基于核的非线性多元灰色模型外文翻译资料

 2022-12-16 17:25:25

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基于核的非线性多元灰色模型

马新1，3，刘智斌2

1.成都西南石油大学，油气藏地质与开发国家重点实验室

2. 中国成都，西南石油大学理学院

3. 中国绵阳，西南科技大学理学院

摘要：灰色模型由于其对小样本时间序列预测的有效性，而引起了学者们相当大的研究兴趣。但是大多数现有的灰色模型基本上都是线性模型，这限制了灰色模型的适用性。在本文中，我们介绍了一种基于核方法的新型非线性多元灰色模型，并命名为基于核的模型，缩写为。模型包含输入序列的未知函数，可以使用核函数估计，然后模型可用于描述输入和输出序列之间的非线性关系。本文进行了油田产量预测，凝析气井产量和煤气排放的案例研究，结果表明模型比现有的线性多元灰色模型和LSSVM更有效。本文还结合理论分析和数值实验，讨论了的非线性、数据结构、样本大小和预测项对模型的影响。

关键词：线性模型、核函数、模型、多元灰色模型

1引言

“白盒子”的思想是基于系统结构所有信息都已知的情况下，来建立的数学系统模型，“黑盒子”的思想也是建立系统模型，但是系统结构信息是完全未知的。“白盒”模型通常是理想的模型，能非常准确地描述系统。但是在现实世界的应用程序中，构建“白盒”模型是非常困难的，因为通常很难获得系统的所有信息。相比之下，基于经验方法构建“黑盒”模型要容易得多，但这些模型通常无法准确描述系统。“灰盒子”的思想结合了“白盒子”和“黑盒子”模型的优点。

在1982年开创的灰色系统理论，是基于“灰盒子”的概念，它可以用很少的信息和小样本来处理不确定的问题。灰色预测模型，通常称为灰色模型，在中起着关键作用，并已广泛应用于现实世界。灰色预测模型的一般形式称为模型，其中“h”表示灰色模型的顺序，“n”表示变量的数量。根据建模技术，现有的灰色模型可以简单地分为两类：连续灰色模型和离散灰色模型。

连续灰色模型通常基于白化方程来开发，白化方程通常由线性微分方程表示。是最简单的连续灰色模型，它是只有一个变量的一阶灰色模型。由于具有小样本时间序列预测的有效性，在应用中非常流行。同时，也代表了传统灰色模型的主要方法，

并且已经使用的类似建模程序开发了许多变体模型，例如，灰色模，，三角模糊数等等。是多变量灰色模型，其比更通用，并且理论上它比更重要，因为它代表更一般的方法。但是已经阐明了方法不正确，并且提出了更准确的一阶多变量灰色模型，称为模型。模型的建模过程,实际上代表了多变量灰色模型的新颖建模方法，例如，灰色模型,,和都具有相似的建模程序。在所有连续灰色模型中，应使用差分方程用于参数估计，差分和微分方程（白化方程）在应用中经常会造成大的误差，所以学者们开发了许多新来提高连续灰色模型的准确性。

离散灰色模型的研究也可以作为一种提高现有灰色模型精度的新方法。谢、的初步工作引入了一个名为的离散灰色模型，它对应于模型。近年来，离散建模技术已应用于构建若干新型灰色模型，如与模型相对应的，与相对应的，相对应的模型等。据报道在应用中，这种离散模型通常比连续模型更准确。

然而，除了灰色模型和模型之外，上面提到的所有灰色模型基本上都是线性模型。邓在他的书中指出，非线性灰色模型应该更重要，因为在应用中存在比线性问题更多的非线性问题。近年来，已经开发出许多非线性灰色模型。模型实际上是灰色模型的一般形式，是典型的单变量非线性灰色模型，它使用非线性方程作为单变量灰色模型的白化方程。分数阶累积生成运算也可用于构建非线性单变量灰色。最近,肖等引入了循环截断累积生成操作，建立季节性滚动模型，可用于处理交通流量的季节性。通过增加输入变量的值来增加功率，可以建立多变量非线性灰色模型，如和。时间延迟变量可用于构建单和多变量灰色。然而，现有的非线性灰色模型都具有特定的非线性公式，因此它们只能描述特定的非线性系统，显然这种非线性模型的适用性非常有限。

在本文中，我们的目标是建立一个基于核方法更一般的非线性多元灰色模型。内核方法最初是由那瓦在支持向量机的工作中开发的。由于核方法可以使线性模型非线性化，它已被用于构建许多非线性模型。如基于多元线性回归的模型，和基于主成分分析的模型，费雪判别式等。然而，原始方法的不等式约束,使得构建基于内核模型变得不容易。苏尼最初使用等式约束来构建支持向量机，称为最小二乘支持向量机（LSSVM）。LSSVM更容易使用，也被用于构建基于内核的非线性。马塞洛等引入了一类基于内核的模型，称为部分线性模型，它使用半参数公式来构建具有部分线性表达式的非线性模型。在我们之前的工作中，我们使用半参数将Arp的衰减模型扩展为用于油田产量预测的多元非线性预测模型。然而，众所周知，经常需要非常大的样本来构建机器学习模型。例如，经过大量样本（特别是国际象棋手册）的多次训练，阿尔法狗可以击败Go游戏的世界。但通常无法在实际应用程序中获取足够的样本。因此，构建机器学习模型会更好，这种模型可以有效地处理小样本的非线性。据我们所知，很少有基于内核的小样本模型，特别是多元非线性模型。

