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区间不动点理论
介绍。
区间方法（区间牛顿方法和Krawczyk方法）可以用来证明线性有限维系统、非线性有限维系统和无限维系统解的存在唯一性，并给出此解的浮点近似值。 （见Interval analysis: The Krawczyk method, Interval analysis: Interval Newton methods, Interval analysis: The slope interval Newton method和[6,8]。）反过来，这些在证明存在性的区间算子与经典的定点迭代理论有着密切的关系。 这种关系在这被勾勒出来。
经典不动点理论与区间算数。
适用于有限维或无限维空间的各种不动点定理大体上表明，如果一个映射将一个集映射到它本身，那么该映射在该集合内有一个固定点。例如，Brouwer不动点定理指出，如果D与中的封闭单位球同胚并且P是一个连续映射，使P将D映射到D中，那么P在D中有一个不动点，即有一个xisin;D使得 x = P（x）。
区间算法可以自然地用于检验Brouwer不动点定理的假设。P的区间延伸P具有这样的性质，如果x是一个xsube;D的区间向量，那么P（x）包含范围{P(x)|xx},通过用区间算术评估P可以简单地得到区间扩展P。而且，在向外舍入的情况下，可以执行该评估,这样浮点区间（其终点是机器编号）严格地包含P的实际范围。（见Interval analysis: Introduction, interval numbers, and basic properties of interval arithmetic.)因此，如果P (x)sub;x，可以得出结论P在x中有一个固定点。
另一个不动点定理Miranda定理遵循Brouwer不动点定理，在几种区间方法的理论研究中直接有用。Miranda定理最容易用区间计算表示: 假设xsub;是一个区间向量，并且对于每个i，查看x的较低的第i个面x，将其定义为区间向量，除了第i个分量以外的所有分量都是x的分量，并且其i 第x个分量是x的第i个分量xi的下界i。类似地定义x的上面
Interval analysis: The Krawczyk method
Interval analysis: Interval Newton methods
Interval analysis: The slope interval Newton method
Brouwer fixed point theorem
outward roundings
Interval analysis: Introduction, interval numbers, and basic properties of interval arithmetic
Mirandarsquo;s theorem
Krawczyk method
mean value extension
文件: kearfo02 日期:1998年1月6日 2
的第i个面x。让P:x，P(x)=()连续。让P=() 是P的任
意区间延长。Miranda定理陈述，如果
， (1)
那么P在x中有一个固定点。
Krawczyk方法和固定点理论。
在[5]中Moore提供了早期对区间牛顿方法的仔细分析。在那里，Krawczyk方法分析如下：
P (x) = xminus;Y f (x) (2)
对于一些Jacobi矩阵（），其迭代矩阵通常取为Y = (，其中f（x）= 0
f: Dsube;被寻求，然后使用平均值扩展(见Interval analysis : Interval functions and their enclosures)，P (x)isin;P () (x-)，此处
K(x,)=P(x) (3)
= P () (x-)=-Yf() (I-Yx))(x-是P的区间延伸。因此，事实上P的范围遵循{P (x)|xisin;x}sube;P (x) = K(x, ) 再加上Brouwer不动点定理，如果K(x,)sube;x, 那么存在一个P的不动点，因此也就是解isin;K(x, ), f () = 0 。
通过分析准则||Iminus;Y (x)||，Moore进一步得出结论，基本上，如果||Iminus;Y (x)||lt;1，那么任意解必须是唯一的；对于确切的声明和细节，见[5]。
区间牛顿法和不动点理论。
传统的区间牛顿法是这种形式
N(f, x, ) = v (4)
其中v是一个区间向量，包含所有解决方案v到点系统Av =minus;f)，对于A，其中（x）或是x上Jacobi矩阵的区间扩展或是一个区间斜率矩阵;见Interval analysis: Interval Newton methods and Interval analysis: The slope interval Newton method.在{7}的定理5.17断言，如果N(f,x,) sub;int(x), 那么在N（f，x，）内存在f（x）= 0的解，这个解在x中是唯一的, 古典不动点理论被用于这个一般定理的简洁证明。当使用区间Gauss-Seidel方法求解解集边界v时，可以建立与Miranda定理非常清楚的对应关系。这在[3]中被完成。
独特性
在经典不动点理论中，收缩映射定理（非泛型性质）经常被用来证明唯一性。例如，假
Interval analysis : Interval functions and their enclosures
