经验仿射变换的多元总体最小二乘平差外文翻译资料

 2022-12-22 17:45:40

英语原文共 9 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

经验仿射变换的多元总体最小二乘平差

Burkhard Schaffrin 1) and Yaron A. Felus2)

  1. 美国俄亥俄州哥伦布俄亥俄州立大学地大地测量科学计划

电子邮件：schaffrin.1@osu.edu

  1. 美国密歇根州大急流城费里斯州立大学测量工程系

电子邮件：felusy@ferris.edu

摘要：在大地测量学中，经常发生的是，对于给定的一组点，它们的坐标已经在两个（或更多）不同的系统中进行了测量，并且经验转换参数需要通过对定义类别的转换进行某种调整来确定。在线性情况下，这些参数出现在一个矩阵中，该矩阵将一组坐标与另一组坐标相关联，然后纠正它们的随机误差并将它们集中在中点附近（以避免移位参数）。在标准方法中，将获得结构化版本的错误变量（EIV）模型，其将需要对常规的总体最小平方解决方案（TLSS）进行精细修改。

在该贡献中，提出了一种多元（但非结构化）的EIV模型，该模型使用非线性欧拉—拉格朗日条件开发了一种算法。该算法用于估计仿射变换的TLSS。其他类型的线性变换（例如相似性变换等）可能需要附加约束。

0.介绍

在对于一组点来说，它们的坐标可用作关于两个不同参考帧的估计的情况下，经验变换公式可以通过一些调整方法来估计相应的变换参数。事实上，在仿射/线性情况下，当将两组坐标估计视为随机时，所得到的模型将是“变量中的错误”（EIV）具有结构化系数矩阵，其包含所有坐标估计两次以及大量零条目。在这种情况下，标准总体最小平方解决方案（TLSS）不会提供正确的结果;不过，它偶尔会被错误地应用;例如，Shum等人（2006年，本卷）。

在这里，我们可以通过将潜在关系改为多元EIV模型来避免这种缺陷，在这个贡献中将为其开发多元TLSS算法。为了简单起见，我们事先将两组坐标估计置于中间，以便不再需要确定偏移参数。一个简单的例子将显示性能的差异，并将使我们得出一些初步结论。

  1. 建立一个经验二维仿射坐标变换

对于任意点Pi（1≦i≦n），我们用（xi1，xi2）表示它的（估计的）源坐标和用（yi1，yi2）表示它的（估计的）变换后的坐标，从而将我们限制在二维（二维）情况。 仿射变换现在可以通过引入

其中E表示“期望”运算符，s1和s2表示两个轴上的比例因子，beta;和（beta; ε）两个轴的两个旋转角度，t1和t2表示原点的偏移。

在这里，我们假定两组估计坐标已经居中，所以在这个阶段不需要估计偏移参数xi;31 = t1和xi;32 = t2。一旦发现向量xi;：= [xi;11，xi;21，xi;12，xi;22]T中的这些其他四个参数的估计值，它们的几何等价值来自于

