本科毕业设计（论文）
外文翻译
怎样解题
作者：G·波利亚
国籍：美国
出处：G波利亚.书名［M］.上海：上海科技教育出版社，2011.
中文译文：
第二部分 怎样解题
一段对话
熟悉题目
我应该从哪里开始呢？从题目的叙述开始。
我能做什么？尽可能清晰、生动地使整个题目形象化。暂时不要理会细节。
这样做我能获得什么呢？你应该理解题目、熟悉题目，将目标印入脑海。对题目投入注意力，可能也会激发你的记忆，同时为重新回忆起相关的一些问题作好准备。
深入理解题目
我应该从哪里开始呢？仍然从题目的叙述开始。当你对题目的叙述已经很清楚，并在脑海里留下深刻的印象，以至于即使你有一会儿不去看它也不会担心把它全部忘掉时，就可以开始了。
我能做什么？将题目的主要部分分离出来。前提和结论是一个“证明题”的主要部分；未知量、已知量和条件是一个“求解题”的主要部分。仔细阅读题目的各个主要部分，一个接一个地依次对它们进行考虑，将它们以不同的方式组合起来加以考虑，把每一个细节同其他一些细节以及每一个问题同整个题目联系起来。
这样做我能得到什么呢？你应该准备好并弄清楚那些以后很可能会起作用的细节。
寻求有用的思路
我应该从哪里开始？从考虑题目的主要部分开始。由于你前面所做的工作，当题目的那些主要部分已经清楚地整理好，而且也想明白了，而且你的记忆也活跃起来时，你就可以开始了。
我能做什么？你要从不同的方面来考虑题目，并且寻找与你过去所获知识之间的联系。
从不同的方面来考虑题目。强调不同的部分，考察不同的细节，从不同的途径反复考察同一细节，以不同的方式组合这些细节，从不同的角度来处理它们。尝试在每一个细节中发现新的意义，在整体中发现新的解释。
寻找与你过去所获知识之间的联系。试着想想过去在类似情况下的时候是什么帮助了你。试着在你考察的过程中认出一些你熟悉的东西，试着在你认清的东西中发现一些有用的东西。
我能想到什么？一个有用的念头，也许是一个决定性的念头，它能在一瞥之间就为你指出通向最终目的的途径。
怎样才是一个有用的念头？它为你指示整个或部分的途径，它或多或少清晰地建议你该如何继续。念头多少是完整的。只要你有任何一个念头，就很幸运了。
如何处理一个不完整的念头？你应该考虑它。如果它看上去很有利，你就应该考虑得更久一些；如果它看上去很可靠，你就应该弄清楚它能引导你到多远，并重新考虑整个情况。由于这个有用的念头，整个情况已经发生了变化。从不同的方面来重新考虑新的情况，并寻找与你过去所获知识之间的联系。
再次这样做，我又能得到什么呢？你也许会很幸运，产生另外一个念头。也许你的另外一个念头会引导你马上获得解答。也可能在这个念头以后，你还需要更多有用的念头。有些念头也有可能会把你引人歧途。不管怎么说，你还是应该感谢所有这些新念头，不管是次要的、模糊的，还是对模糊的念头增加一些精确性或尝试纠正的补充念头。甚至如果你一时之间还想不出明显有些新意的念头，只要你对题目的概念有一个更完整更有条理、更和谐或更平衡的看法，你就应该对此表示感激了。
执行方案
我应该从哪里开始？从引导你获得解答的那个幸运的念头开始。当你已肯定地掌握了主要联系，并自信你能补充一些可能需要的次要细节时，你就可以开始了。
我能做什么？使你掌握的东西十分牢固。尽可能详细进行你想起的以前可行的所有代数或几何运算。以形式推理或直观的洞察，或者可能的话，同时采用这两种方式来确定每一步的正确性。如果你的题目十分复杂，你可以区分出“大”的步骤和“小”的步骤，而每一个大的步骤中又包含好几个小步骤，先检查大步骤，再依次深入到一些小的步骤中去。
这样做我能得到什么呢？一个对解答的展开，其中每一步无疑都是正确的。
回顾
我应该从哪里开始？从你的解答开始，它的每一个细节都应该是完整而正确的。
我能做什么？从不同的方面考虑你的解答，并寻找与你过去所获知识之间的联系。
考虑解答的各个细节，并尽可能使它们显得简单；考察解答中那些比较冗长的部分并尽可能使它们简短些；试着一眼就能看出整个解答。对你的解答中或大或小的各部分进行改进，尝试改进你的整个解答，使它直观，并且尽可能自然地把它纳人你过去所获的知识之中。仔细检查引导你获得解答的方法，注意找出它的要点，并在其他题目中尝试应用它。仔细检查你的结论，并尝试应用于别的题目。
这样做我能得到什么呢？你也许能找到一个更好的新解答，找出新的有趣的事实。无论如何，如果你养成了以这种方式回顾和仔细检查你的解答的习惯，你将会获得一些条理分明、随时可以使用的知识，并且将会提高你的解题能力。
第三部分 探索法小词典
类 比
类比是一种相似性。相似的物体在某些方面彼此一致 ，而类似的物体则在它们相应部分的特定关系上相一致。
1.一个长方形和一个长方体具有类似性。事实上，长方形各边之间的关系同长方体各面之间的关系类似：
长方形的每一条边只与另外一条边平行，而垂直于其他边。长方体的每一个面只与另外一个面平行 ，而垂直于其他面。
