代数思维在低年级的发展：
国际比较研究的一些见解
部分问题：代数和代数思维的本质：内容观点
bull;我们能从国际代数课程的重点和设计的方案的研究中学到什么 ？
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代数思维在低年级的发展：
国际比较研究的一些见解
在美国，为达到“代数就是一切”的目标，
学生在小学和中学， 应该有更多的和以后的正式学习代数相关的经验
已被广泛接受。然而，课程开发，教育研究人员和政策制定者才刚刚开始探索各种小学和初中学生需要让他们做好准备的数学经验。 在其他国家（如中国，俄罗斯，新加坡和韩国），学生们开始代数要早得多。 本章的目的是为了讨论我们可以从这些国际研究中学到什么。 我们认为国际观点会增加我们的知识和提高处理关于学生代数思维在美国小学发展的问题的能力。
特别是，在这篇文章中，我们分享了2个国际研究的见解。 第一个观点是
相关算术和代数之间的过渡，第二是有关通用性的具体表现和策略。 这两种见解是基于我们相信学生在低年级能够和被期待代数地思考问题。
但是，我们的老师需要支持学生的代数思维的发展在初级阶段，以此来帮助他们做出算术和代数之间的平滑过渡，并作为一种方法来合适的有效
的解决各种问题。
我们应该期待在小学年级学生思考代数
我们认识到，我们是否应该期待小学生去代数地思考不是一个问题。 基于最近的研究中，有一些明显的和被广泛接受的理由去支持这个设想。尽管如此，我们提出这样的问题是为了提供一个在低年级发展代数思想不太明显的原因，即如果我们能够消除误以为算术和代数是不相交的对象那么代数思想遇到的阻力会减少。 传统上，大多数学校的数学课程会分开算术和代数运算-小学数学和代数初中和高中的首要重点数学。 越来越多的共识，但是，这种区分使得学生更难去学习更高级的代数。
我们也认识到，当前，在低年级发展代数思维的需求并不像算术，历史，或写作一样。 即使是那些已经学完代数课程，并已经做得很好的人在生活中也没有使用它。 因此，许多初中，高中学生不主动地学习代数。 虽然人们可以做出有利于在中学阶段学习代数的滔滔雄辩，我们认为，小学思维代数习惯能够更有效地帮助解决学生学习更高级代数的阻力。 如果学生和教师常规地度过了前六年小学，同时培养算术和代数思维（用在学习的不同阶段，不同的侧重点），算术和代数会来被看作是不可分割地互相连接。 我们相信，一个重要成果将是代数在中学学习将成为一种自然的和无威胁小学数学课程的延伸。
但是，我们并没有声称在低年级开发代数思维的方法是简单地把传统的中学代数课程推入小学数学课程。 相反，在低年级发展的代数想法要求从根本上改进什么样的算术应该被教授，以及培养学生更好的理解那些使从算术转换到代数变得困难的各种因素。
什么是低年级代数思维？ 在这篇文章中，我们不打算来定义它。不过，我们认为，低年级代数思维的发展应超出算术和运算流畅来致力于更深层次结构的数学。 低年级代数思维的开发，需要特殊的思考方式，包括分析关系的发展，注意结构，研究变化，概括，解决问题的，建模，
证明，和预测。
培养算术和代数之间的互相联系
很多学生从算术到代数的过渡是困难的，甚至那些很精通算术的人，因为它需要他们做出许多深奥的调整。例如，基兰认为成功的从算术过渡到代数需要以下调整：（1）着重于关系，而不是仅仅在数字答案的计算; （2）着重于运算，以及它们的逆运算，以及做和不做的关系; （3）一个算术和代数都有的重点是提出问题和解决问题而不是仅仅解决问题; （4）两个注重数字和字母，而不是只有数字，（5）等号意义的重新定位。 这五个调整肯定会包括
算术的范围。 然而，他们也代表向基础代数的研究的转换。
三大理念，从中国和新加坡课程在其他国家的分析表明，制造互连算术和代数间的互相连接是在这些课程的共同目标。 在剩余部分，我们将介绍来自中国和新加坡的课程，来帮助学生做调整来应对低年级的代数思维发展
第一个想法是与反向运算方程求解。 在中国小学，在一年级同时引入加减，并且减法操作被作为加的逆运算。学生被引导思考以下问题：“1 （）= 3”为了找到（）的数字，减法则被介绍：3 - 1 = 2。在整个一年级，学生们持续地被要求解决类似的问题。 例如，它们被要求找到（）中的数字，使得
7 （）= 13，在二年级，乘法和除法与整数将会被介绍。 除法被第一次介绍是通过等分。除法还被介绍成了乘法的逆运算：“什么乘以2 = 8”也就是说，
“如果（）times;2 = 8，（）中是什么数？” 方程式和方程求解同时引入减法和除法。 类似的方法在新加坡和韩国的课程也有体现。
第二个想法是在新加坡的课程中的图案方程求解。 它常见的是最初使用的图片模型问题的情况和以后的更换更抽象的矩形。 下面的图1显示了从新加坡 小学数学第3版5年级选取的例题。 萨米的矩形或单位是所有问题中出现的关系的创始者。 Raju的矩形来自于萨米的矩阵，拉朱的份额由单位相同萨米的加另一个矩形代表代表100多美元的关系部分。 在型图中，图案方程
