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The American Mathematical Monthly
Vol107 No.4 Apr 2000
方差的一个更好的边界
Rajendra Bhatia and Chandler Davis
标题里“更好的边界”是
方差（最大值-平均值）（平均值-最小值）.
我们将会解释这个式子是如何加强了边界存在性的.我们将继续把它作为一个更为普遍的结果的交换性特例；并且我们会做同样一个新结果类似于它，在这里我们取反函数来代替平方函数.
首先取原函数，设是实数，假设并且，对于所有的j都成立，并且我们记为平均值：.
定理1.
.
推论1（T.Popoviciu,1935）.
.
我们可以由定理1立刻推导出推论1：实际上，由Popoviciu不等式的推导证明和并且联系Sz-Nagy不等式，具体见[4].我们有，对于任意的实数：.
定理1是一个更强的条件，从等式的角度来看这是显然的.
命题1.推论1中的等号成立当且仅当并且（此时n一定为偶数）.在定理1中等号成立当且仅当对于每个或者等于M或者等于m.
这里第一个等号成立的叙述也是由于Popoviviu；详见[4].我们将一起证明定理和命题1的后半部分.
首先证明定理1.这是我们能找到的最早的证明.因此我们只给出部分的证明，而且从直观上来看也是很自然的.然而，它可以由定理2来更好的解释，定理2更加普遍并且有非常简洁的证明.
如果中的等于M并且它们的余数等于m，这时我们有，并且定理1的不等式两端都变为.
现在固定M和m；就足以看出改变任意方向的，他们所需方式的差异也会发生改变.明确地，我们考虑
作为 的函数并且我们得出如果，那么.因此无论以何种方式趋于M将会使F的值适当的更高.从所表达的系统能得到的其他的可能，因此到这里我们完全证明了定理1和命题1.
易得：因此如预期的
这一论据可被应用于证明推广到有限间隔上的任意概率分布.我们没有给出明确的修改.相反，我们来看另一个讨论，仍然可以用来处理更普遍的情形.
代数的形式.这里是代数到代数的一个线性映射.分布由的一个自伴随元素A代替.实数1不是区分（或）；因此有意义，并且我们这样假定.我们需要是正的-即，暗含了-并且是单位的-即.
定理2.如果是正的并且是单位的，那么
.
证明：，因为我们已知右边的可交换正元素即
.
对应用假设，
.
重新排列在定理中所给出的第一个不等式.另一个不等式有如下的形式，x可以是的任何自伴随元素.
为了建立起定理1，让为的对角矩阵并且让为单位元的倍数；让为关于到的规范的迹（因此当限制在上时即为单位映射）；让A为对角阵.
我们承认这是唯一的分解.我们用相似的方法[2，p.236].给定一个在区间[m,M]的测度，且.可测的实值函数可以视为在一个恰当紧凑的豪斯多夫空间X上的连续实值函数.对于定理2中的，我们现在想要得到一个具有通常意义的范数的连续函数C（x）；同样的是单位元的倍数.（那么定理1的情形当且仅当X是无穷时才会成立）.至于，也就是f的映射，通常称为期望.对于=C（x）的元素A来说，我们取由x（t）=t（）的可测函数；则当然就是等价于（）的函数.现在我们所列出的所有内容已经全部明了：变成，分布中值为，则变为，并且定理2可以看成是定理1的推广.
我们仍然没有检验定理2的一般形式，因为我们只列举了交换代数的例子,
非交换集合.对于任何代数间正的单位映射，下面的式子非常有名且重要，
（1）
对于任何自伴随A[5]，[1].我们的定理2在其他的方向以其为边界.
例1.设是为所有的阶复矩阵，并且令为所有阶矩阵的子代数；对于，取映射为用0代替所有对角线元素.这就是上面（1）的例子：如果，那么
但是这会有多大的不同呢？如果A与对角阵很接近则差异很小；定理2为上述的限制提供了一个不同的基础.
例2.设是为所有的阶复矩阵.的一个元素A自然发生“转换器”，（）（）的元素由下面定义
.
映射L和R显然是线性且单位的.我们按照通常的方式赋予（）一个代数结构；首先是由维的希尔伯特空间构成的，通过在上面赋予希尔伯特-施密特内积
lt;F|Ggt;=tr（F*G）,
并且（）要求为恰当退化并且正规.现在经检验L和R是正的且为单位的；因此它们的平均值：
,
并且定理2已经给出了相关的信息.
注释.在前面的情况下我们注意到仍能够由一般化的方差解释.这个概念在例2中被省略了，因为不是映射本身的代数子集.
逆的均值的边界.对于（1）的一个伴随不等式有影响的是它的逆而不是平方.对于代数间的一个正的单位映射，
（2）
对于所有的正的A[1].我们现在寻找一个相反的不等式，在（2）中像（1）中按照定理2的做法那样做.
定理3.如果是正的且为单位的，那么对于正的A，
.
注意到M和m的算术平均值为常数且能被它们的调和平均值整除.
证明：我们给定.我们模仿定理2的证明过程.，因为右边的因子是可交换的正元素.也就是，
.
并且由的假设有，
.
但是因为正数满足，所以右边的算子是的.
这就是著名的Kantorovich不等式的推广[6，4.3.1].
当为，为并且用代替每一个的阶主子式时为定理的特殊情况，这种情况已经被Marshall和Olkin证得了[7].
定理3的另一种特殊情形也已经被熟知好多年.再一次让为.在中固定一些向量，使得.那么
定义一个从到C正的单位线性映射.因此，定理3也可以表达为
对于一正的确定的A.这个不等式有Ky Fan证明[3],并且当k=1时就简化为Kantorovich不等式.
参考文献
- M.-D. Choi,Some assorted inequalities for positive linear maps on -algebras,J.Operator Theory 4(1980) 271-285.
- John B.Conway,A Course in Functional Analysis,2d edn.,Springer-Verlag,1990.
- Ky Fan,Some matrix inequalities,Abh.Math.Sem.Univ.Hamburg 29(1966) 185-196.
- S.T.Jensen and G.P.H.Styan,Some comments and a bibliography on the von Szokefalvi Nagy-Popoviciu and Nair-Thomson inequalities with extensions and applications in statistics and matrix theory,preprint.
- R.V.Kadison,A generalized Schwarz inequality and algebraic invariants for -algebras,Ann.of Math. 56(1952) 494-503.
- M.Marcus and H.Minc,A survey of Matrix Theory and Matrix Inequalities,Allyn Bacon,1964.
- A.W.Marshall and I.Olkin,Matrix version of Cauchy and Kantorovich inequalities,Aequationes Math. 40(1990) 89-93.
Indian Statistical Institute,7,S.J.S. Sansanwal Marg,New Delhi 110016,India rbh@isid.isid.ac.in
University of Toronto,M5S 3G3,Canada davis@math.toronto.edu
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