让我们约定把边称为长方形的“边界元素”，把面称为长方体的“边界元素”。那么，我们就可以将前面的两项表述简写为一条对两种图形都适用的叙述：
每一个边界元素只与另一边界元素平行，而垂直于其他的边界元素。这样，我们就把进行比较的矩形的边和长方体的面这两个对象所共同具有的某些特定关系表述出来了。这些体系的类比就存在于这种关系的共性之中。
2.类比渗透于我们所有的思想、我们每天讲的话和我们作出的琐碎的结论乃至艺术的表达方法和最高的科学成就。类比在各种不同的层次上得到应用。人们常常使用含糊的、模棱两可的、不完整的或不完全清楚的类比，但是类比可以达到数学精度的水平。各种类型的类比都能在发现解答的活动中起到一定的作用，因此，我们不应忽视其中的任何一种。
3.在尝试去解一道题目时，如果我们能成功地想到一道更为简单的类比题目，那么可以说我们是幸运的。在第一部分第15节中，我们原来的题目是关于一个长方体的对角线的，而考虑到的更为简单的类比题目则是关于一个矩形的对角线的，这引导我们获得了原题的解答。我们再来讨论这样的一个例子。求解下面这道题目:
找出一个均匀四面体的重心。
在不懂积分知识，且对物理学不甚了解的情况下，这道题目确实不简单。在阿基米德时代或者伽利略时代，这是一个重大的科学问题。因此，如果我们想尽可能只用很少的初等知识就解决它，我们就必须尽力寻找一个更为简单的类比题目。在这里很自然会想到平面几何中的一道相应的题目：
找出一个均匀三角形的重心。
现在我们就有了两个题目而不只是一个，但是两个题目也许比只有一个题目要容易解答——假如能把这两个题目巧妙地联系起来的话。
4.先暂时把我们原来那个关于四面体的题目搁在一边，而把注意力集中在那个和三角形有关的更为简单的类比题目上。为了解这个题目，我们必须先具备一些有关重心的知识。下面这一原理听来似乎很可信，把它提出来也很自然：
假如一个物质系統包括几个部分，而每一部分的重心都在同一平面上，则整个系统S的重心也必在此平面上。
这个原理给出了我们在三角形这个例子中所需要的所有东西。首先，它说明三角形的重心必在此三角形所在的平面上；其次，我们可以把这个三角形看作由
细条(薄片，“无限窄的”平行四边形)组成，这些细条都平行于三角形的某一边
(图7中的边AB)。很明显，每一个细条的重心都是其中点，而且所有这些中点都在三角形顶点C到AB边中点M的连线上(见图7)。
任何一个通过三角形中线CM的平面都包含了所有这些组成此三角形的平行细条的重心，由此引导我们作出结论：整个三角形的重心也必在此中线上。不过它也必定在三角形的另两条中线上，它必定就是这三条中线共同的交点。
现在值得一做的是，用纯几何的方法而不依赖于任何力学上的假设来证明，三角形的三条中线交于一点。
5.在解决了三角形的问题以后，四面体的问题也就相当简单了。现在我们已经解决了一道和我们要解的题目类似的题目，并且在解了这道题目以后，我们就有了一个可遵循的范例。
在现在我们作为范例的那道类比题目的求解中，我们把三角形ABC想象成是由平行于三角形一边AB的细条组成的。现在，我们把四面体ABCD也想象成是由平行于四面体一边 AB的细条组成的。
组成三角形的所有细条的中心点都在一直线上，即此三角形的联结AB中点M和对顶点C的那条中线。组成四面体的所有细条中心点则都在一平面上，即由四面体一边AB中点M和其对边CD所组成的平面(见图8)，我们可以把这个平面MCD称作四面体的中面。
在三角形的例子中，我们有MC等三条中线，其中每一条中线都包含了三角形的重心。因此，这三条中线必交于一点，这一点必然就是三角形的重心。在四面体的例子中，我们有MCD等六个中面，即将某一边的中点和其对边联结起来获得的平面，其中每个中面都包含了四面体的重心。因此，这六个中面必交于一点，它就是四面体的重心。
6.这样，我们就解决了均匀四面体重心的题目。为了使我们的解答完整，现在用纯几何的方法而不依赖于力学上的考虑来证明这六个中面通过同一点是值得一做的。
在解决了均匀三角形重心的题目以后，我们发现为了使解答完整，需要证明三角形三条中线通过同一点。这个题目和前面的题目类似，但显然要简单一些。
在解四面体的这一题目中，我们可以再次应用关于三角形的那个更为简单的类比题目(假设这个题目已经解决了)。实际上，考虑通过从顶点D出发的DA、DB、DC三边的三个中面，每个中面都通过对边的中点(如过DC的中面通过点M，见图8)。现在，这三个中面和△ABC所在的平面分别交于此三角形的三条中线，这三条中线交于同一点(这是那道更为简单的类比题目的结论)，而这一点同D点一样，是三个中面的公共点。联结这两个公共点的直线即这三个中面的公共线。
附：外文原文（原文可直接复印附后）
PART II, HOW TO SOLVE IT
A DIALOGUE
Getting Acquainted
Where should I start? Start from the statement of the problem.
