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地震输入角对曲线梁桥地震响应的影响
文章信息：
文章历史：于2015年6月3日在网上发布
关键词：曲线梁桥，地震输入角，地震反应，不利角
摘要：
曲线梁桥的最大地震响应与特定地震的输入角有很大关系。由于结构的不规则性，桥梁反应是由力矩和扭力之间的相互作用产生。基于对单向输入型地震对结构所产生的地震反应的分析，推导出了地震输入不利角度的统一表达式，确定了结构对应的最大响应。通过分析正交异性和双向倾斜地震输入方式，分别推导出两种情况下的最大不利角。此外，通过以曲率半径和轴承布置作为变量的曲线梁桥示例，建立了一系列有限元模型来分析多分量地震响应。箱梁桥的地震反应由不同输入角的地震激发，并使用响应谱法计算和分析。地震激发的输入角逐渐增大。从基于上述计算结果的分析和比较中，可以确定对应于弯曲桥梁的最大地震响应的最不利的地震输入角。结果表明，不同响应组合方法的地震输入最不利的角度基本上是一致的。
1.序言
曲线梁桥已广泛应用于道路和铁路的建设。作为梁桥的一个重要分支，曲线梁桥在桥梁工程中发挥了重要作用。自20世纪70年代以来，工程师们观察到全球大量受破坏性地震影响的曲线梁桥。研究人员所知的最具破坏性的案例之一是1971年的圣费尔南多地震，对跨越两个大型等级分隔的交汇处工程之间的多跨梁桥造成严重损害。从那时起，对弯曲桥梁地震反应的研究受到越来越高的重视。Tseng和Penzien（1975a，1975b）发表了两篇关于大型地震下连续弯曲桥梁非线性地震反应的分析结果的文章。Williams和Godden（1979）发表了他们通过圣费尔南多地震中倒塌的弧形梁桥的振动台模型所得的实验结果，以及对其有限元分析的相应理论结果。Kawashimak和Penzien（1979）通过考虑碰撞和屈服现象建立了伸缩缝的力学模型，并研究了伸缩缝对曲线梁桥的地震响应的影响。Wilson和Button（1982）讨论了由多方向地震输入所引发的结构响应的应力方向，但他们的结果在稍后的试验中被证明仅适用于单自由度（SDOF）结构及单向输入的情况。Li等人（1984）开发了一种弯曲坐标系来研究弯曲桥梁的地震反应。Yuan等（1996）分析了行波效应下的9跨连续弯桥的线性和非线性响应。QIN（1996）在对新建的曲线梁桥进行分析的基础上，讨论了桥墩的屈服变形、伸缩缝的滑移和碰撞等抗震性能。Zhu等（2000,2002）根据SRSS组合方法讨论了不规则桥梁的主入射角，指出不规则桥梁的最大响应可以通过分析沿平面中任意两个方向输入的响应光谱来获得。也分析了桥墩与梁连接的曲率和类型等因素。Zhang等人（1999）和Fan等人（2003）基于屈服面函数理论确定了最不利的输入方向。通过布置光纤元件在桥墩，滑动元件模拟轴承和接触元件模拟相邻的上部结构的碰撞，Nie等人（2004）完成了弯曲桥梁的抗震性能评估。基于对弯桥多种计算方法的详细比较分析，Gao和Zhou（2005）得出结论CQC3（完全二次组合3）方法是在多方向地震输入下获得最大地震响应的最合适方法。通过多次的小型曲梁桥振动试验，Saad和Wieser等人（2012）分析了梁曲率，支座类型，基础面积和隔离措施对弯梁桥梁的影响，表明弯曲桥梁的地震反应受到上述参数的显着影响。
新发布的Caltrans地震设计标准（2013年）提出了两种计算弯曲桥梁弹性地震反应的方法，即两种情况的最大值用于桥梁设计:通过CQC3方法的纵向和横向的响应组合。因为在加利福尼亚，美国和中国的桥梁存在大量结构差异，Caltrans方法是否适合弯曲梁桥仍然是一个值得验证的问题。
由于确定弯曲桥的最不利输入角的多种方法存在结果上的差异，为了更准确地评价弯桥的抗震性能，需要对地震地面运动的不利输入角进行研究。
2.计算理论