（1.2）

由于这些是非线性关系，我们不能马上推断出估计的xi;jk的任何最优性质都可以转化为最优估计beta;,ε,s1或s2。

这一事实的后果将分开进行调查。

注意，可以通过简单地引入两个线性约束来获得相似变换的参数

（1.3）

这可以根据Schaffrin和Felus（2005）和Schaffrin（2006）完成。

我们参考Felus和Schaffrin（2005）提供了一种替代方法，基于一个Cadzow（1988）

的想法。

通过引入2times;2参数矩阵

（1.4）

和大小为ntimes;2的数据矩阵，即：

（1.5a）

和

（1.5b）

模型（1.1a-b）的居中版本现在可以读取

（1.6）

或者在分别定义了随机误差矩阵EX和EY之后，

（1.7a）

可以为EX和EY的矢量化形式定义随机特性

（1.7b）

其中“vec”操作符将前一个矩阵下面的一列矩阵从左到右进行叠加，otimes;表示矩阵的克罗内克积乘积，由

（1.8）

一般而言，Sigma;0将是（未知的）方差和协方差分量的对称2times;2矩阵，这里简单地通过下式来定义：

（1.9）

所以sigma;仍然是唯一未知的方差分量。 显然，式子（1.7a-b）构成了一个特殊的多变量EIV模型，它通过式（1.9）进一步专门化。

  1. 多元EIV模型的总最小二乘解（只有一个方差分量）

与式（1.9）结合的模型式（1.7a-b）的总最小二乘解（TLSS）由目标函数

相应的拉格朗日目标函数现在很容易获得

导致（非线性）欧拉 - 拉格朗日必要条件

这些可以部分解决如下： 从式（2.3b）开始：

（2.4a）

和从式（2.3a）

然后从式（2.3d）连同式（2.4a-b）：

我们从中进一步获得：

（2.5b）

和：

（2.5c）

最后，从（2.3c）我们得到：

（2.5d）

或者可选地，

（2.6）

这显然代表了可以迭代求解的非线性方程组。

  1. 一种多元TLSS的算法

建立非线性正规方程组式（2.6）后，我们可以从下列初始值开始：

其中（3.1b）显然代表标准的LEAS-STS解决方案（LESS），其次是：

并迭代，直到收敛达到：

对于一些矩阵范数和一个给定的阈值delta;0。

在汇合点，我们显然应该有这种关系

在忽略X和N的随机性的一阶近似下得到：

为了正确应用，我们需要一个经验值sigma;20，它可以与通过以下方式计算得到的最佳平方残差总和成比例：

（3.6）

以冗余度（2n-4）作为比例因子，方差分量的估计值可以由下式给出：

（3.7）

可能会或可能不会（至少，很弱）无偏见。 这个不平凡的问题的答案必须在其他地方提出。

  1. 一个简单的例子

让我们考虑下面的情况，其中由两个不同系统中的四个角点定义的平台由估计的坐标给出。 对中后，坐标列表见表1。

表1：平台四个角点的两组中心二维坐标估计值。

将式（2.6a）的TLSS的迭代解与（3.1b）中的标准LESS进行比较，假设同方差性和估计的

变换参数总结在表2中

表2：使用标准最小二乘法的总最小二乘解的比较中心坐标估计的四个仿射变换参数的解。

另外，TLSS产生一个估计矩阵：

（4.1）

从式（2.6），其迹线代表（3.6）后的所有平方残差之和，即：

（4.2a）

相比之下，标准LESS仅导致Y坐标的平方残差总和，即：

（4.2b）

结果几乎是九倍。 使用2n-4 = 4的冗余度作为除数，表3中比较了各方差分量估计值。

表3：总体最小二乘估计方差分量与标准最小二乘解的比较。

最后，让我们比较TLSS和标准LESS的估计转换参数的辅因子矩阵。在TLSS的情况下，从式（3.5）中取一阶近似并得出：

而对于标准LESS，我们很容易到达：

这并没有显示TLSS与标准LESS相比有更好的表现。 事实上，这可能是由于上述估计的方差分量急剧减少引起的。 由于空间限制，我们没有给出EX,EY和（eY）LESS的全部结果（但是，这确实值得进一步分析。

  1. 结论与展望

在对经验仿射变换参数的贡献中，我们提出了基于拉格朗日理论的总体最小二乘解（TLSS）的多变量版本，从而避免了结构化EIV模型的麻烦问题。 开发的算法通常只需要相对较少的迭代，直到收敛（本例中大约有七次迭代），但加速版本将来肯定会被调查。

已经提出了一个简单的例子，其清楚地显示了TLSS优于标准最小平方解（LESS）的优越性。 如果事实证明，在更现实的情况下，全国范围内的网络也将很快通过韩国代表的数据集进行调查; 有关更多细节，请参阅J. Kwon，I.P.即将发表的研究。 Lee和B. Schaffrin（2007）。

致谢

在第一作者访问奥地利格拉茨技术大学导航和卫星大地测量学研究所时，Bernhard Hofmann-Wellenhof教授作为他的主持人，这一贡献已经完成。 这是非常感谢。 第二作者在国家地理空间情报局的研究期间得到了支持，合同号为HM1582-04-1-2026。

参考文献

[1] Cadzow, J. A. (1988). Signal enhancement - A composite property mapping algorithm. IEEE Transactions on Acoustic

剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

资料编号：[24998]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word

原文和译文剩余内容已隐藏，您需要先支付 30元 才能查看原文和译文全部内容！立即支付

以上是毕业论文外文翻译，课题毕业论文、任务书、文献综述、开题报告、程序设计、图纸设计等资料可联系客服协助查找。

您可能感兴趣的文章