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对用于天气衍生品定价的平均温度的模拟和预报
王志良 李鹏 李玲永 黄春燕 刘敏
华北水利水电科学研究院，郑州450045
河南省水利厅农业水资源科，郑州450003
本文的主要目的是为郑州地区的日平均气温提供一个可行的模型，并将其应用于天气衍生产品定价。 我们首先探索天气衍生品市场的背景，然后将62年的历史数据应用于均值回归Ornstein-Uhlenbeck过程来描述温度的演变过程。最后，蒙特卡洛模拟被用来对这个城市的取暖指数(HDD)看涨期权进行定价，通过10万次模拟，可以发现HDD调用价格的缓慢收敛。 本研究的方法将为中国其他类似地区的温度建模和定价天气衍生品提供框架工作。
1.介绍
天气衍生产品是一种新型的风险管理工具，可以广泛用于金融市场，避免恶劣天气影响，控制天气风险。 第一个天气衍生品于1997年在美国推出，现在市场规模超过80亿美元。 天气衍生品与传统金融衍生品不同，因为它们的基础资产如温度，湿度和降水等无法在市场上交易，所以普通定价模型（如Black和Scholes公式）不适用于定价天气衍生品。 因此，天气衍生工具的估值通常在很多文书工作中进行。 天气衍生品可以基于任何气象指标，如温度，降雨，风和雪，而最常用的气象指标是温度。
用于推导温度衍生品价格的经典方法是基于历史数据（称为HBA（历史燃烧分析））进行模拟。 HBA非常容易计算，因为不需要拟合温度分布或求解随机微分方程。 然而，这种方法只能对合同进行粗略估价，因为假设通常不正确的。很明显，温度时间序列不是静止的，而是包含了季节性、跳跃和趋势[1-4]，所以这种方法必然是有偏差和不准确的。
早期研究试图直接模拟不同的温度指数，如取暖指数（HDDs），制冷指数（CDDs）。 Geman和Leonardi [5]分析了HDD和AccHDD指数的统计特性。他们的结论是，直接对HDDs进行建模是不合适的。 Wimmer[6]测试了指数模型在预测温度指数和温度期货定价中的有效性。他们的结果表明，一个没有线性趋势的模型能更好地预测温度期货的价格。
最近，更多的研究集中在直接模拟温度的动态变化上。 估计模型可用于推导相应的指数和温度衍生品定价。 日常模型比HBA更准确[7]，因为直接计算温度指数（如HDD）可能会导致在常见事件和极端事件中丢失大量信息。 由于温度观测是离散的，因此可以直接使用离散过程。在文献[8] [8]中，比较了一个均值回归离散过程和一个一般AR(p)，他得出结论，残差的分布在一年中是不恒定的。Cao和Wei[9]采用lucas[10]提出的框架，推导出了温度衍生品的估值框架，并研究了风险的市场价格。Campbell和Diebold [11]扩展了曹和魏提出的模型[12]。 他们使用具有自回归滞后的低阶傅立叶级数来模拟季节平均温度。 在文献[13] [13]中，对各种模型进行了建模和预测DAT（日平均温度）的比较。 这些模型是最初由Campbell和Diebold提出的模型修改版本[14]，他们的结果表明修改模型胜过原始模型。
由于温度表现出强烈而清晰的季节性，所以在大多数天气衍生品文献中提出了均值回归O-U过程。 Dischel [15]认为经典的Black-Scholes-Merton定价方法不能直接用于天气衍生产品定价。 他是第一个提出利用连续随机模型进行温度预测的人。 Dornier和Queruel [16]使用比文献[17] [17]提出的AR（1）模型更通用的ARMA模型，在该模型中，Benth和Saltyte-Benth通过对DAT的变化进行建模，将DAT的变化与一个均值回归O-U过程进行建模，在这个过程中，噪声过程是由一个广义的双曲线Levy过程建模的。 他们不是在以前的工作中使用FBM，而是扩展了Dornier和Queruel的工作。为了纠正对常态假设的否定，Zapranis和alexridis[18]用更复杂的模型代替了简单的AR(1)模型。来自巴黎DAT的研究结果表明，随着模型变得更加复杂，噪声部分会偏离正态分布。Swishchuk和Cui[19]将两种日平均温度模型应用于加拿大城市数据，并衍生出其衍生产品的定价应用。Gouml;ncuuml;提出了一种季节性波动模型,估计北京,上海和深圳的日平均气温，使用均值回归Ornstein-Uhlenbeck过程，然后推导出这些合约敏感性的解析近似公式。 他们的结果验证了蒙特卡罗和近似估计量的收敛性。