最重要的是，在这项研究中，我们感兴趣的是建立一个新的非线性预测模型，该模型具有灰色模型（处理小样本的能力）和核方法（处理非线性的能力）的优点。我们选择了等人的模型结构作为主要结构，并使用核方法构建一个新的非线性多元灰色模型，称为基于核的模型，缩写为，并用它来预测石油生产，凝析气井生产和煤气排放。为了讨论模型的非线性和预测性能，还进行了理论分析和全面的数值实验。

本文的其余部分安排如下：第2节简要概述了；第3节显示了模型的建模程序; 第4节进行了 模型的案例研究; 第5节进行进一步的讨论; 第6节得出了结论。

2优化后的模型

在本节中，我们简要概述了郑等人的优化。模型主要考虑具有n个序列的灰色系统，其中被视为输出序列，分别被视为输入序列。一阶累计生成操作被定义为

(1)

背景值(也称为由[48]中的连续临近元素生成的平均序列)被定义为

(2)

然后，郑等人优化后的可以表示为

(3)

缩写为模型。变量和分别被命名为线性校正项和灰色动作项。当= 0， = 0时,产生传统的模; 当= 1，且 = 0时,产生传统的模; 当时，模型可以是非齐次模型的变体模。

系数，，...，和，可以使用最小二乘法估计

(4)

(5)

其中

B= Y=

根据1-AGO（1）的定义，我们有

(6)

由(6)、(2)和(1)，我们有以下递归方程：

(7)

其中

, , , (8)

因此，通过使用递归方法求解，我们可以很容易地得到模型的响应函数如下

(9)

其中

(10)

然后，恢复值可以通过一阶逆累积生成操作（1-IAGO）获得

(11)

3 KGM(1,n)模型

3.1模型的表示

可以看出，模型本质上是线性模型，其仅考虑输入和输出系列之间的线性关系。为了使其非线性化，我们需要引入输入序列的非线性函数。因此，模型的非线性形式可以写成

(12)

其中是输入序列的非线性函数，是偏差。根据内核方，

我们可以使用特征映射，将输入序列映射到更高维度的特征空间H中

然后，非线性函数可以在特征空间中以线性形式表示为

(13)

其中 ,并且 isin;H是权重向量。

以下简单示例可以说明如何将非线性函数写为高维特征空间H中的线性组合。

例1.让我们考虑非线性函数，并定义特征映射

(14)

然后我们可以将中的非线性函数写成的线性组合

3.2参数估计

实际上，在(13)和[36]中找到非线性映射通常在计算上是不可行的，因此我们无法使用最小二乘法估计的参数。相反，我们考虑以下正则化问题

所以: (15)

其中C被称为正则化参数，它控制拟合误差与所产生的系列平坦度之间的平衡。正则化问题，本质上是一种用于部分线性的半参数公式，它也具有岭的缺陷，为了解决这个问题，我们首先需要将拉格朗日定义为

L= (16)

其中是拉格朗日乘数，然后可以给出如下KKT条件

(17)

通过消除，w和，我们得到以下线性系统，其等效于KKT条件如下

(18)

其中： ，

。是一个mminus;1维的单位矩阵。参数可以通过线性系统的解，由KKT条件中的第一个方程获得。

可以看出，我们可以使用内积的值来求解线性系统，而不需要知道特征映射的公式。实际上，这样的内积可以用满足附录A中所示的Mercer条件的任何核函数来表示，即具有给定有限量样本的对称正定核，思科若夫等人证明了这一结。 因此，我们只需要考虑内核函数

(19)

本文主要考虑最常用的高斯核，通常写成

(20)

在这里是矢量的范数，sigma;是核参数，然后可以使用高斯核来求解线性系统。

3.3评估非线性函数phi;(k)

注意到（13）中的定义和KKT条件的第二个等式 ，我们有

(21)

内积仍然可以用核函数表示。因此，通过将核函数代入（21），我们得到非线性函数的以下表达式：

(22)

利用参数,hellip;和适当的核函数（例如高斯核（20）），评估非线性函数在计算上是可行的。

3.4评估1-AGO系列和恢复值

的解决方案与的方式类似。将（6）和（2）代入模型，我们有

(23)

其中

,, (24)

通过递归求解，我们得到的响应函数如下

(25)

通过（22）中非线性函数的定义，响应函数可以用于计算1-AGO序列，并且仍然可以使用1-IAGO获得恢复的值。

(26)

根据模型的解，基本上代表如图1所述的非线性动力系统。

可以看出，核函数是所提出的非线性灰色模型建模过程的关键，因此我们将其称为核模型，缩写为。

3.5 KGM（1，n）的计算步骤

根据上述建模程序模型的计算步骤可归纳如下：

步骤1：使用给定的数据集计算1-AGO系列和背景值

步骤2：使用具有适当核参数sigma;和正则化参数C的高斯核,在线性系统中构造矩阵，然后通过以下方法计算参数a，u和,hellip; ，求解线性系统。

步骤3：计算非线性函数的值。

步骤4：计算参数,然后计算1-AGO系列和恢复值。

4应用

在本节中，进行了三个案例研究，以验证模型的有效性。并与其他线性灰色模型包括，、和，以及基于内核的模型进行了对比。平均绝对百分比误差用于评估模型的性能，定义为

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