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Statics and Dynamics of Continuum Robots With
General Tendon Routing and External Loading
(连续体机器人一般肌腱路由和外部负载的静力学和动力学)
摘要：肌腱是一种广泛使用的连续驱动策略robots that enable forces and moments to be transmitted
使力和力矩得以传递的机器人along the robot from base-mounted actuators. Most prior robots
机器人从基座安装执行器。大多数现有的机器人人
have used tendons routed in straight paths along the robot. However,
使用肌腱沿着机器人的直线路径。然而,routing tendons through general curved paths within the
路由弯曲通过一般弯曲路径内robot offers potential advantages in reshaping the workspace and
机器人提供了潜在的优势重塑工作区和enabling a single section of the robot to achieve a wider variety
使单节机器人实现更广泛的品种of desired shapes. In this paper, we provide a new model for the
所需形状。在本文中，我们提供了一个新的模型。statics and dynamics of robots with general tendon routing paths
一般肌腱路径机器人的静力学与动力学that is derived by coupling the classical Cosserat-rod and Cosseratstring
这是由耦合的经典的Cosserat介质杆和cosseratstring衍生生
models. This model also accounts for general external loading
模型.该模型也占一般外部负载conditions and includes traditional axially routed tendons as
条件和包括传统的轴向路由肌腱腱
a special case. The advantage of the usage of this coupled model
特殊情况。这种耦合模型的优点for straight-tendon robots is that it accounts for the distributed
对于直肌腱机器人，它占分布式wrenches that tendons apply along the robot. We show that these
扳手筋适用于机器人沿。我们表明，这些are necessary to consider when the robot is subjected to out-ofplane
有必要考虑当机器人进行平面external loads. Our experimental results demonstrate that
外部载荷。我们的实验结果表明the coupled model matches experimental tip positions with an error
耦合模型与实验针尖位置匹配的错of 1.7% of the robot length, in a set of experiments that include
1.7%的机器人的长度，在一组实验，包括both straight and nonstraight routing cases, with both point and
直链和nonstraight路由的情况下有点distributed external loads.分布外载荷。
- 简介