2.1 平面上沿随机方向输入的单向地震
假设一个X-Y坐标系统是通过采用图1这样的结构。单向地震加速度沿x-y平面沿随机方向()输入。
结构的动态平衡方程如公式1
其中M，C和K分别是系统的质量矩阵，阻尼矩阵和刚度矩阵，和分别是坐标x和y处的单位列向量，和分别是沿着x轴和y轴输入的单向地震加速度a激发的地震惯性力, a是从x轴逆时针方向的输入角。
求解公式1，我们可以得到
其中是系统第i个质点的第j个模式的振动模式向量的元素，是通过Duhamel积分法计算的周期的位移响应谱和结构的阻尼比,是单向地震沿角度a激发的系统的第j个模态质量的模态参与系数。然后可以通过公式3计算：
其中是振动模式矩阵，是其传输矩阵，和分别是沿着x和y轴的全局坐标的系统的第j个模态质量的模态参与系数。
公式3代入公式2，可以得出
其中和分别是沿着x轴和y轴的全局坐标的单向地震加速度的第j模式和系统的第i个质点的相对位移。同样的，我们可以得出：
图1-地震加速度输入角。(a)单向输入 (b)正交双向输入 (c)偏斜双向输入
其中是沿着单向地震沿着与x轴的随机夹角a的第j模式和第i个质点的地震响应（例如弯矩，剪切力，变形等），和是分别针对x轴和y轴的全局坐标的第j个模式和第i个质点的响应。
当结构的自然振动特性由主导模式控制时，则地震响应在输入角为a的值为：
其中和是沿着x和y轴在单向地震下的系统的第i个质点的响应。通过公式6,以及
我们可以得到的最大值
当结构各模式的相关系数较小时，可采用SRSS方法组合各模式的响应。 然后，我们可以得到
其中和分别是沿着全局坐标x和y轴在单向地震下的第i个质点的响应，并使用SRSS方法组合。
方程（9）的两边可以平方，则其公式可以描述为
其中，，
达到最大的条件是方程（10）的右部分的导数等于零，可以得到地震输入最不利角度和最大响应方程（11）的计算公式:
得到：
我们可以得到的最大值：
当结构各模式的相关系数不能忽略时，可以采用CQC方法组合各模式的响应，并得出不同模式下的值
和分别是沿着x轴和y轴全局坐标的单向地震下系统在CQC方法组合下的第i个质点的响应。通过
我们可以得到的最大值：
2.2 平面上沿随机方向输入的正交双向地震
如图1（b）所示，沿着平面内的随机方向a()输入的正交各向异性双向地震加速度，相互垂直。假设结构响应由主导模式控制，我们可以采用SRSS方法，沿着图1（b）所示的方向组合两个方向的地震响应，得到于正交各向异性地震下系统的第i个质点的响应。，和分别代表沿图1（b）所示方向输入的正交各向异性双向地震加速度之一。同样，，和的含义与，和的含义相似。
假设双向位移响应谱具有相同的转换，它们的关系如公式（19）所示:
其中被定义为沿着不同输入方向调整指定地震的峰值地面加速度（PGA）的百分比系数，
公式（18）可推导出公式（20）：
通过
我们可以通过公式（21）得到的最大值：
当结构各模式的相关系数较小时并满足式（19）时，可以采用SRSS方法，以类似的过程将两种方向的各模式的地震响应组合在一起:
通过
我们可以通过下列公式得到的最大值：
其与公式（21）表达相同。
当结构各模式的相关系数不能忽略时，可以采用CQC方法组合各模式的地震响应，并采用SRSS方法组合两个方向，得到：
通过
我们可以通过下列公式得到的最大值：
其与公式（21）表达相同。
2.3 平面上沿随机方向输入的倾斜双向地震
对于一些特殊的山地，地震可以以偏斜角输入，如图1（c）所示，并在对2008年中国汶川地震的调查中得到验证。斜向地震加速度，，沿同一平面分别沿()随机方向输入。
采用SRSS方法组合两个方向的地震反应，可以得到：
采用百分比法组合两个方向的地震反应，我们可以得到：
其中是如图1（c）所示的沿着方向输入的倾斜双向地震激发的系统的第i个质点的响应，，是歪斜地震下系统第i个质点的响应，如图1（c）所示。
