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非对称饱和控制系统的镇定：一种LMI方法
Abdellah Benzaouia · Mohamed Benhayoun · Fouad Mesquine
摘要:
本文讨论线性连续时间的调节器问题系统具有不对称饱和控制。它的主要贡献工作是将对称饱和的可用结果，用lmis扩展到非对称饱和系统。因此，首先得到了LMIS形式主义。不对称饱和时间。采用了新的不太保守的饱和结果。给出了一个实例来说明所得到的结果。
关键词:状态反馈控制，不对称饱和控制，线性矩阵不等式。
1.引言
研究了具有非对称约束的线性系统的稳定性。所有动力系统都固有的一个主要问题是执行器饱和。在过去的几十年中，一类具有饱和的系统得到了极大的关注。即使对于线性系统来说，这个问题也一直是一个活跃的研究领域。文献中提出了两种主要方法：
一是所谓的正不变性方法。它是根据设计的在不饱和的线性行为区域内工作的控制器发生（见[1-3,9,10,12]及其参考文献）。稳定增益调节器F用这种方法得到的是非线性代数方程fa 的一个解。
fbf=h f，其中矩阵h满足正不变性的主要条件。我们可以引用[4,7]的工作，其中该方程的分辨率表示为局部特征结构分配技术。这个解决方案也与约束调节器问题有关。
在[20,21]中首次选择了正不变性方法来处理具有输入饱和和控制增量或控制速率不对称约束的线性系统问题。在连续和离散情况下，以及带有不对称约束和扰动的情况下，给出了计算恒状态反馈控制器的简单方法通过求解线性规划问题，计算出增益控制器。该技术不使用LMIS配方。注意，这种方法是基于避免约束：防止饱和，因此闭环系统保持在线性行为区域。
第二种方法允许饱和在保证非对称稳定性的同时生效（见[17-19]及其参考文献）。这种方法得到了一个稳定的有界区域，该区域虽然很容易通过一组线性矩阵不等式的分解得到，但却是椭球对称的。
这两种方法的主要挑战是获得足够大的初始状态域，以确保系统的渐进稳定性，尽管存在饱和f[5.15.17.231]。
众所周知，只有使用[8,14,17-19]中的对称性约束才能用lmis形式表示。据作者所知，文献中没有关于使用LMIS的不对称约束的研究。然而，执行器约束的非对称性是非常重要的现实情况，因为这些约束本质上是非对称的。许多人试图强调LMIS和不对称饱和问题，但没有像在[6,7]中那样取得巨大成功。
本文利用线性矩阵不等式（LMI）问题，讨论了具有不对称饱和控制的线性连续系统的调节器问题。这项工作的主要贡献是克服[17-19]提出的基于LMI方法所遇到的缺点，该方法仅限于对称约束，与执行器的实际情况相差甚远。因此，这项工作首次提出了用lmis形式表示的解决非对称饱和问题的方法，这些结果扩展了同一作者在线性行为区域内开发不饱和控制器的结果[11]。
本文的其余部分组织如下：下文研究的问题在第三。第4节介绍了本文的主要结果，包括新的线性矩阵不等式，它允许直接求解具有不对称饱和控制的连续时间线性系统的调节器问题。本节还介绍了说明这种新技术的示例。最后给出了一些结论。
2.问题表述
所研究的饱和系统由下式给出：
其中是状态向量,是控件。向量的每个分量的表达式可以用以下关系:
为了稳定不对称饱和系统，一种类型的状态反馈控制，
被使用。
增益K必须稳定系统，而增益K0 ，L起到对称化状态空间中由约束引起的不对称集（K）的作用，并给出如下：
其中
此后研究的问题是通过状态反馈控制（3）稳定饱和系统（1）一（2）这是一个经典的问题，新颖之处在于处理LMIs框架结构控制的不对称饱和。本文的目的是设计非对称饱和控制器的增益K，L，K0 。
3初步结果
在本节中，将介绍允许将非对称问题转换为对称问题的开发基础。此外，还回顾了工作的主要引理[23]。最后一种方法可以在闭环中编写一个饱和系统，作为2m线性系统的凸组合：
定理3.1：[23]对所有和，满足，其中，有
其中Ds是对角线矩阵，每个对角线元素为1或0，，定义，有
并且是在中的除1以外的零行向量，该位置由
引理3.1允许使用满足以下条件的辅助控制v重写饱和控制，因此，存在标量，，
得到的闭环系统是线性的。
另一方面，对于控件UI的每个组件，可以进行以下变量更改：
通过这种改变，我们可以将控件的饱和度改写为
对于，被认为是对称的非标准化饱和，定义如下：
使用变量的第二个变化：
设代表标准化对称饱和度
通过变量（11）和（14）的变化，可以将UI重写如下：
或者在矩阵表示法中，表达式（16）可以写成
关于关系式（16），我们在下面的引理中证明（2）给出的表达式等于（15）给出的：
引理3.2 非对称饱和Sat（u）通过以下关系与归一化对称饱和联系起来：
证明：证据证据明显，省略。
通过在状态方程（1）中引入（18），术语可发展为如下：
其中矩阵E和定义如下：
利用这些定义，我们可以重新书写系统的状态等式如下：
注意。为了利用已有的饱和系统的结果，所得到的系统（21）是仿射的，因为是已知的且常数，可以看作是有界扰动的饱和系统。
让我们使用状态反馈控件形式如下：
控制表达式（3）和（17）给出的表达式之间的联系由以下引理给出。
引理3.3 反馈控制（3）和对称化（4）给出的非对称集（K）。证明：证据证据明显，省略。定义如下：
此后，对于稳定问题，考虑系统（21）。此外，我们正在寻找的增益反馈将被设计成稳定这个系统即系统（21）。注意，稳定该系统（对称饱和系统）必须使用（10）和和，，的辅助控制，矩阵H的第1行。
将设计矩阵K和h 。
利用引理3.1，将闭环饱和系统方程写成如下：
或者如下等式形式
