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排序问题中的最大最小化决策规则

_{Naveen K. Bansal}^a,I_{, Neeraj Misra}^b*_{, Edward C. van der Meulen}^c

^a Department of Mathematics, Statistics and Computer Science. Marquette University, Milwaukee, WI 53201-1881, USA

^bDepartment of Mathematics, Indian Institute of Technology, Kanpur 208 016, India

^c Department of Mathematics, Katholieke Universiteit, Leuven B 3000, Belgium

Received July 1996

摘要：在基础分布的适当假设下，为了控制错误决策概率的风险，针对一般排序问题中的最大最小值和极小极大性的必要条件被提出。因此，对于位置和比例概率模型的自然决策规则的极小极大性被证明,同时还研究了椭圆对称分布的自然决策规则的极小极大性。

关键词：正确决策；决策规则；椭圆对称分布；自然决策规则；排序。

1、介绍符号和公式的问题

令X=(X₁hellip;hellip;X_K)是具有累计分布函数F_alpha;~(x;theta;)和关于mu;的概率密度函数fnof;_alpha;~(x;theta;)的随机向量。（K维欧氏空间）是感兴趣的未知参数向量，是扰动参数（可能未知）。当alpha;已知（未知）时，参数空间表示为。令表示的排列坐标并且让chi;表示观察向量X的样本空间。通常，基于个总体的随机样本，X是theta;合适的估计量。给定正整数t，，一般来说，排序问题可以描述如下：在观察X的基础上，将theta;的组成部分分割为t个不相交的子集，例如，使得包含个最小分量，包含个次小分量，hellip;hellip;，包含个最大分量，其中，且。

上述问题的等价公式是：将集合分成个不相交的子集，其中有个元素并且让和之间形成明显的关联，。因此，对于这个问题的操作空间A由组成，，其中有个元素，是固定整数；，即

A，

其中表示集合的基数，。

显然A包含个元素。

决策规则delta;是从A到可测量映射,使得

其中表示假设时，采取行动的条件概率。

令D表示所有决策规则的类别，并且将正确决策定义为实现手头问题目标的事件。

假设与决策规则delta;相关的风险由下式给出

. （1）

其中，如果alpha;是已知的（未知的），且表示CD在上使用决策规则delta;的概率。

对于上述问题的自然决定规则一定是，选择对应于S₁中的k₁个最小观察值的分量，对应于S₂中的k₂个次最小观察值的分量hellip;hellip;和对应于S_t中的k_t个最大观察值的分量（通过随机化打破联系（如果有的话））。我们用delta;^N表示这样一个决策规则，并称之为自然决策规则。如果参数向量的坐标值的增加导致相应的观测坐标随机变大，则自然决策规则是有吸引力的。

对于，，，作为独立的正态随机变量，具有未知均值和已知方差，对于（1）中定义的风险函数，Gupta和Miescke（1988）确定了最大最小值为。因此，他们证明，当且仅当所有方差相等时，自然决策规则delta;^N是最大最小值。后来，Abughalous和Miescke（1989）将Gupta和Miescke（1988）的结果分别扩展到具有成功概率为的独立二项随机变量和样本规模为的情况。对于，，和在（1）中定义的风险函数，它们证明当且仅当所有样本大小相等，最大最小值为且自然决策规则delta;^N是最大最小值。Abughalous和Bansal（1991）考虑了具有未知均值向量theta;，已知协方差矩阵sum;，，，的多元正态分布，并证明如果由（1）来衡量风险，最大最小值为。在变量的异方差相等的假设下，它们确定了自然决策规则的极小极大性。他们还给出了sum;的一般结构，其中变量的异方差相等。最近，Misra和Dhariyal（1994a）将这些结果扩展到更一般的概率模型。Misra（1991）和Misra和Dhariyal（1994b）分别考虑到，，，，作为具有未知均值和已知方差的独立正态随机变量。对于由（1）给出的风险函数，他们确定最大最小值为。因此，他们证明了当且仅当所有方差相等时，自然决策规则delta;^N是最大最小值。

本文的主要动机是通过推导一般排序问题（一般t,）和一般概率模型的最大最小值来概括前一段中讨论的结果，从而你可以检查一个给定的决策规则delta;的极小极大性通过仅查看的对应表达式。

在下面的章节中，在基本分布的适当假设下，我们发现一般排序问题的最大最小值，从而扩展了Gupta和Miescke（1988），Abughalous和Miescke（1989），Abughalous和Bansal（1991），Misra（1991)和Misra和Dhariyal（1994a,b）的结果。还报告了决策规则为最大最小值的必要条件。因此，我们证明了位置和比例概率模型的自然决策规则的极小极大性。第3节研究了椭圆对称分布的自然决策规则的极小极大性。

