964; AASHTO，1994）。 在这种情况下，由两个分量组成，和和()。因此，可以得到
(7)
或
(8)
图1.缓和峰值垂直曲线的视距，情况1： 。
把方程（2）代入r，得到
对于l=0，等式（9）简化为简单波峰曲线的公式，可以推导出
其中是曲线长度。
情况2：L。在这种情况下，驾驶员位于第一切线，在TS之前的任意距离处并且物体位于与ST（图2）相对应的距离处的第二切线上。视线与抛物线曲线相切在点e处，其中SC到e的距离是q。视线与第一切线在距驾驶员t和距TS m处相交。如图2所示，
. (11)
从图形得知，视线和第一切线之间的角度等于第一切线和SC处的切线之间的角度加上视线和SC处的切线之间的角度。为：
图2.缓和峰值垂直曲线的视距，情况2：。
此外，从具有基底y1的三角形的几何形状，
等式的右边（11）和（13）给出
类似地，考虑具有长度p的抛物线的其他部分，
其中u是从视线和第二切线的交点到物体的距离。求解方程（15）得到u，把方程（2）代入r，并注意，得到
为了计算图2中的距离（l-m），注意，（l q-m）等于基于等式6的在点e处的抵消值。其中x=l q。因此，
把方程（14）代入q，得到
类似地，
驾驶员假设的任意位置的可用视距由下式给出
把方程（16），（18）和（19）代入u，l-m和l-n，得到
其中
S相对于t的一阶导数
令dS /dt =0，求解t得到发生时的距离，
将代入式（21），给出
从中得到
对于l=0， ==1和方程（25），都减少到简单峰值垂直曲线的值。作为比较，基于视距关系的原始简单抛物线曲线的由下式（Hickerson，1964；AASHTO，1994）给出
其中，通过比较方程（24）和（26），并且由于对于l所有的值，K1和K2都大于1.0，缓和曲线将总是改善波峰曲线的最小视距。 通过改善视距，缓和曲线不像螺旋水平曲线那样对于固定的横向障碍物总是恶化视距，即使其类似地将具有长度L的简单圆形曲线替换为具有长度的螺旋曲线，其中和分别是圆形和螺旋曲线长度。因为螺旋曲线的移动是向内的，所以视线距离变差了。
情况3：。在这种情况下，驾驶员和物体分别位于第一和第二缓和曲线（图3）。在这种情况下的最小视距可以仅仅数值地获得。对于驾驶员的任意位置，距离TS的距离，图3中的距离t等于，其中是x =（等式（4））时的抵消值。 因此，
由于（图3），前面的方程可以简化为
得到距离m为：
其中是（等式（4））时的抵消值。 因此，
图3.缓和峰值垂直曲线的视距，情况3：。
由于m=，等式（28）和（30）可以用于获得q中的二次方程
其解答是
其中
方程（31）的第二根为
然而，由于小于l，所以这个第二根将总是负的，因此它应排除。类似于q的推导，p和之间的关系是
其中p=-q。 给定，求解的数值解的步骤是：
1.假设的值较小。
2.增加，其中的范围为0到1。
3.解答方程（32）得到q。
4.求解方程（35）得到。
5.
