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HAPPLEL-RINGEL定理在倾斜代数中的应用
作者
MItsuo Hoshino
在【4】中，Happel-Ringel概括了Brenner-Butler的早期作品【3】，并广泛开发了倾斜模理论.他们也介绍了倾斜代数的概念.
令是一个阿廷代数，是它的一个有限生成的模.当满足下面三个条件时，被称作倾斜模：
- 投影；
- ；
- 存在一个精确的序列，，指向的和.
如果是遗传类，关于倾斜模的自同态代数被称作倾斜代数.
在【4，定理7.2】中已证明，如果阿廷代数的Auslander-Reiten图的一个分量包含了所有不能分解的投射模和一个有限的完整切片，则阿廷代数是倾斜代数.
阿廷代数的Auslander-Reiten图中的一个分量中不能分解的模的集合被称作中的一个完整切片，如果满足下面三个条件：
（i）对于中任意一个不能分解的模，包含在， 下的轨道上的一个精确的模；
（ii）如果中存在关于不可分解模的链，并且，为非零映射，那么所有的属于；
（iii）对于中的所有元素，不存在不可约映射的有向循环.
本篇文章的目的就是证明上述定义中的条件（iii）本质上是非必要的，即证明下面的定理.
定理 令是一个基本的阿廷代数.假设阿廷代数的Auslander-Reiten图的一个分量包含了所有不能分解的投射模，并且中存在不可分解模的有限集满足完整切片定义中的条件（i），（ii）.那么要么是一个倾斜代数，要么是局部Nakayama代数.
于此同时，我们利用Bongartz【2，定理2.1】关于倾斜模的描述给出【4，定理7.2】的简短证明.
在本文中，所有模都是有限生成模.对于的一个阿廷代数， 用表示对偶函子，其中是遍历的的单射包络，或.参考【1】和Auslander-Reiten序列，我们可以自由的使用【1】的结果.
定理证明
首先考虑对于一些，.我们声明是局部Nakayama代数.（更一般的情况，【5】中证明，对于一个基本阿廷代数，如果存在不可分解模满足，并且包含的的Auslander-Reiten图的一个分量是不稳定的，那么是局部Nakayama代数.）如果是简约的，那么定理得证.所以我们假定是不简约的.令为Auslander-Reiten序列.根据条件（ii），的所有不可分解被加数都属于.令为的一个被加数.有以下三种可能情况：
（a）具有投影单射性.我们得到，因此，这表明是局部Nakayama代数；
（ b ）是不可投影的.我们可以得到一个不可约映射链，因此根据条件（i）、（ii），；
（ c ）不具有单射性. 根据（b）的二元论据，我们得到，因此.
我们可以声明，对于中任何不可分解模，满足，或者满足具有投影单射性.令中一个不可分解模.注意，中存在关于不可分解模的序列，满足成对不同构，并且对每一个，在到或到之间存在一个不可约映射.通过对作归纳法，我们证明对于一些有，而且或者具有投影单射性.我们注意到，的情况已经被证明了.假定.根据归纳法，对于每一个，对一些，，而且或者具有投影单射性.我们只需证明，然后我们的声明就可以从上述的论述得出.运用反证法，假设具有投影单射性.那么，或者.另一方面，因为不可能具有投影单射性，于是.因此，矛盾.令是一个不可分解的可投影的模.根据对的假定，且属于，因此必须具有投影单射性.所以我们得到，因此，这表明是局部Nakayama代数.
接着，假设对于所有，.令，.我们声明是一个倾斜模并且具有传递性.然后我们的声明可以从Brener-Butler定理（参考【3】和【4】）得出.
引理 1（【4】） .
证明 因为是的子群，这足以证明.假设存在，.利用以结尾的Ausiander-Reiten序列，我们得到由不可分解模和非零映射组成的链，因此根据条件（i），（ii），与假设相矛盾.
命题 2 具有传递性.
证明 用表示的有限直和的直和项.令为模的投影，是的子模.我们声明也是投影.注意到存在，使得可表示为.令生成元且
.
从而.根据条件（ii），我们得到一个分解，从而并且.经过推导，我们得出由具体行组成的交换图表
根据条件（ii），因此根据引理1序列（b）分裂.因此是分裂映射.在序列（a）上应用函子，我们得到分裂恰当序列
，
证明完毕.
引理 3 .
证明 假设不具有单射性，并且令为最小射影拆分.根据的定义，我们得到恰当序列
.
因为具有单射性，这足以证明.运用反证法，假设存在不可分解的投射模使得.注意到存在和非负整数，使得可以表示成.利用开始于的Auslander-Reiten序列，并且中，我们得到由不可分解模和非零映射组成的链，因此根据条件（i），（ii），这与假设矛盾.
注意到根据对的假设，大于等于不可分解投射模的数量.下面由Bongartz【2，定理2.1】提出的命题与引理1、3一起组成了对定理的证明.
命题（Bongartz【2】） 令是一个阿廷代数，包含个简单模，并且是一个包含成对不是同构不可分的的模.假定，并且.那么，，其中当且仅当是一个倾斜模.
参考文献
[1] Auslander, M., Reiten, I., Representation theory of artin algebras III. Comm.
algebra 3 (1975), 239-294.
[2] Bongartz, K., Tilted algebras. Springer L.N. 903 (1981), 26-38.
[3] Brenner, S., Butler, M. C.R., Generalizations of the Bernstein-Gelfand-Ponomarev reflection functors. Springer L.N. 832 (1980), 103-169.
[4] Happel, D., Ringel, CM., Tilted algebras. To appear in Trans. A. M.S..
[5] Hoshino, M., DTr-invariant modules. Preprint.
Institute of Mathematics
University of Tsukuba
Ibaraki, 305 Japan
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资料编号：[22339]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word
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