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解决包括无穷大Laplace算子在内的不同类的方程式的解
刘芳，杨晓萍
摘要：在高度退化非线性椭圆方程Dirichlet问题边界值问题上我们可以得到唯一存在的关
于粘度解的结果，形如，当，表示是由无穷大Laplace
算子给出的定义。我们将给出不对称的关于两种不同类
型无穷大Laplace算子的粘度解中唯一的单数解。
关键词：不同类型的方程式 无穷大Laplace算子 粘度解 唯一的单数点
- 介绍
本章表明对于一些相同类型的无穷大Laplace算子存在Dirichlet问题的粘度解，无穷大Laplace方程式是Euler-Lagrange方程和变化问题相关的绝对小Lipschitz延展函数，且为有界域的边界。进一步来说，称作更精确的绝对小Lipschitz延展函数,如果在上，对每一个上的开子集V都有,,满足在上，这里，，现在可以得知无穷大Laplace算子，可通过Aronsson[1-3](1960s)了解学习，但证明存在唯一解有困难，主要因为形式的变化，一些处理可以克服这些困难，包括粘度解的概念【4】和圆锥体方法的比较【5-8】。Jensen【9】（1993）表明粘度解和齐次的无穷大Laplace算子方程是等值的。Jensen也证明了唯一的AMLE，可发现AMLE的一个特殊的性质（详情参考【10】），叫做在任意领域内包括圆锥顶点和它们有定义的点上证明绝对小和圆锥方程有不同的可变最大值定理。这叫做和圆锥性质的比较，在【11】，一个新的应用定理被用此方法证明。任意地，一般方程存在唯一解包括。在【12-15】，对于不同类型的Dirichlet问题的无穷大Laplace方程存在的问题从PED的角度来看是可解的。在他们近期文献【16-18】中，Armstrong et al 介绍了不同的标准化无穷大Laplace方程的近似值来学习Dirichlet或混合型Dirichlet-Neumann边界值问题。在上，（1.1）。
在这个境况下，如果f改变它的符号（见例子【14,15,11】），比较原则和唯一性是无效的。到现在我们可以知道，对于的唯一性问题并没有解决。令表示开集边界，f（符号不变），给出，我们着重解决Dirichlet问题。
（1.2）
对于,我们找到径向解
（1.3），在此点上无穷大Laplace算子是径向不变的。此外，我们得到在粘度性质上Dirichlet问题的唯一解。当h=0和h=2，这些减少的例子在【14,15】里讨论。我们采用典型的Perron的方法得到存在的结果。我们的这些存在方法在Lu和Wang【14,15】的文献中得以证明.同时讨论靠近一个单独的奇数点的粘度解的渐近线。这个想法在文献【19】中得以证明。
抛物线方程包括无穷大Laplace方程被认为是近十年来众多的标准方法之一，尤其是是它的应用反映处理到期后。近来，在【20】，可获得退化的抛物线方程存在唯一性的解。它的部分应用和概念在例子h=0和h=2时，我们认为方程是它本质的特点，因为在内是不仅仅是单一退化的，但结构是不变化的。它也是一个值得讨论的点，是3-h齐次的且径向不变的的。在径向解中，我们可以得到的导数，当符合（n=1）。这些将在第三章中得到更准确的解释。
在第二章中，我们给定和有关联的符号，。在第三章中，我们给出方程的径向解和解的性质。在第四章中，我们通过Perron的方法得到存在的解。在第五章中，我们讨论靠近单独的奇数点的两种不同类型的无穷大Laplace方程粘度解的渐近线。
- 准备
我们在（）建立连续函数，如果是上的子集，是有边界的，为边界值。我们用表示有圆心的开球体，半径为r。意味着V在上是连续的，i.e.,V是上的子集，同时它在上的终点是可控的，为，lt;.,.gt;表示常用的Euclidean内部证明。
表示建立一个对称矩阵，和分别表示的最小特征值和最大特征值。表示建立一个增加的半连续函数，表示建立一个减少的半连续函数。
表示有局部最大值，在此文章中，被认为，对所有和。另一方面，表示在处有局部最小值。注意Eq.(1.3)处有预期的单调值，此定义是一个不太常见的问题，我们介绍这样一个奇点，
，当，的定义域从0到p，当0lt;hlt;2时，我们找到上连续存在的值：
（2.1）
在本文中，通常被认为是延展的（2.1）,意思是，Eq.(1.3)对是有定义的。可以看出，（1.3）和粘度解是有相关联的。
定理2.1. 被称作在上方程（1.3）的粘度解，如果对任意，对任意
方程 当在处有最大值，举例。
类似的，叫做在上不同部分方程（1.3）粘度解的超解 ，如果对
任意 和任意方程当在处有最小值，例如
，一个在上不同部分方程（1.3）粘度解也是它
的超解，也是这个方程的超解。最后，粘度解和（1.2）的Dirichlet问题是一样
的。
定理2.2. 一个方程（或） 叫做粘度解（或超解），当（1.2）中是
粘度解（或超解）在上（1.3）中，在中（或）。最后，
是（1.2）的粘度解也是方程的解也是整体的超解。
- 方程的径向解
从是径向不变的，下列方程（3.1），对于方程有不变的径向解，当时，B对于的定值。
Eq.(3.1)是不变的，
也是它的解。
令，任意
和（3.2）
（3.3）
在（3.2）和（3.3）中，我们可以得出是（3.1）中在的解。
我们可以得到以下引理。
引理3.1. 在上，是Eq.(3.1)的粘度解
证明：可以得知常解就是一个粘度解，相似的，，
是在方程
上的解，当区间为时。令，
,
推论3.1是粘性方程（3.4）在的超解但不是常解。
证明：清楚的证明除去了点，它证实了是方程（3.4）在处的
超解而不是常解。假设
首先证明在点处是粘性方程的超解，通过定义，证明了对任意
都有，.