连续体机器人提供了许多潜在的优势在传统的刚性链接机器人的应用程序涉及在杂乱的环境中通过复杂的轨迹或者机器人必须顺应地接触环境（见[2] - [5]）。 因为的固有柔性，连续机器人的形状可以受自动和外部负载的影响。最近的模型这两者都是连续机器人的衍生具有气动驱动[6]，[7]，多重柔性推拉杆[8]，[9]和由同心，预弯曲组成的主干
在本文中，我们推导出由肌腱致动的连续型机器人的这种模型。这种广泛使用的连续型机器人类利用了弹性结构（我们将其称为“主干”，虽然它可以是任何弹性介质）。其由穿过结构中的中空通道的腱束致动。 示例性弹性结构包括在壁[11]中具有筋的柔性管和具有沿其长度固定的圆盘的弹性杆（例如，[12]和[13]等）。 腱束以各种弧长附接到机器人，使得基座安装的致动器通过张紧腱来弯曲机器人。
使用基于力学的模型表征机器人形状已经成为许多先前研究的主题。 早期工作由Chirikjian和Burdick [14] - [16]使用连续模型描述超冗余机器人。 最近的连续机器人建模已经专注于连续柔性结构由各种致动器或力/扭矩传递作用机制。 对于肌腱致动的机器人，共识的结果是当肌腱张紧时，骨架假定分段恒定曲率形状。 这产生分析简单的运动学和已经实验证明在几个不同的机器人[5]。 李和Rahn [17]调查这个问题明确地通过使用非线性弹性理论来确定边界上的腱支撑高度和间距等恒定曲率近似对于没有外部负载的机器人是有效的。
除了运动学建模之外，存在用于描述处于外部载荷下的腱致动的连续型机器人的形状的一些结果。提供一个基于能量的综合模型，用于平面连续机器人的平面荷载的静力学和动力学[12]，[18]，[19]。 早期关于具有嵌入肌腱的弹性动力学的理论工作是Davis和Hirschorn [20]。 Cosserat杆理论最近也显示了作为描述其他（不是基于肌腱的）连续体设计的变形的通用工具[6]，[10]。应用Cosserat理论实现肌腱致动机器人的外部负载下的实时运动学计算，基于建模腱致动作为单点力矩施加到骨干每个腱附接。
在本文中，我们延伸以前的工作，基于Cosserat棒方法，不仅考虑附件点力矩，而且还包括腱沿着长度施加的附接点力和分布扳手骨干。 我们的方法耦合古典Cosserat绳和杆模型来表示这些分布的腱载荷项的运动变量。 在图一中，我们说明了在这个新的耦合模型和点矩之间的差异并提供了两个的实验比较。
图1.连续机器人的模拟，其具有在尖端处施加的平面内和平面外力的单个的、直的、张紧的腱。 这些说明了本文提出的包括分布式腱扳手和常用的点力矩近似的模型之间的差异。 对于平面变形和载荷，两个模型仅仅通过轴向压缩（在大多数情况下较小）不同。 然而，对于平面外载荷，结果显着不同，并且包括分布式扳手增强了模型精度（参见第V节）。
图2.通过使用弯曲的腱来改变机器人形状/工作空间的示例。 （左）机器人具有四个直筋，围绕其周边以相等的角度间隔开。 （右）一个类似的机器人与四个螺旋肌腱，每个都围绕轴一个完整的革命。 这两种设计在尖端取向能力方面显着不同，并且螺旋形设计可以更好地适合于例如平面工业拾取和放置任务。
耦合方法的另一个优点是其使得能够使用在空间中为一般曲线的腱路由路径（现有设计具有沿着机器人的直线路径中的腱，平行于骨干轴线）。这扩展了可用于肌腱致动的机器人的设计空间和形状集合。图。图2示出了如何将其用于重新成形单段机器人的工作空间，重新定向夹具。该说明性示例可以想象地在工业拾取和放置任务中是有价值的，其中待操纵的对象位于平面中。一般腱路由的有用性的另一个例子是Simaan等人的耳蜗植入物[22]，其使用单个弯曲的腱在插入期间控制植入物的形状，目的是减少插入力并由此对耳蜗的创伤。因此，使机器人的单个部分弯曲成可变的曲率形状可以增强连续型机器人的能力，并且这可以通过大体上路由的腱实现。我们在本文中得到的模型提供了设计和控制以这种方式致动的机器人的理论框架。
A.贡献
在本文中，我们提供了一个新的模型的空间变形的腱驱动连续机器人。 该模型通过以下方式扩展了先前的模型：1）将腱路径路径视为一般曲线（放松直线，轴向路径的假设），2）考虑由腱对机器人应用的分布式扳手，先验模型， 3）考虑应用于机器人的一般外部载荷。在这个框架中，我们还描述了机器人的动力学。 我们的实验贡献包括在物理原型上的静态模型的验证。 本文的一些结果在[1]中以初步形式提出。 值得注意的添加/扩展包括更广泛的静态实验，动态模型的推导和模拟，以及我们的新耦合模型与点矩模型的定量实验比较。
- 古典COSSERAT棒模型
