在椭圆模型4的矩阵变量分布理论：协方差矩阵特征根以及最大、最小特征根的联合分布外文翻译资料

 2022-12-08 11:16:21

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在椭圆模型4的矩阵变量分布理论：协方差矩阵特征根以及最大、最小特征根的联合分布

摘要：本篇文章中，我们推导出在椭圆模型下的一个样本协方差矩阵的特征根的联合分布。然后，我们获得最大和最小特征根的分布。在这些推导的过程中，我们也纠正存在于文献中的一些结果。

关键词：似然比统计量，椭圆形模型，带状多项式，样本协方差矩阵，特征根。

1 引言

在高斯模型下，James（1964年）的带状多项式已在矩阵变动分布内容的发展中起到了关键作用。在这个方向上各方面的发展已在过去五十年产生，已经被 Muirhead（1982）权威修订。最近，椭圆模型的这些结果的延伸已经作出。例如， Caro-Lopera et al. (2014a)研究了广义 Wishart分布及其在协方差矩阵的同质化的似然比检验中的应用，Caro-Lopera et al.(2014b)已经讨论了球形检验，而Caro-Lopera et al.（2015年）已经制定了在椭圆模型下的测试规模矩阵的似然比检验和指定值的位置向量和矩阵规模。所有这些成果已经在 Muirhead (1982)的第8章提出的高斯模型结果中概述。在目前的工作中，我们在 Muirhead (1982)关于一个样本协方差矩阵特征根的联合分布和在椭圆模型例子中最大、最小特征根的分布的第9章概括了结果。在这些推导的过程中，我们也纠正文献中的一些错误结果。

考虑到带状多项式的衍生分布的表达都可以有效的计算，正如Caro-Lopera et al. (2014b).中证明的那样以Koev amp; Edelman (2006)算法进行适合的修改。

本文的其余部分进行如下。在第二部分，我们得出一个在椭圆模型下的样本方差矩阵特征根的联合分布。在第三部分，我们从一个在椭圆模型下的样本方差矩阵得出最大最小特征根的分布。在这些推导的过程中，我们也纠正了一些文献中关于带状多项式的错误的结果。

2 一个样本方差矩阵特征根的联合分布

在本节中，我们提供了在椭圆模型情况下的一个样本方差矩阵特征根分布的经典成果概括的基本工具。

首先，回顾一个具有矩阵变动椭圆等高分布一个ntimes;m维的矩阵X，记 ,如果它的表达式为

其中方程被称为普通方程即。

现在，记椭圆Wishart分布为维随机矩阵的分布，其中维矩阵Z服从且；继而由Caro-Lopera et al. (2014a)可得矩阵A的密度函数为

（1）

其中，由Caro-Lopera et al. (2014a)，我们得到如下Muirhead (1982)定理 3.2.18的概述。

引理1 如果A服从.且ngt;m-1,则矩阵的特征根的联合密度函数为

（2）

这里以及整篇文章中，表示椭圆关于u的k阶生成函数和在评估表示所有分区的总和，并且是带状多项式通过k索引在矩阵参数的特征根。

现在，样本方差矩阵S服从，然后S的特征根联合密度函数给出如下：

推论2 让nS服从，且ngt;m-1,然后S的特征根联合密度函数给出如下，

（3）

高斯版本由于James（1960年）（另见Muirhead（1982年，定理9.4.1））如下作为一个特定情况考虑到，并且在这个例子中我们推导出如下结果。

推论3 让nS服从分布，且ngt;m-1，然后S的特征根联合分布密度函数给出如下，

（4）

当，样本方差矩阵S的特征根联合密度函数变成

，从中我们容易获得以下结果。

推论4 当，样本方差矩阵S的特征根联合密度函数由下式

（5）

再一次，在高斯例子中，我们推导出下面的结果。

推论5 当，样本方差矩阵S的特征根联合密度函数由下式

（6）

3 样品协方差矩阵的最大和最小特征根的分布

本节讨论的在一个椭圆模型下样本协方差矩阵最大、最小特征根的分布。高斯情况可以在Muirhead（1982）和Hashiguchi amp; Niki （2006）例子中找到。