注意，我们有,从
可推出
可推出在处是粘性方程的超解。
我们接下来证明在点处不是一个常解。假设不是，存在，，有，得出
，当时，令，e是在上的单位矢量，且，令，我们得出
（3.5），当，两边同时除以并求极限，得出，其中，令，得出的结果跟（3.5）矛盾，所以在点处不是常解。、
推论3.1. 如果u是方程(3.4)的一个粘度解常解，然后它是无穷大方程的一个粘
度解。
推论3.2. 是方程的一个粘度常解但是不是一个粘度超解，u=-1，
在上。
- 方程定理
在本章中，我们通过Perron的方法证明方程（1.2），我们需要以下推论。
推论4.1. （1）I是一个指数集，,对任意，是方程（1.3）的一个粘度
常解，，u也是方程的一个粘度常解。
（2）I是一个指数集，,对任意,是方程（1.3）的超解，
，u也是方程的一个超解。
证明：因为证明（2）和证明（1）是类似的，我们仅证明（1）。假设u不是方程（1.3）
在上的超解，然后可以证明点和方程有
，如果我们用代替，那么
，当，然后在点处有局部的最小值，
i.e.,,,,我们得出
，如果且足够小，我们假设满足方程
，一些
我们要求在上有开点
事实上，我们要求用二分法
如果，在内，连续的f和意味着在区间里有
一个点使得，
，如果，所以
区间中有，使得
要求得证。
对任意，，有指数，使得，，令
，，使得
，在上，指数，当
在处有最大值。当在上有粘度值。
，跟我们所需要的是矛盾的，所以
在中
现在我们准备证明不同类型的无穷大Laplace方程（1.3）存在粘度解，并解释作
为超解的基本解。
定理4.1. 假设是上开子集的边界值，，当，，
此子集中，u满足Dirichlet边界值问题（1.2)在黏性前提下。
证明：我们建立如下方程，得出
关联方程 在S上是一个清晰的原理。所以可建立一
个非空的集合S，通过推论4.1，u显然是（1.3）在上粘度解的超解，且在
上有，作为连续方程的下确界，u在是存在的。我们有
，在上是有粘度解的。假设没有，一个指数一个函数
和一个点，有，但是，我们得到
（4.3）
当x趋近于，我们得到，是足够小的正数。
在中，其中rgt;0,但是在范围外。
我们令在上，对任意点，任意，在范围内z为，，取很大的数Cgt;0，,我们发现，对。对和，当和，，此时在上。此外，因为v在上是无穷大可调和的，，在上。所以,，因此，对任意，令，得到，令。另外，，u是无穷大调和解，我们可以得知在上可根据Lipschitz推理出来（细节见【5】）。因此u在上是连续的。
证明。
我们构造另外一个可能的典型例子
另外的满足粘度条件，对任意固定的点，取,当和足够大，使得在上。因为在上，,且是非空的。
我们取，对任意，通过推理4.1，可证实在粘性情况下，是在上减少的半连续上确界，在连续函数上，，在上，我们现在可以得知在上。
找一个点使得，正数，上是连续的，存在一个正数r使得，对所有，是一个边界定理，是从0到所有的上边界值和下边界值，我们取一个很大的数A，，一个很大的数,得知,我们得到
，，A,B可选。
对任意，，和
，w是，对所有的粘度常解。在，在上。
表示在上，所以函数w在T内。可令，对任意意味着对任意。
在上有函数的上确界，是上递减的半连续函数，因此，
，
参考对比原则（见定理4.3）表示在上，对任意,在本文中，在上，所以，
另一方面，递增半连续的u在上表示
，，所以，
可以得知.定理得以证明。
定理4.2. 设是上的有界开子集，，，,存在
，其中u满足粘性条件性Dirichlet边界值问题（1.2）。
证明：，Dirichlet边界值问题
(4.6)
通过定理4.2我们可以得知粘度解
定理得证。
定理4.3. 假设满足，在粘性条件下在区域
上，f是上的连续函数，，在上，在
上。
通过定理4.1-4.3可证该结论。
定理4.4. 假设是上的有界开子集，，
，这里存在一 个子集，u满
足Dirichlet边界值问题（1.2）。
f在上符号不变是不可缺少的条件，这里有一个标准化的反例，无穷大Laplace方程式（1.1）被【11】证明，且在此条件下是一个独特的定理，在【14】中，Lu and Wang给了关于无穷大Laplace方程的不同的反例。事实上，我们也可根据PSSW【11】给出方程（1.3）的反例.
- 粘性问题的渐近线
让我们回想粘性解（1.1）的概念，有关的定义，相应的粘性解在【15】中得到引证。表示运算
（5.1）
（5.2）
显然，，对任意，当映射在上是递增半连续的，当在上是递减半连续的，且两个映射在是连续的。
定理5.1. 叫做标准化无穷大Laplace方程（1.1）的
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