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Chaos,Solitions and Fractals 15 (2003) 303-310
混沌系统的有限时间同步
李世华*，田玉平
东南大学自动控制系，南京，210096，中国
录用日期：2002年4月29日
摘要
本文利用有限时间控制技术，提出了连续状态反馈控制律以解决两个混沌系统的同步问题。证明了两个混沌系统可以在有限时间内实现同步。 利用Duffing系统和Lorenz系统等同步问题验证了主要结论。
1.简介
近年来混沌同步问题得到了广泛关注[1-7]。文献[1-5]提出了有效的控制方法以解决Rossler系统，Lorenz系统，Duffing系统，Chen系统等混沌系统的同步问题。同步的主要思想是用驱动系统的状态控制响应系统，使得响应系统的状态渐进逼近驱动系统的状态。驱动系统和响应系统可以有完全相同或者完全不同的系统结构。在[1-5]中，同步过程可在无限调节时间下达到指数收敛。
为了使控制系统实现更快的收敛速度，一种有效的方法是有限时间控制技术。有限时间稳定性的意思是在有限调节时间内实现系统稳定[8]。此外，可以证明有限时间控制技术具有较好的鲁棒性和抗干扰性[9]。这里我们要讨论的问题是，上面提到的这些混沌系统能否在有限的时间内实现同步？答案是肯定的，我们将在下面的部分中进行说明。
因此，本文的目标是设计反馈控制律，使得同步过程在有限时间内收敛，即响应系统的状态在有限的时间内能够同步驱动系统的状态。解决这类问题时，有限时间控制理论中的非连续或开环控制技术可能是有效的。然而，考虑到实际应用中连续控制器的便利性与不确定系统中闭环反馈的稳定性，本文讨论的有限时间控制技术将基于连续状态反馈[8,9]。
- 二阶混沌系统的有限时间同步
文献[8,9]给出了基于连续反馈的有限时间控制的一些结论，可总结为下面两个引理：
引理1([8,9]) 控制系统：
(1)
在有限时间内基于下列反馈控制律达到全局稳定
(2)
系统(1)和(2)的解轨迹为：
(3)
对于状态在的任意初始值，即，很容易计算出(1)和(2)的解轨迹将在有限时间内达到点，其中
引理2([9]). 控制系统：
(4)
在有限时间内基于下列反馈控制律达到全局稳定:
(5)
现在，让我们首先考虑下列形式[3]的二阶混沌系统同步问题
(6)
其中是一个非线性函数。这个系统称为驱动系统。响应系统可描述为:
(7)
其中是一个非线性函数，是需要设计的控制信号。这两个系统的位置误差与速度误差为
(8)
因此，我们得到:
(9)
为实现响应系统与驱动系统的同步，控制器设计有下列几种可能的选择。
2.1控制策略1
一种可能的选择为：
(10)
上述两个控制器在同步过程中是有效的。利用控制律(10)，系统(9)可重新描述为下列形式
(11)
根据引理1，利用式(11)可知这两个混沌系统在有限时间内利用连续反馈实现同步。
2.2控制策略2
另一种可能的选择是：
(12)
这里,令，只有是有效控制变量。
利用式(12)，系统(9)可重新表述为下列形式：
(13)
根据引理2，误差函数将在有限的时间内收敛到零。
例1 (Duffing系统)
考虑两个Duffing系统的同步问题[3]。给定Duffing驱动系统：
(14)
则Duffing响应系统为：
(15)
按照上面列出的步骤，令
(16)
则和的误差系统为：
(17)
根据式(10)，控制器如下
(18)
我们选择常量值。在后,该控制器使得Duffing响应系统(15)与Duffing驱动系统(14)同步。仿真结果如图1(a)和(b)所示。
根据第二种控制策略，控制器如下
(19)
在数值模拟中,选择数值常量。则可得。控制器在时被激活，即，在时，始终有。注意到该控制器使得Duffing响应系统(15)与Duffing驱动系统(14)实现同步。模拟响应如图2(a)和(b)所示。
图1.在后，响应系统与驱动系统同步
图2. 在后，响应系统与驱动系统同步
- Lorenz系统的有限时间同步
现在，让我们考虑两个洛伦兹系统的同步问题[2]。Lorenz驱动系统为
(20)
Lorenz响应系统为
(21)
定义状态误差：
(22)
则误差状态动力系统满足：
(23)
类似前文所述，一种可能的控制器选择为：
(24)
则误差状态变化满足下列方程：
(25)
因此，这三个误差状态可在有限时间内收敛到零。
对于这两个洛伦兹系统，参数。我们选择其他常量的值为
。在后,该控制器使得Lorenz响应系统(21)与Lorenz驱动系统(20)同步。仿真结果如图3(a) - (c)所示。
另一个选择令，只选择作为有效控制变量。控制器设计如下：
(26)
由此可得：
(27)
因此，闭环系统(25)在有限时间内达到稳定。
对于这两个Lorenz系统,我们选择的常量值，则可得。在后,该控制器使得Lorenz响应系统(21)与Lorenz驱动系统(20)同步。仿真结果如图4(a) - (c)所示。
图3.后响应系统与驱动系统同步
图4.后响应系统与驱动系统同步
4.结论
本文研究了混沌系统的同步问题。基于有限时间控制技术，设计了连续状态反馈控制律以实现混沌系统如Duffing系统，Lorenz系统等的同步问题。且同步过程在有限时间内收敛。
参考文献
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