据我们所知，河南省温度模型鲜有文献，这是中国最重要的国家粮仓，也是中国的主要金融市场。 为了确保粮食安全，有必要通过开发天气衍生产品将河南省的天气风险转移到金融市场。因此，我们的研究的主要目标是为河南省开发天气衍生品的气象模型迈出第一步。我们第一次为郑州建立了一个温度模型(见图1)，这是河南省的省会。
论文的其余部分组织如下。我们在第2节介绍天气衍生品的基本概念。第3节提出了一种季节均值和波动率模型，该模型描述了使用均值回归的Ornstein-Uhlenbeck过程的日平均温度行为。这一过程的未知参数将由郑州(57083)气象站的62年平均气温来估算。然后讨论了基于温度预测模型的HDD选项的定价模型，并在第4节给出了蒙特卡罗模拟的HDD选项。第5节解释了我们的研究结果，并包含结束语。
郑州
图1：郑州在中国的位置
2.天气导数的基本概念
天气衍生品通常是基于不同的基础天气指数的互换、期货和期权。一些常用的指标是HDD、CDD、降水、风和降雪量。为了清楚起见，我们将分析重点放在衍生产品上，其基础是指给定时期的累积日温度水平，HDD和CDD。
每天的平均温度是通过平均每天的最高温度和最低温度来计算的。一个气象站最高最低气温用和来表示，相对的，最高最低温度在第i天所测得的，我们这样定义第i天的平均温度：
对于一个给定的地点，日平均温度与基准温度的差值(一般为65华氏度或18摄氏度)。HDD是指白天的平均温度低于基准温度的度数，而CDD则是指一天的平均温度高于基准温度的度数。制冷日数和供暖日数从不为负。由于每天的平均温度只能高于或低于65度，所以在一天内不能同时有供暖和制冷天数。因此，如果平均日温度低于65度，则HDD将在此期间累计，如果日均温度大于65度，则CDD将累积。简单地说，HDD和CDD计算如下:
其中，Tbase是基准温度。
HDD和CDD指数分别是在一段时间内日常HDD和CDD的数量
CME（芝加哥商品交易所）HDD和CDD期货和期权合约基于HDD和CDD的指数。 这些指数是日历月份或整个季节中日常HDD和CDD的累积。 有两种类型的选项，看涨期权和看跌期权。 看涨期权允许投资者保护自己免受高指数水平的影响，而看跌期权允许公司对冲指数低位。在合同开始时，HDD调用的购买者向卖方支付额外费用。作为回报，如果合同期间的HDD数量大于预先确定的执行水平，买方将接受支付。支付金额由执行水平和名义值(每个HDD的货币价值超过该选项的执行水平)决定。
合约中有四个基本要素：（i）期权类型（看涨或看跌）；（ii）潜在变量HDD或CDD;（ii i）合同期限； （iv）记录温度数据的气象站；(v)执行的水平；(vi)名义值大小，每一个HDD或CDD所附的美元金额；(七)最大的支出。
举个例子，我们来估计一份HDD看涨期权的花费。用K 来表示执行水平，?是名义值大小，所以HDD看涨期权的花费F是
其中K是基准温度（大致处于18～20℃，对于CDD来说，它的基准温度在26～28℃）
为了避免由于极端天气而导致合同的超额支付,这些期权通常伴随着最大值付清。假设U是最大的支出。HDD看涨期权的支出（F）是
3.建模温度
正如我们之前提到的，温度衍生品是市场上最常见的交易品种。 所以温度衍生物建模和定价引起了我们的关注。 有一些定价模式直接关注HDD或CDD，而另一些则试图直接模拟温度。 我们倾向于直接模拟温度，因为模型HDD或CDD可能会直接丢失大量信息。 我们的基本定价框架如下所示：
(1) 历史日平均温度数据收集;(2) 作出必要的更正;(3) 创建温度预测模型;
(4) 用蒙特卡罗方法计算衍生品的价格。
图2：郑州地区部分日平均气温 (1951–2013).