代表问题的形成，如果字母 x取代萨米的单位，然后将代数方程 x X $ 100 =410美元。该该模型的整个结构可以被描述为一个图案方程。
第三想法是使用算术和代数的方法来解决问题。 此想法可以在中国的教室中清楚地看见，其中以多种方式解决的一个问题是常见的做法。 例如，老师会提出了两种算术和3种代数的方式来解决以下问题：
黎明小学有一笔资金去购买12篮球， 每个的成本24元。 购买篮球前，学校花费了资金144元买了一些足球。 剩下的资金可以买多少个篮球 ？
方案3和4对应的解决方案1，方案5对应解决方案2。
方案1：通过计算初始资金，并减去开始的钱用在
足球：（24times;12 - 144）divide;24 = 144divide;24 = 6篮球。
解决方案2：通过计算，可以不再购买篮球的数目开始：
12 - （144divide;24）= 6篮球。
解决方法3：假设学校仍可以买到 X篮球：（24times;12 - 144）= 24times;。
因此，X = 6篮球。
解决方案4：假设学校仍可以买到 X篮球：24times;12 = 24times; 144。
因此，X = 6篮球。
解决方案5：假设学校仍可以买到 X篮球。 12 =（144divide;24） X。
因此，X = 6篮球。
有三个东西，教学生同时解决算术和代数的问题：（1）帮助学生个深入的了解定量关系; （2）引导学生去发现相似性和算术和代数方法之间的差异，这样他们就可以做出从算术到代数思维平稳过渡; 并且，（3）培养学生的思维技能以及灵活地使用适当的方法来解决问题。Post，Behr 和Lesh（1988）指出：“先描述然后再计算”。 它的主要特点之一是使代数从算术中区分出来。 通过算术和代数之间的比较可以突出这个独特的特点。
中国的课程，我们同时对算术和代数进行分析，来帮助学生平稳过渡，从算术到代数的思考。 在这个期间，中国学生解决了许多问题，就像在本节中给出那个例子。 学生们被要求用代数的思维去解决问题，即使所有的问题都可以用算术解决。 可以预料，这是常见的，在开始时为学生不明白为什么他们需要学习方程去解决问题。 然而，经过一段时间的使用这两种方法后，学生就会发现使用方程来解决这些类型的问题的优点。
关于基兰的五大调整。
在本节中提出的三大理念可以被纳入美国的课程，以帮助学生根据基兰提出的5个调整进行4个调整。 第一个想法，纳入中国逆运算方法来接触减法和除法，可以帮助学生进行两点基兰的调整：（1）着重于关系，而不是仅仅在数字答案的计算; （2）着重于运算，以及它们的逆运算，以及做和不做的关系。 第二个想法，纳入新加坡采用图案方程的解决方法，显然可以帮助学生（3）同时着重于提出问题和解决问题，而并不仅仅是解决问题，就像基兰建议的那样。
第三个想法，结合使用算术和代数的方法的中国实践来解决问题，它可以帮助学生（4）注重数字和字母，而不是只有单独的数字。
我们没有分析的亚洲课程来处理基兰的最后的调整：（5）等号意义的重新定位。 在美国，卡彭特等人分析了很多关于平等的误解。举例来说，很多孩子认为等号意味着他们应该为计算问题写下一个答案。 对此，近期美国的一些课程已经开始吸收那些聚集学生注意力的活动。 例如，重新修订的 Investigations in Number，Data，and Space curriculum是拓展其方式去建立数据和运算的背景在内的代数基础，其中包括相等关系的理解。 通过这种说明方式，在修改后的版本，3年级的学生将讨论减法表达式的等价，如等式104- 78 = 106 - 80。另外，在修订版，5年级的学生将证明方程的正确性像65times;24 = 130times;12，其中一个变量被减半，而另一个是增加了一倍。
具体的陈述和概括
正式的代数表示，代数思维的重要特征之一是涉及到概括和象征意义。一个字母符号可以使用不仅能作为一个占位符来表示一个未知数（如3times; 5 = 8），也可作为一个数值范围的概括代表（例如，S = 2 T 3）。 国际研究发现，美国的六年级学生倾向于使用具体的解决问题策略，而中国学生倾向于使用广义的解决问题策略，包括字母符号的数值范围。
奇数模式问题。
为了说明这一点，当被要求学生解决奇数模式问题（见图2），有相当多的美国学生使用的具体策略，而许多中国学生用抽象的，概括的策略。 用具体的策略的许多美国学生注意到，每次门铃响了进来的客人比上一次响铃进来的客人多2个，然后他们实际地画出一个表格或列表。那些使用通用的策略的中国学生发现响铃后进入的客人数量是上一次进入人数的2倍减一（即Y = 2 N - 1，其中y表示客人的数量和n表示响铃数）。 其他人注意到响铃时进入的人数是铃声次数加铃声次数减一即，Y = N （N - 1））。
莎莉是有一个聚会。
第一次门铃响起，1位客人进入。
第二次门铃响起，3位客人进入。
第三次门铃响起，5名客人进入。
第四次门铃响起，7名客人进入。
客人抵达保持以同样的方式。 下一组人比上一组多2个。
A.