使用类似公式（10）-（12）的方法，可以近似得到地震输入的最不利角度a和的最大值的表达式。
3.曲线梁桥实例
3.1 案例桥梁简介
图2 弯梁桥的高程
我们现在测试一个三跨连续弯曲桥（图2），跨度为73m 130m 73m。桩基础和桥墩是矩形截面的单柱，墩高度为9,10,11和12m。主梁是单箱双室梁，顶梁和中跨梁的高度分别为8.0和3.5 m。梁的高度沿跨度方向随二次抛物线变化。所有轴承均为盆橡胶轴支座，如图3所示，其中DX表示轴承只能沿纵向或横向移动。SX表示轴承可沿纵向和横向方向移动；GD意味着轴承是固定的。支座的刚度为.箱梁和桥墩的混凝土强度分别为C50和C40。该桥位于软场地（分类为场地IV）。其设计防震烈度为8（即设计水平地震的地面加速度为0.2g）。考虑了两种类型的轴承布置，如图4所示。图4（a）表示轴承被认为是理想的滑动或固定轴承。图4（b）表明所有轴承都被认为是其实际刚度。
图3 弯曲梁桥的平面分配。
土壤结构相互作用被忽视。采用模态阻尼比为5%。
进行模态分析，选择响应谱分析的前20种模式。根据“公路桥梁抗震设计规范”（2008）确定响应谱的最大值为方程（26）。
其中是重要系数，E1地震为0.5，E2地震为1.7，为场地系数，为1.0，为阻尼调节系数，5％阻尼比下为1.0，A是水平设计地震的地面加速度峰值，抗震设计设防烈度0.2g。本文仅考虑了E1地震。
3.2 沿方向任意方向输入的单向地震
用一系列沿X轴的变化角度（角度增量为3）在范围内的单向地震谱对曲面桥梁（曲率半径变化为75,175,275m和无穷远（即直线布局桥））进行激发。x轴和y轴的全局坐标定义为沿中心支座的弦连接方向及其垂直方向。
图4两种轴承布置方式（a）连续桥梁的理想轴承布置。（b）实际轴承安排
图5 :图4（a）所示P5轴承布置的基础剪切力。
（a）沿径向的基本剪切力（b）沿切向方向的基本剪切力。
图6: 图4（b）所示P5的基础剪切力作为轴承布置
（a）沿径向的基础剪切力（b）沿切向方向的基本剪切力。
使用CQC方法组合地震反应。计算所有桥墩沿纵向和横向的基础剪切力。计算所有桥墩沿纵向和横向的基础剪切力。为简洁起见，图5-8中只列出了P5的结果。符号R75，R175，R275，R代表桥的曲率半径分别为75、175、275和无穷大。F2和F3分别是相应kN下沿径向和切向方向的桥墩的基础剪切力。M2和M3分别表示在相应中径向和切向方向上的桥墩的弯矩。在如图4（a）所示的轴承条件下，从图5-7可以看出，基础剪切力和弯矩作为增量输入角的三角函数变化规律。随着曲率半径的减小，三角函数的相位角逐渐增大，其波长减小。除了F2，其他响应参数随着桥梁曲率半径的减小而逐渐减小。从图5-8可以看出，如图4（b）所示的轴承情况下的所有响应都远远小于图4（a）的响应。对于参数F2和M3，它们的振幅不仅受轴承布置的影响很大，而且它们随曲率半径影响所产生的变化也有不同的规律。
考虑到桥梁曲率半径和轴承布置对弯曲桥梁地震响应的影响，墩梁响应的一般变化趋势如表1所示，其中符号和用于描述逐渐增加，逐渐减少和几乎没有变化。符号①，②，③和④分别表示三角函数的幅度，相位角，波长和函数值。符号“ ”表示上述情况下桥墩响应的最大值。R表示曲率半径，“（a）”和“（b）”表示图4（a）和（b）
图8 : 如图4（b）所示用于轴承布置的P5的弯曲力矩
- 围绕径向的弯曲力矩（b）绕切线方向的弯曲力矩
3.3平面上沿双向输入的双向地震
为简洁起见，曲桥的曲率半径固定为500m，轴承如图4（b）所示。根据上述计算方法，考虑到方程（19）的假设，双向地震下的地震反应分别使用SRSS和按照方程（24）和（25）比例相结合获得。正交和偏斜的双向地震输入包括
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