3.1数据采集
郑州是省会，位于河南省中北部。 它是中国中部重要的交通枢纽和农业城市。 我们的数据集包括郑州气象站每天的气温（WMO ID:57083，纬度：34°43acute;0〞N,经度：113°39acute;0〞E,海拔：111米）我们收集了1951-2013年中国气象数据共享服务系统的数据。而且，为了消除闰年的影响，我们只是降低了额外的闰年的温度。因此，每年的平均气温为365天。相应的，我们获得了一个具有63年的数据集，其中有22995个数据没有丢失。
在进行详细的建模和预测结果之前，对每日平均温度数据有一个整体的感觉是很有用的。图2显示了1951 - 2013年郑州地区的日平均气温，平均气温显示了强烈的季节性和不明显的季节性。 日平均温度在高温（夏季）和低温（冬季）期间反复并有规律地移动。
此外，概率分布用图3中的直方图来描述，表1给出了日平均温度的一些描述性统计。 我们可以清楚地看到郑州的基本气温情况。 在这里，我们注意到，如果没有特别的解释，我们在本文中使用的温度是“温度*10”。
在这项工作中，我们将假设2013年的温度数据仍然不为我们所知。 我们利用第一个62年（1951-2012）数据构建温度预测模型，并利用2013年的实际温度数据对模型进行验证和验证。
表 1 郑州地区日平均气温的描述性统计（1951-2013）
|
均值 |
方差 |
标准差 |
极差 |
偏态 |
峰度 |
中位数 |
|
145.4011 |
10276.9642 |
101.3754 |
475 |
-0.16835 |
1.781 |
155 |
图3：郑州地区日平均气温的分布（1951-2013）
样本数据与标准正态分布相比的Q-Q图
图 4：每日温差的Q-Q图
3.2 温度预测模型
考虑到温度的季节变化和长期趋势，我们使用均值回归Ornstein-Uhlenbeck过程来模拟温度行为。 从长远来看，日平均气温的变化倾向于恢复到平均水平温度，为了测试每日温度的随机波动，我们使用Q-Q图来检验温差的正态性。 如果差异序列的分布是正态的，那么Q-Q图应该是一条线。图4显示了温度的差异大致正态，所以我们考虑日常的波动是一种布朗运动。
如果我们用Tt来表示日期t的平均温度，则Tt的动态过程可用下列随机微分方程来描述：
其中是长期过程中的均值，是均值回归的速率，温度变化的波动平方根，为维纳过程.
为了模拟这个过程的轨迹，我们需要将这个方程离散化,式(1)可以写成:
其中，
3.2.1平均温度的估计
温度变化具有强大的季节性， 因此，我们猜测这种季节性依赖应该用正弦函数来模拟，，t其中表示以天计量的时间。 既然我们知道振荡的时期是一年，则有.此外，此外，由于全球气候变暖以及城市热效应，在模型中加入的平均温度的另一个组成部分是一个积极的趋势。时间的平均温度具有如下形式：
我们能将改写为如下形式：
然后，可以通过对变量进行一些更改并重新命名该常数来估计参数。 然后我们可以写：
其中：
通过将普通最小二乘法应用于日常温度观测，我们可以找到如下参数：
则平均温度是：
表 2 各要素的估计
表 3 各参数的估计
图 5：温度拟合数据（郑州，2013）
根据公式(4)，我们模拟了2013年1月1日至12月31日郑州的日平均气温。图5显示了仿真和实际值的比较非常适合。从长期趋势来看，日平均温度的波动趋向于回归平均温度。
3.2.2波动率的估计
Benth和Saltyte-Benth对做了傅里叶变换，它被认为是简单性的确定性函数，虽然随机的函数更合理。扩展如下:
记录下我们假定为一个周期函数，
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