6. 重复步骤2-5，直到找到该特定的最小视距。
7. 如果等于或大于，停止运算。 否则，增加并重复步骤2-6。
还应当注意到，情况2和3的推导仅适用于视线和曲线（图2和图3中的点e）之间的切线上的点位于抛物线部分。在一些罕见的情况下，抛物线曲线相当小，切线上的点可能位于第二缓和上，因为它更靠近物体，比起停车视距应用时驾驶员的眼睛，该物体具有更小的高度。如附录A所述，可以检查这种情况并且用类似于案例2和3的两种情况计算。
3. 缓和垂度曲线
对于垂度下垂曲线，在夜间最小视距由大灯控制。当前灯在SC或TS处或当前灯在第一缓和曲线上，取决于垂直曲线的几何形状时，可能发生缓和垂度曲线的最小视距。应当注意其他情况，例如抛物线上的头灯可能并将发生，但不能控制最小视距。这是因为这些情况将不包含具有最大曲率的曲线部分。在缓和曲线中，具有最大曲率的部分是抛物线段和更靠近抛物线段的缓和曲线部分。当前灯处于SC（图4）时，有三种情况，它们取决于前照灯光束与垂直曲线之间交叉点的位置。如图4所示，在所有三种情况下，变量z由下式给出
其中h是车辆大灯的高度，是头灯光束的向上角度。
情况1：。如图4a所示的这种情况，类似于简单垂度曲线的情况，其中视距关系为（AASHTO，1994; Hickerson，1964）
对于缓和曲线，等式（37）应该用而不是A。因为得到
把等式（2）代入
情况2：。对于图4b的几何形状，z可以写为
图4.缓和垂度曲线（SC处的大灯）的视距：（a）情况1：; （b）情况2：；
情况3：。
令等式（36）和（40）的右边相等，并注意把等式（2）代入，得到
(41)
它可以数值求解以找到。
情况3：。对于图4c的几何形状，z可以写为
令等式（36）和（42）的右边相等，并求解
其中第二根总是负的，应该被排除，并且D由下式给出
当头灯处于TS时，存在三种情况，它们取决于前照灯光束与垂直曲线之间的交叉点。在所有三种情况下，给出变量z（图5）
情况4：。对于图5a的几何形状，z也是基于等式（5）和（6）的抵消值，由下式给出
令等式（45）和（46）的右边相等，并注意把等式（2）代入，得到
对于l=0，减小到简单下垂曲线的公式（37）中。
情况5：。对于图5b的几何形状并基于等式（4），z由下式给出
使用方程（45）和（48），得到
它可以数值求解以找到。
情况6：。在这种情况下，z由下式给出（图5c）
图5.缓和垂度曲线（在TS处的大灯）的视距：（a）情况4：；（b）情况5：和（c）情况6：。
使用方程（45）和（50），得到
图6.缓和垂度曲线的视距（TS和SC之间的大灯，情况7：）。
对于l=0，等式（51）简化为简单垂度曲线时的等式，由下式给出
情况7：TS和SC之间的大灯，。如果，这最后的情况也会发生，它可能控制缓和垂度曲线上的最小视距。不像1-6这些情况，前灯将被假定在第一缓和曲线上，使得将捕获由抛物线段和接近它的缓和曲线部分产生的最大曲率。类似于先前的推导，通过使从两种不同的方法确定的距离z相等，可以得出以下方程
对应于任何距离的视距S可以通过求解等式（53）得到。因此，可以确定。应当注意，的可能值包括0和l，这使得这种情况也适用于在TS和SC处大灯的情况（参见图6）。
4. 分析和结果
4.1在缓和垂度曲线上的控制情况
通过比较和L、，可以容易地确定缓和峰值垂直曲线上视距的控制情况。另一方面，确定缓和垂度曲线上视距的控制情况需要比较和L、以及比较对应于SC处的大灯，TS处的大灯和SC与TS之间的大灯的视距。在本文中，这种检查是通过分析以下曲线的组合数值完成的：
- 缓和曲线的长度l范围为10至100米，步长为10米。
- 正切等级的代数方差A，范围为1％到20％，步长为1％。
- 抛物线的长度，范围为0到2000米，步长为0.1米。
对于这4个曲线组合中的每一个，先前得出的公式用于计算值，它基于和h=0.60m（AASHTO，1994）时的AASHTO指南 。
图7.缓和下垂竖曲线上最小视距时大灯的控制位置。
分析涉及两个任务。 首先，因为只有一个条件可以满足，对应于TS和SC处的大灯，的两个值在每个组合中可以计算。然后，视距的控制情况定义为产生较小的值的情况，每个组合已经都确定好。所有组合大灯控制位置的概要如图7a所示。第二，根据情况7，TS和SC之间（但不在任一点）的大灯来计算另一个值，并与第一步的结果进行比较。发现对于l的每个具体值，有一个范围，将造成情况7中大灯的控制位置。 的较高和较低范围如图7b所示。当l=30m时，控制情况的详细描述的示例如图8所示。
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