Interval analysis: Interval Newton methods
Interval analysis: The slope interval Newton method
regularity
3 日期:1998年1月6日 文件: kearfo02
设P是Lipschitz常数L lt;1的Lipschitz，也就是说，
||P (x)minus;P (y)|| le;L||xminus;y||,对于某些Llt;1 (5)
那么x = P (x) ，y = P (y)意味着||x-y||=||P(x)-P(y)|| L||x-y||，这只会发生在x=y时。(这个论点出现在许多基本的数值分析文本中，如[4] )。
唯一性的替代证明涉及我们寻求x的f（x）= 0的映射f的非奇异性（即规律性）。特别是如果f（x）= Ax是线性的，对应于非奇异矩阵A，则f（x）= 0且f（y）= 0意味着
0=f(x)-f(y)=Ax-Ay=A(x-y) (6)
因此A的非奇异性意味着x-y = 0，即x = y。
没有区间算术，方程（6）中的参数不能很容易地推广到非线性系统。基本上，可逆性意味着唯一性，并且必须以某种方式证明可逆性。 然而，区间算术中，唯一性直接来自类似于（6）的方程，并且可以用区间牛顿法直接证明规律性。特别是，如果区间牛顿法（4）下的图像有界，则每个点矩阵Aisin;f（x）必须是非奇异的。这是因为解集上的线性系统（x）v = -f（）的边界必须包含形式Av = f（），Aisin;f（x）的所有系统的集合解。那么，平均值定理意味着，对于某些A，任意xisin;x，yisin;x，有
f(x)-f(y)=A(x-y) (7)
尽管如此，在等式（7）中，对于某些xisin;x，A通常不等于任何f（x）。 实际上，（7）从分量考虑f：
，
对于某些，在连接x和y的线上，每个i都不相同; 矩阵Aisin;f（x）可以取其第i行等于。因此，由于（7）中A的非奇异性，f（x）= 0，f（y）= 0意味着0 = A（x-y）并且x = y。总结实际结果，
N(f,x,) sub;int(x) (8)
其中N（f，x，）如等式（4）中所示，并且int（x）表示x的内部，那么结合区间算术性质的经典不动点理论意味着在N（f，x，）中有一个唯一解f（x）= 0，因此在x中。如果使用斜率矩阵代替区间雅可比矩阵f（x），如果方程（7）不再成立，条件（8）不再意味着唯一性。然而，两阶段过程包括评估包含该解的小盒子上的区间导数以及在包含该小盒子的大盒子上评估斜率矩阵，导致比仅使用区间Jacobi矩阵更强大的存在性和唯一性测试。这种技术最初可能出现在[9]中。主要定理的陈述和证明也可以在[3，定理1.23，p.64]。
关于无限维问题。
Schauder fixed point theorem
文件: kearfo02 日期:1998年1月6日 4
无限维空间中的许多问题（例如某些变分优化问题）可以写成一个紧算子不动点方程x = P（x），其中P：S→S是在一些规范线性空间S上操作的一些紧凑型操作符。在许多这种情况下，在许多这样的情况下，P从基函数的有限维空间在数值上近似(例如 样条或有限元基函数phi;(i)，并且可以计算近似误差。也就是说，P（x）= Pn（y） Rn（y），其中yisin;Rn是对xisin;S的近似，并且Rn（y）是可作为y的函数计算的误差。因此，可以设置表单的固定点迭代
, (9)
其中y。（随着迭代的进行，维数n可以增加。）
对于方程（9），Schauder不动点定理是Brouwer不动点定理的一个类似物;见[1,p.154]。此外，可以向Pn和Rn两者提供区间扩展，因此存在类似于有限维计算不动点理论。 特别是，如果
tilde; Pn(y)sub;int(y), （10）
如果S在球的中点存在一个P的固定点，其中心位于y的中点并且半径等于y的半径。 （为了这些目的，
Y=
可以用与扩展中的系数对应的区间向量来标识。）有关详情，请参阅[6，章节15]。另请参阅[2]的理论发展和各种实例的详细说明。
参考。
[1] Istr˘atcedil;escu, V. I.: Fixed Point Theory: An Introduction, Reidel, Hingham, MA, 1981.
[2] Kaucher, E. W., and Miranker, W. L.: Self-Validating Numerics for Function Space Problems,Academic Press, Orlando, 1984.
[3] Kearfott, R. B.: Rigorous Global Search: Continuous Problems, Kluwer, Dordrecht, Netherlands,1996.
[4] Kincaid, D., and Cheney, W.: Numerical Analysis, Brooks/Cole, Monterey, California, 1991.
5] Moore, R. E.: lsquo;A Test for Existence of Solutions to Nonlinear Systemsrsquo;, SIAM J. Numer. Anal. 14,no. 4 (September 1977), 611–615.
[6] Moore,
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