第10次门铃响有多少客人将进入？
解释或者展示你如何找到你的答案。
B.
写一个规则或用文字描述了如何找到每次响铃时进入的客人数。
C.
响铃时99个宾客进入。 这是第几声铃声？ 解释或者展示你如何找到
您的答案。
图2：奇数模式问题
美国和中国学生有几乎相同的成功率（70％），当他们要求找到第10次响铃时进入的客人数量。 然而，中国学生的成功率（43％）比美国学生的成功率（24％）要高，当他们被要求更高找到第几声铃响起时会有99位客人将进入chi;2（1，N = 253）= 10.23，P lt;0.01）。这似乎是因为，中国学生比美国学生更多的用抽象的策略，来回答这个问题。 事实上，65％的中国学生选择一个合适的策略为了解决问题3中使用的抽象的策略，相比之下美国仅11％。 相反，在美国学生的大部分（75％）选择了具体的策略，相比之下中国的只有29％。 抽象策略（如求解 N：99 = 2 N - 1）比具体策略更有效率
（例如，反复增加2直到99将会列出一份夸张的表格或列表）来回答第三个问题，其中涉及不做（如，寻找环数时，进入客人数是已知的）。
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做一个列表是一个可行的战略（虽然繁琐）为了知道第几环时有99位客人进入，但具体策略的实行将会造成一些问题，它会限制学生的数学推理能力的发展。 因此，教师要帮助学生开发出超越“具体化”的战略。也就是说，虽然最初的学生，应鼓励建立自己的数学概念，规则和关系，但是他们最终应该多采用复杂的策略。 例如，教师可以先从具体操作来鼓励学生发展自己的战略，解决问题，培养数学感。 不过，在那之后，教师应逐步鼓励学生开发更多高效的和广义的解决方案策略。
为什么美国学生都倾向于使用具体的策略
从跨国研究的结果表明只使用具体的策略来培养学生的代数思维和实质内容的效率很低。为什么美国学生比中国学生更不太可能使用广义的，抽象的问题解决策略？ 一种可能性是，美国老师不经常鼓励自己的学生在低年级阶段。 很多美国老师持有一个共同的信念是，图形表示和实际的设施有利于学生对概念的理解。 其结果是，许多美国的老师可能会认为，具体表现和操作是一切的基础学习。 然而，研究表明，在使用具体的操作和经验的不
保证学生理解概念。 应用具体的视觉表现的目的是调解数学抽象本性的理解，但具体的经验不会自动生成概括和概念的理解。 不幸的是，美国老师的课是在观察跨国研究中取得的，很少或几乎没有试图帮助学生从具体的策略，转换成抽象的策略。
虽然以上可以解释为什么美国学生倾向于用具体的策略，而不是广义的策略来解决问题，但是它并不能解释为什么比起中国的教师，美国的 教师较少鼓励学生利用通用的策略。 有些答案可能在于美国和中国教师的期望之间会有差异。 事实上，一项研究显示，美国老师不希望他们的6年级学生使用广义策略解决问题，而中国教师期望他们6年级学生使用广义的策略来解决问题。 中国的广义问题解决策略在他们的课程中占很大一块，部分原因是中国的教师希望他们6年级学生能抽象得看待问题，部分是因为他们领会学生在算术到代数的过渡中遇到
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