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非平稳波动下的非参数单位根检验

Burak Alparslan Eroğlu, Taner Yiğit

经济学系，Bilkent大学，安卡拉，06800，土耳其

摘要我们提出了一种新的非参数单位根检验方法，在创新方差中可以作为一种永久的变化方式。与文献中的其他方式不同，我们的方法不需要一个参数化的规范或者通过滞后/带宽选择来调整序列相关性。

关键字：非平稳波动分数整合时间序列方差比统计单位根检验

1 引言

Busetti and Taylor (2003), McConnell and Perez-Quiros (1998)提出：实证证据表明，在宏观经济和金融数据中方差的变化（非平稳波动）发生是非常常见的；这一发现加上这些类型的数据的水平上的非平稳性引导研究人员探讨方差变化对单位根检验造成的影响。在这些研究中，Cavaliere and Taylor (2007)，在此之后CT，证明了在非平稳波动下，标准单位根检验的渐进分布能够被一个包含新的多余参数的“方差分布”改变，造成测试的大小失真。为了实现正确的推理，CT首次提出了先一致估计这些令人讨厌的参数，之后Phillips and Perronrsquo;s (1988) 在此基础上提出了渐进分布。尽管他们包含了多余参量检验与经典的单位根检验相比，得到了了显著收益，但他们仍然依赖于早期的研究中使用的纠正多余参数的其他方法。比如说，误差序列相关性方法。CT通过对长时期的方差估计来调整他们的检验统计量。这些长时间的方差来自于基于回归估计的内核半参量估计或者参数的ADF检验。这些方法的成功高度依赖于有限样本中滞后长度，带宽和内核的选择。在本文中，我们提出了一个非参数单位根检验。这个检验对于非平稳波动问题是适用的，而且不需要一个长期的方差估计。

我们通过对Nielsenrsquo;s (2009) 提出的非参数方差比统计量与CT提出的非参数方差分布估计进行修正，得到我们的检验统计量。所提出的检验统计量的计算涉及到一个极小的变换观测序列一个极小的变换，但它不需要任何参数回归或选择的任何调整参数，如滞后长度和带宽。因此，我们不仅仅修正了Nielsenrsquo;s 的检验使得其能抵抗住非平稳波动，同时也对CT统计量有限样本的性质对序列相关所有类型的适用做了提高。导出分数整合过程的极限分布与非平稳波动以及证明都放在了附录部分。

2 模型与方差比率检验

2.1模型

，是确定的项，是滞后多项式。在CT中，我们有以下假设：

假设

A1 滞后多项式，，，

A3 ，对于，是一致有界的，也就是说存在一个使得

假设A1与假设A2在单位根检验的文献中是十分标准的。CT在A3中描述了创新的动态变化的特点，应该有界而且是一个可数的跳跃。

CT中一个基本对象的定义在下面给出：

此对象被称为过程的方差分布。进一步的，是的极限。

2.2方差比率检验下的非平稳波动

为了修改方差比率检验（Nielsen 2009）统计量，我们需要对小数部分的和做一些操作对于一些

就是伽马等式。在假设A的条件下，有以下引理

引理1 假设由公式（3）（4）生成，

,其中

,的方差转变成立布朗运动，由公式（5）定义。此外，。

对于一切，

其中

备注1 引理1（i）与（ii）Cavaliere (2005) and CT.引理1(iii)是为分数整合过程中非平稳波动而建立的弱收敛。尽管 Demetrescu and Sibbertsen (2014) 用非平稳波动建立了分数的综合过程，但是他们并不确定这个对象是否弱收敛。

备注2 注意在的零假设前提下，方差改变Uhlenbeck–Ornstein的过程变成了改变布朗运动的过程。比如，在零条件下，部分和过程会收敛到，定义。这个极限分布类似于由Marinucci and Robinson (2000)提出的类型II分数布朗运动。自从不包含任何的前期影响（Wang et al.,2002)。

如Nielsen（2009）一样，我们运用OLS消除观察到的序列的长期趋势，以此来清除确定性的部分，用来代替并定义，我们的检验统计量为：

定理1假设时间序列由公式（1）-（4）决定，对于，

备注3注意短期动态消掉以来渐近分布分子和分母部分长期共享相同的方差分量(iii)。

2.3 模拟的渐进分布

定理1中获得的检验统计量的多余参数可以通过修改CT的非参数估计量而得到一致估计：

定理2 与定理1条件相同

无自相关

AR(1)

ARMA(2，2)

在获得了一致的估计后,我们可以模拟渐近分布和检验统计量的临界值。首先我们选择一个水平N。对于,之后我们用公式（8）来估算。通过在上的图线，我们可以得到。然后对这一对象应用部分集成算子，用使其倍增，我们得到了。对这个对象应用适当的降低和消除趋势的过程，我们得到这个检验统计量的渐进分布。这个渐进分布之后会被用来生成临界值。这个提出了对于大值测试拒绝零假设值检验统计量，那就是，如果大于分位数，我们就拒绝原假设。

3蒙特卡洛实验

在蒙特卡洛模拟中，数据是由等式（1）—（4）在,我们把下列说明中的作为误差项方差。

创新点就是都来自,所有的模拟都是MC=10000次。在模拟方差转移布朗运动时，我们固定了步长N到T。在创新方面，我们考虑了序列相关的四个场景。第一个不包含任何序列相关性。第二个，会跟随一个简单的AR(1)模型，第三个是一个ARMA(2，2)过程：。最后是一个MA(2)过程：。我们令。标志着检验功效的大小和其他效果。我们同时也对Cavaliere and Taylor (2007)提出的检验提供了模拟。

备注4 这个模拟的第四个场景作为非平稳的随机波动，是不在A3的假定下的，然而即使如此，我们的模拟却明显的表现出很好的效果（见表1-4）

表4

4 总结

模拟证据显示该非参数单位根检验在任何情况下具有理想的规模和功效属性。我们的测试几乎主导CT测试的规模。此外,对于没有序列相关性的有限样本来说，我们的测试结果比CT的测试结果的功效要好的多。

参考文献

Busetti, Fabio, Taylor, AM. Robert, 2003. Testing against stochastic trend and seasonality in the presence of unattended breaks and unit roots. J. Econometrics 117 (1), 21–53.

Cavaliere, Giuseppe, 2005. Unit root tests under time-varying variances. Economet-ric Rev. 23 (3), 259–292.

Cavaliere, Giuseppe, Taylor, AM. Robert, 2007. Testing for unit roots in time series models with non-stationary volatility. J. Econometrics 140 (2),

919–947.

Demetrescu, Matei, Sibbertsen, Philipp, 2014. Inference on the long-memory properties of time series with non-stationary volatility. Technical report, Discussion Paper. Wirtschaftswissenschaftliche Fakultauml;t, Leibniz University of

Hannover.

Marinucci, Domenico, Robinson, Peter M., 2000. Weak convergence of multivariate fractional processes. Stochastic Process. Appl. 86 (1), 103–120.