在本节中，我们提供了古典Cosserat杆模型的简要概述，以便让读者熟悉我们的腱驱动连续机器人模型所基于的理论。 我们遵循Antman关于非线性弹性的全面工作的第4章和第8章中的一些命名和方法，同时利用机器人专家熟悉的运动符号（参见[24]）。 所使用的符号在附录中的命名部分中进行了总结。
A.杆运动学
在Cosserat-rod理论中，杆的特征在于其中心线空间中的曲线及其材料取向，作为参考参数的函数。因此，参数化的，均匀的刚体变换，，可以用来描述整个杆：
运动变量和表示相对于以“身体框架” 的坐标表示的s的线性和角速率变化。 因此，沿s的演变由以下关系定义：
（1）
其中点表示相对于s的导数，运算符如[24]中所定义（另见附录）。 我们让杆的未变形参考配置为，其中的z轴被选择为与曲线相切。 可以使用Frenet-Serret或Bishop的惯例来定义的x和y轴，或者，如果杆具有不是径向对称的横截面，则使x和y轴对准是方便的 与主轴。 然后可以通过下式获得参考运动学变量和
如果参考配置恰巧是具有s作为沿其的弧长的直圆柱棒，则，并且
图3 从c到s的杆的任意截面承受分布的力和力矩。还显示出了内力和力矩。
B.平衡方程
下面[23]，人们可以写一个任意截面的杆的静态平衡的方程，如图3所示。 内力和力矩向量（在全局坐标系中）由n和m表示，每单位s施加的力分布为f，每单位s的应用力矩分布为l。 取静态平衡条件相对于s的导数，得到特殊Cosserat棒的平衡微分方程的经典形式：
（2）
（3）
C.组织法
杆的参考状态下的运动学变量和变形状态下的运动学变量之间的差异与各种机械应变模式有关。 例如，在主体框架x和y方向上的横向剪切分别对应于和，而在主体框架z方向上的轴向伸长或拉伸对应于。 类似地，关于局部x和y轴的弯曲分别与和相关，而关于局部z轴的扭转与相关。
可以使用线性本构定律将这些变量映射到内力和力矩。 假设g *的x和y轴与横截面的主轴对齐，我们有
（4）
当
是剪切和延伸的刚度矩阵，是弯曲和扭转的刚度矩阵，其中是横截面的面积，是杨氏模量，是剪切模量 ，并且和是围绕主轴的管横截面的第二矩面积矩。（注意,是围绕垂直于截面且源自其截面的z轴的横截面的极惯性矩。）我们使用这些线性关系 因为它们对于许多连续机器人而言是符合标准的方便和准确的，但是应当注意，Cosserat杆方法也可以适应非线性本构定律。
D.显式模型方程
我们现在可以使用（4），它们的实数和（1）来描述运动变量的（2）和（3）。 通过假设刚度矩阵相对于s是恒定的，这导致如下的全套微分方程
(5)
或者，可以通过使用m和n作为状态变量而不是v和u来获得等效系统：
(6)
在s = 0处夹紧并受到施加的力F的杆的边界条件 和力矩L？ 在s =？ 将是。
3．耦合COSSERAT ROD和TENDON模型
回顾了经典的Cosserat-rod模型，我们现在得到一个新的模型为肌腱驱动连续介质操纵器。我们使用第二节的Cosserat模型来描述弹性骨干，我们使用经典的Cosserat模型来描述肌腱。我们将通过导出筋束应用于骨干的分布载荷来耦合弦线和棒模型。这些将以杆的运动学变量表示，然后并入杆模型中。
A.假设我们在我们的推导中采用两个标准假设。首先，我们假定肌腱和它们行进通过的通道之间的无摩擦的相互作用。这意味着张力沿着肌腱的长度是恒定的。摩擦力预计随着机器人的曲率由于较大的法向力而增加而增加，但是如果使用低摩擦材料，则零摩擦的假设是有效的，这是大多数现有腱致动的连续机器人以及我们的实验原型。第二，假设在机器人的横截面内的钢筋束的位置不改变在变形期间。这个假设对于使用具有紧公差的嵌入式套管或通道的设计以及使用紧密间隔的支座盘的设计是有效的。
图4. 连续机器人材料或支撑盘的一般横截面，显示筋的位置。
B. Tendon运动学
我们将（5）中的项f和l分为真正的外部分布荷载和和由于腱张力引起的分布荷载和：
（7）
为了导出ft和lt，我们通过定义腱沿机器人长度路由的路径开始。注意，该路径可以由均匀弹性结构内的通道或管道或弹性骨架上的支撑盘限定，这两者在选择腱路由方面提供相当大的灵活性。在我们的实验原型中，我们在每个支撑盘的周边钻多个孔，这允许根据需要容易地重新配置腱路径。
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