我们首先讨论它的最大特征根以及它的分布。

定理6 如果A服从且ngt;m-1，且是一个维矩阵，然后矩阵正定的概率为

证明：由于A服从且，然后A的密度函数是

所以我们要计算积分

通常，积分是建立在区间,,其中。然后

当在带状多项式方面延伸时，我们得到

然后所需的结果如Muirhead（1982）的定理7.2.10所示。

Muirhead (1982, 定理 9.7.1)经典的高斯例子是通过考虑 相应显示在下面的推论中。

推论7 如果A服从，且是维的矩阵，然后矩阵正定的概率为

其中，见Muirhead (1982)。

现在我们可以运用定理6椭圆Wishart矩阵S。在这个例子中，我们对的最大特征根的分布感兴趣。换句话说，我们想找到，等价于找到，

但是回顾，我们有,进而得出如下推论。

推论8 协方差矩阵的最大特征根的分布由下述给出

Muirhead (1982, Corollary 9.7.2)对应的高斯版本推断如下。

推论9 样本协方差矩阵的最大特征根的分布由下述给出

由于样本协方差矩阵S的最小特征根同样，需要计算，但是如在Muirhead (1982, p.421)提到的，它不会从已知的概率获得，由于。所以，我们需要通过使用带状多项式的性质完成积分在上的演示。这样做的关键是要改变积分区间从到,以下是运用beta类型1积分转换成beta类型2积分的思想。

特别地，当我们想计算积分

让我们通过改变积分区间从到。然后我们得到

现在，通过假定具有泰勒展开，并按照建议判定，我们可以将它表示为

通过使用Khatri (1972)的一个思想，是一个正定积分，我们可以通过如下带状多项式扩展

其中，并且考虑到r是正整数系列行列式的结束，见Muirhead (1982, p. 259)。

然后通过整合这些扩展式，我们得到

(7)

以上积分已经被Li（1997年，定理2.2）给出，但修订定这一结果是必要的。首先，我们需要讨论初步结果。

3.1 关于Muirhead (1982）中的引理 7.2.12

让我们以Caro-Lopera et al. (2009).的一个结果开始。

定理10 记Z为一个复杂的维对称矩阵，并且，记Y是维对称矩阵，然后，

(8)

当

（9）

并且

这个结果以如下事实为基础。

引理11 如果维正定矩阵，然后

（10）

其中是在中系数的最高权重，见Muirhead (1982, 引理7.2.6)例。

需要注意的是，表达式Z的最小权重，通常运用在p. 228，Muirhead (1982）定义1，与Constantine, Khatri,的原始引用在这里是不恰当的，因为它指的是分区的值少于k，它不包含k的对称形式。因此，在所需的结果（7）中，它是更普遍的一个特定的情况下的积分。

(11)

应该以下面引理的扩展为基础。

引理12 Muirhead (1982, 引理 7.2.12)：如果维正定矩阵，然后

（12）

其中是在中系数的最高权重。

然而，似乎引理12被错误地指定，并表明为此，我们提供了一个简单的反例。

如果

并且

是正定的，然后

有特征根

由于

其中是维正定矩阵的特征根，

另外， （13）

这违背了Muirhead版本的结果

也可以检查（13）中持有结构四元数矩阵（见Li amp; Xue（2009））。

也许，这是一个词典编纂的错误，因为如果我们遵循的方向由Muirhead给出的证明（1982年，第256页），事实上，在翻译Muirhead (1982, 引理7.2.6)的证明时，我们保留了下面错误的版本。

引理13 Muirhead (1982, 引理7.2.12)改正过的结果：

如果维正定矩阵，然后

（14）

其中是在中系数的最高权重

上述结果在四元数矩阵的情况下与Li amp; Xue（2009）以下引理形式相吻合。

引理14 如果维正定四元矩阵，然后

（15）

其中是在中系数的最高权重

的不同之处在于它是一个维正定四元数矩阵，而不是正定矩阵。事实上，Li amp; Xue(2009)跟随Muirhead (1982)的证明。更进一层说，他们没有注意到他们的结果结构不同于引理12。

3.2 Li (1997)中有关主要积分的定理2.2

现在，我们可以计算（11）中的积分并且作为（7）中的一个结果，这样给出样本协方差矩阵S的最小特征根的分布。

正如之前提及的，结果与定理10 (Caro-Lopera et al. (2009)) 中引理14.相一致。

但是，我们必须提出这个积分已经被Li (1997,定理2.2)尝试解决以 Muirhead(1982)的引理7.2.12为基础所以在他的作品中提供的推论和应用程序需要更正为好。Li (1997)中提及的结果如下。

定理15 Li (1997, 定理 2.2)，记Z为维的复对称矩阵并且，假定然后，

(16)

其中。

所以对于正确性，我们假期那个总结所有的证明，使用引理13然后提出一个完整的证明这是Caro-Lopera et al. (2009)中给出的定理10直接的证明。

定理16 Li (1997, 定理2.2)中的正确证明：记Z为维的复对称矩阵并且

(17)

其中

并且

我们有

（18）

对任意

(19)

记,暗示了，然后

（20）

另外，是关于Y的一个对称函数，从（19）和（20）式中，整合后相对于中归一化的不变测度,我们得到

(21)

其中Jame

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