其中闭环矩阵Ac定义为
注意集合（h）是由（k）的相同表达式（4）定义的。而（h）的定义是
4.主要结果
以下定理给出了系统（25）在以下定义意义上严格不变的充分条件。
定义1[16]如果从RN开始的所有轨迹都将保持不变，则Rn中的集合称为不变的，而不考虑W。椭圆体,严格地说是不变量如果对于所有满足 的w以及和所有满足，在范围有，存在。
定理4.1 如果存在矩阵，对称正定有限元矩阵和正标度，这样
以及
￡（H） （30）
如果矩阵由（27）给出，那么集是系统（26）的严格不变集。
证明：证明的推理与[16]中的推理相同，其中饱和的经典凸写被引理3.1给出的凸写所取代。
类似的结果可以在[22]中找到，其中也考虑了状态约束。利用上述对称形式下非对称饱和系统在闭环中的等效写，我们可以利用线性矩阵不等式推导出稳定的充分条件。上述结果为闭环系统的稳定性提供了充分的条件。下面我们将这些条件重新表述为允许推导控制器增益的LMIS形式。
推论4.1 对于正标度，如果存在矩阵和，从而满足以下LMIs：
且矩阵Ds代表有分量的对角矩阵，其元素为或0，，其中定义为
那么集是系统（26）的严格不变集，，是矩阵z的第i行。控制器增益由
证明集相对于饱和系统不变性的充分条件由（29）给出。
将不等式（35）的左、右乘以，得到LMIs（31），同时用替换，并使用变量Y=KX，Z=HX的变化。这些条件等价于闭环系统严格不变性（29）的充分条件，适用于给定内的任何初始状态。此外，包含物（30）相当于
其等效等式如下：也等价于。
利用舒尔补码，我们得到了LMIs（32）。
不用引理3.1，我们可以使用[17,19]中给出的饱和凸写。
闭环系统会变为
其中闭环矩阵定义为
在这种情况下，推论4.1可以宣布如下：
推论4.2：对正标量，如果存在矩阵，X gt; 0,满足下列LMIs：
那么集是系统（26）的严格不变集，，是矩阵z的第i行。稳定系统的控制器增益如下：
注释4.1 值得注意的是，根据[23]，对于mgt;1，凸表达式（36）比表达式（7）更保守。为了比较两个表达式得到的结果，在下面的示例中给出并测试了推论4.1和推论4.2。
bull; 这些LMIs是由对称控制z建立的。但是，通过用和替换矩阵和的表达式，可以考虑到控制上饱和的不对称性。因此，导出的LMIs（31）–（32）实际上处理非对称饱和。这一结果首次大大降低了[23]结果的保守性。
在下面的例子中，我们将说明所得到的结果。
示例考虑由（1）控制的系统，矩阵如下：
对于这个例子，我们有，控制界限是，如下：
我们解决线性矩阵不等式（31）和（32），在这种情况下，得到的和的解是：
因此，非对称饱和控制的闭环系统的增益K和H为
图1表示将椭球集包含在多面体饱和集pound;(H)中。图2显示了状态向量x在不同初始状态下的一些轨迹。如果，然后，由于伪永久摄动W的存在，轨道必然收敛到给出的接近原点的平衡点。
为了比较推论4.1和推论4.2，系统（42）稍微修改如下：
对LMIs（39）–（40）和（31）–（32）的可行性进行了测试，A、B在minus;1到2之间变化，步幅为0.1。对比结果如图3所示，根据[23]的方法，推论4.1的保守度较低。
5.结论
本文利用线性矩阵不等式（LMI）问题，研究了具有非对称饱和控制的线性连续时间系统的调节器问题。这项工作的主要贡献是允许[18,23]的结果使得仅考虑在LMIS下容易编写的对称约束成为可能，也可以扩展到在LMIS形式下首次制定的不对称饱和系统。
图1 pound;(H)在平衡点上总结
图2 状态矢量x的轨迹会聚到平衡点
图3 LMIs的可行性用x表示(39)- (40)，用o表示(31)- (32)
这些结果扩展了同一作者的研究成果，开发了在线性行为区域内工作的不饱和控制器[11]。研究了两个数值例子来说明所提出的方法，并证明了较不保守的结果是基于[23]方法的结果。
参考文献：
1. A. Baddou, F. Tadeo, A. Benzaouia, On improving the convergence rate of linear constrained control continuous-time systems with a state observer. IEEE Trans. Circuits Syst. I 55(9), 2785–2794 (2008)
2. A. Benzaouia, C. Burgat, Regulator problem for linear discrete-time systems with non symmetrical constrained control. Int. J. Control 48(6), 2441–2451 (1998)
3. A. Benzaouia, A. Hmamed, Regulator problem for continuous-time systems with nonsymmetrical constrained control. IEEE Trans. Autom. Control 38(10), 1556–1560 (1993)
4. A. Benzaouia, The resolution of equation XA XBX = HX and the pole assignment problem. IEEE Trans. Autom. Control 39(10), 2091–2095 (1994)
5.
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