2、极小极大值和极小极大性的必要条件

令，

A，

且

，如果alpha;是已知的（未知的）。

如果特定的点eta;能够存在于一个以上的Theta;_A之中，则该点被任意地放入一个它所属的集合中。这样做是为了确保在{A }形成Theta;的分区。注意，如果，则动作A对应于正确的决定。令

且

，如果alpha;已知（未知），

其中表示集合的闭集，A 。

备注2.1.如果，其中I是实线上的间隔，则。

定理2.1.假设Theta;₀非空，并且在连续，对于所有D和所有A 。那么，方程（1）给出的风险函数的极小极大值是。

证明.考虑无数据规则delta;⁰，由给出，A,。

显然，delta;⁰是一个有效的决策规则且

因此，

. （2）

对于A，令是中的顺序序列，收敛到（，取决于alpha;是已知（或未知），确保这样的序列存在）。由于，采取动作A是的正确决策。假设D，然后在eta;₀使用方程的连续性，我们有

. （3）

此外，对于任何决策规则delta;和所有

. （4）

从（3）和（4）可以得出，对于任何决策规则D，

（5）

，D

. （6）

现在结合（2）和（6），结果如下。

下面的定理由于Berger（1977）提供了满足定理2.1的连续性假设的条件。

定理2.2.假设是满足，的测量mu;的密度，其满足对于任何有界的可测量函数，在lambda;₀处是连续的。

例2.1.假设theta;是位置（尺度）参数，且是X的概率分布函数，考虑在的Lebesgue测度mu;。假设几乎处处连续，对于所有。令D_alpha;是f_alpha;的不连续集。然后对于固定的和，对于其中的一组x在是和时不连续，意味着。因此，定理2.2的条件对于每一个是满足的，并且对于所有D和A，是对eta;在Theta;上的连续函数。

作为定理2.1的直接结果，我们有以下定理。

定理2.3.令的密度函数是，，相对于在上的Lebesgue测度，假定对于所有，f_alpha;是置换对称的（即，如果，则随机变量是可交换的）。然后由（1）给定的风险函数，自然决策规则delta;^N是最大最小值，这里I是实线上的间隔。

以下定理提供了相对于由（1）给出的风险函数的决策规则为最大最小的必要条件。

定理2.4. 假设风险函数由（1）给出，并且令delta;^*是在D中的最大最小值决策规则。假设对于所有的A，所以等式在上连续。那么对于所有和A。

证明，因为delta;^*是一个最大最小值决策规则，我们有

（根据（5）得到）

. （根据（4）得到）

因此，

但是由于，因此

，A.

作为定理2.1和2.4的应用，我们证明以下结果。

定理2.5. 假设是独立分布的随机变量，使得随机变量X_i具有概率分布函数和累积分布函数，，其中（实线上的间隔），，是感兴趣的未知参数，并且是已知的正常数。然后，由式（1）给出的风险测度，自然决策规则delta;^N是最大最小值当且仅当。

证明：假设，然后很容易验证在时得到，即当随机变量独立且相同地分布。因此

并且由定理2.1，自然决策规则delta;^N是最大最小值。

现在假设不相等。一般情况下假设。设是独立同分布的随机变量，有共同的概率分布函数，，并且让0表示ktimes;1空矢量。然后对于，，,

,和，我们有

由于随机变量是正值（概率为1）且可交换，我们有对于

其违反定理2.4最大最小值决策规则的必要条件，因此结果如下。

3、椭圆对称分布的自然决策规则的极小极大性

设是具有椭圆对称分布的随机向量，即X具有某个函数g密度函数

. （7）

其中是未知的，是已知的正定矩阵，是归一化常数。显然，归一化常数可以归为函数g中，但是以上符号g独立于k。

问题是根据第1节中描述的方案对theta;的分量进行排序。本例中，sum;是排列对称的情况，即当和，根据观察到的X的分量对theta;的分量进行排序的自然决策规则的极小极大性遵循定理2.4。然而，一般来说，自然决策规则delta;^N不需要是极小极大值。例如，在具有sum;作为对角矩阵的正态概率模型下，如果和或和当且仅当sum;的所有对角线元素相等时，自然决策规则delta;^N才是最大最小值（参见Gupta和Miescke，1988; Misra和Dhariyal，1994b）。对于，并且在正态概率模型下，Abughalous和Bansal（1991）给出了自然决策规则delta;^N是最大最小值的sum;的结构的充分条件，其中。在这一节，我们将通过对sum;的结构提供足够的条件来概括它们的结果，其中delta;^N是对于一般排序问题（即，一般）的。

定义，

，

且

注意，自然决策规则采取动作A 当且仅当（打破关系，如果有的话，通过随机化）。

令0表示ktimes;1空矢量，然后对于A和

因此，自然决策规则delta;^N是极小极大值当且仅当A. （8）

定理3.1.设X是具有椭圆对称密度的随机向量（7），则如果具有以下结构，则自然决策规则delta;^N是最大最小值：

，，其中c

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