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线性代数及其应用 434 (2011) 1195–1199
仿射算子的正则共轭分类
Tetiana Budnitska a,lowast;, Nadiya Budnitska b
Institute of Mathematics, Tereshchenkivska 3, Kyiv, Ukraine
Kyiv Taras Shevchenko University, Volodymytska 64, Kyiv, Ukraine
文章信息
2010年7月27日投稿
2010年11月1日接受
AMS分类： 37C15 15A21
关键词： 仿射算子 双正则共轭 标准形
摘要:设和 是两个仿射算子，其中 和为阶方阵， 和 为定义在数域上的向量。他们称为双向正则共轭，如果存在双向正则的一一映射，使得成立，这意味着与的坐标函数均为多项式形式。在特征为零的代数闭域上，我们得到了仿射算子是双正则共轭的充要条件，并给出了一个双正则共轭仿射算子的标准型。有关一一对应的仿射算子的结果可参见Branc [Conjugacy classes of affine automorphisms of and linear automorphisms of in the Cremona groups. Math.119(2006)225-241].
1、介绍和定理
本文中，仿射算子将在正则共轭意义下进行分类。这里所有的矩阵和向量空间都定义在一个特征为零的代数闭域上。
若一个映射具有形式，其中，，则该映射称为放射算子，称作它的矩阵。两个映射是双向正则共轭的，如果存在双向正则映射，使得成立。这里双向正则意思是 和具有以下形式
其中所有都是数域上的多项式。上的双向正则算子构成的群称为仿射Cremona群。
如果等式 成立且是非退化矩阵，那么称两个矩阵 相似。如果，则称点为一个不动点。一个没有不动点的仿射算子不能双向正则共轭于一个有不动点的仿射算子，因为如果数域上的两个映射都是双向正则共轭，那么他们有相同数量的不动点。
Jeacute;reacute;my Blanc对双射仿射算子的正则共轭分类如下
定理1（[1]） 设是零特征的代数闭域。
（a）两个上有不动点的双射仿射算子双向正则共轭当且仅当它们的矩阵是相似的。
（b）每个没有不动点的双射仿射算子双向正则共轭于“准对角“仿射算子
（1）
其中是的矩阵所有的特征值，且根据它们的重数重复。仿射算子（1）可由唯一确定，在适当交换的顺序的条件下。
每个方阵相似于。 （2）
其中非退化，是幂零阵。
在本文中，我们将证明下面的定理，其中定理1扩展到任意仿射算子。
定理2. 设是零特征的代数闭域。
（a）两个仿射算子和在数域上双正则共轭的准则如下：
（i）如果有不动点，则是双向正则共轭的，当且仅当矩阵和相似。
（ii）如果没有不动点，则是双向正则共轭，当且仅当非奇异矩阵一和具有相同重数的特征值，并且幂零矩阵和相似。
（b）仿射算子在双向正则共轭意义下的标准形如下：
（i）如果有一个不动点，则双向正则共轭于线性算子，即，其中是的若当标准形，该标准形可由唯一确定（若当块可适当交换次序意义下）
（ii）如果没有一不动点，则双向正则共轭于
， （3）
其中是的矩阵所有的特征值，且根据它们的重数重复。并且是若尔当标准型。仿射算子（3）由唯一确定，若特征值和的块可任意交换次序。
2.证明定理2
引理1（[1,2]. 在数域上的仿射算子有一个不动点，当且仅当双向正则共轭于它的线性部分，即。
证明：如果是的一个不动点，则和是双向正则共轭的，其中，因为对于每个，有
因此。
反之，假设和 双向则地共轭。由于，有一个不动点。因为双向则地共轭映射有数量相同的不动点，所以也有一个不动点。
方便起见，我们可以用表示仿射算子，即可将等同于。
两个分别定义在数域和的仿射算子的直和是定义在上的仿射算子，其定义如下：
因此，
.
我们记，如果和是双向正则共轭。显然，
和 （4）
定理2(a)-(i)的证明可参见[1, Proposition2]：由引理1，有不动点的仿射算子和双向正则共轭的，当且仅当其线性部分和双向正则共轭，当且仅当存在一个正则映射，使得。最后一个等式在零点求导得到，因此和是相似的。反之，如果，那么且。
由定理2(a)-(i)的结论，可直接得到定理2(b)-(i)。
在本文的剩余部分，我们将证明定理2(b)-(ii)，其结果也保证了定理2(a)-(ii)成立。
2.1 标准化
设为定义在上无不动点的仿射算子。定义和如（2）。映射可利用双正则共轭的变换通过3个步骤化简到形式（3）：
- 转化为
（5）
其中是的若尔当标准形，我们可以通过一个线性共轭变换实现这个化简，其中线性映射，是一个非奇异矩阵。则；选取满使得。
- 式（5）可转化为
。
我们利用（4）和，后者成立可由引理1得到。需要注意的是，没有不动点，因为如果是的一个不动点，则是（6）一个不动点，但没有不动点。
- 公式（6）可转化为
， （7）
其中
，，
并且是的所有特征值，且可根据它们的重数重复。（注意（7）是（3）的另一种形式）。我们利用（4）和，后者可由定理1（b）得到。
2.2 标准形式的唯一性
假设
,
和
，
是两个定义在上的满足公式（7）的仿射算子，其中和没有不动点。设 和是双向正则共轭的。对于每一个和的像
都是的矢量子空间，并且
（8）
由于和双向正则共轭，存在一个正则映射：，使得。所以
（9）
根据文献[3，第1章，推论3.7 ]，由最后的等式可得
如果，那么，所以
因此，和是形如在同一空间的双向则共轭
。
由（9），在的限制可得到双正则映射。将等式限制到在上，，我们得到。因此，和是双向正则共轭。由定理1，其矩阵和等价（特征值可任意交换次序意义下）。
幂零若当矩阵和等价（子块可任意交换次序意义下），因为根据（8），若当块的数量是等于，其若当块阶数ge;2的数量等于，其若尔当块阶数ge;3的数量等于，以此类推。
参考文献
- J. Blanc, Conjugacy classes of affine automorphisms of Kn and linear automorphisms of Pn in the Cremona groups, Manuscripta Math. 119 (2006) 225–241.
- T.V. Budnitska, Classification of topological conjugate affine mappings, Ukrainian Math. J. 61 (2009) 164–170.
- R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, Springer-Verlag, 1997.
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