What can I do? Visualize the problem as a whole as clearly and as vividly as you can. Do not concern yourself with details for the moment.
What can I gain by doing so? You should understand the problem, familiarize yourself with it, impress its purpose on your mind. The attention bestowed on the problem may also stimulate your memory and prepare for the recollection of relevant points.
Working for Better Understanding
Where should I start? Start again from the statement of the problem. Start when this statement is so clear to you and so well impressed on your mind that you may lose sight of it for a while without fear of losing it altogether.
What can I do? Isolate the principal parts of your problem. The hypothesis and the conclusion are the principal parts of a 'problem to prove'; the unknown, the data, and the conditions are the principal parts of a 'problem to fin
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本科毕业设计（论文）
外文翻译
怎样解题
作者：G·波利亚
国籍：美国
出处：G波利亚.书名［M］.上海：上海科技教育出版社，2011.
中文译文：
第二部分 怎样解题
一段对话
熟悉题目
我应该从哪里开始呢？从题目的叙述开始。
我能做什么？尽可能清晰、生动地使整个题目形象化。暂时不要理会细节。
这样做我能获得什么呢？你应该理解题目、熟悉题目，将目标印入脑海。对题目投入注意力，可能也会激发你的记忆，同时为重新回忆起相关的一些问题作好准备。
深入理解题目
我应该从哪里开始呢？仍然从题目的叙述开始。当你对题目的叙述已经很清楚，并在脑海里留下深刻的印象，以至于即使你有一会儿不去看它也不会担心把它全部忘掉时，就可以开始了。
我能做什么？将题目的主要部分分离出来。前提和结论是一个“证明题”的主要部分；未知量、已知量和条件是一个“求解题”的主要部分。仔细阅读题目的各个主要部分，一个接一个地依次对它们进行考虑，将它们以不同的方式组合起来加以考虑，把每一个细节同其他一些细节以及每一个问题同整个题目联系起来。
这样做我能得到什么呢？你应该准备好并弄清楚那些以后很可能会起作用的细节。
寻求有用的思路
我应该从哪里开始？从考虑题目的主要部分开始。由于你前面所做的工作，当题目的那些主要部分已经清楚地整理好，而且也想明白了，而且你的记忆也活跃起来时，你就可以开始了。
我能做什么？你要从不同的方面来考虑题目，并且寻找与你过去所获知识之间的联系。
从不同的方面来考虑题目。强调不同的部分，考察不同的细节，从不同的途径反复考察同一细节，以不同的方式组合这些细节，从不同的角度来处理它们。尝试在每一个细节中发现新的意义，在整体中发现新的解释。
寻找与你过去所获知识之间的联系。试着想想过去在类似情况下的时候是什么帮助了你。试着在你考察的过程中认出一些你熟悉的东西，试着在你认清的东西中发现一些有用的东西。
我能想到什么？一个有用的念头，也许是一个决定性的念头，它能在一瞥之间就为你指出通向最终目的的途径。
怎样才是一个有用的念头？它为你指示整个或部分的途径，它或多或少清晰地建议你该如何继续。念头多少是完整的。只要你有任何一个念头，就很幸运了。
如何处理一个不完整的念头？你应该考虑它。如果它看上去很有利，你就应该考虑得更久一些；如果它看上去很可靠，你就应该弄清楚它能引导你到多远，并重新考虑整个情况。由于这个有用的念头，整个情况已经发生了变化。从不同的方面来重新考虑新的情况，并寻找与你过去所获知识之间的联系。
再次这样做，我又能得到什么呢？你也许会很幸运，产生另外一个念头。也许你的另外一个念头会引导你马上获得解答。也可能在这个念头以后，你还需要更多有用的念头。有些念头也有可能会把你引人歧途。不管怎么说，你还是应该感谢所有这些新念头，不管是次要的、模糊的，还是对模糊的念头增加一些精确性或尝试纠正的补充念头。甚至如果你一时之间还想不出明显有些新意的念头，只要你对题目的概念有一个更完整更有条理、更和谐或更平衡的看法，你就应该对此表示感激了。
执行方案
我应该从哪里开始？从引导你获得解答的那个幸运的念头开始。当你已肯定地掌握了主要联系，并自信你能补充一些可能需要的次要细节时，你就可以开始了。
我能做什么？使你掌握的东西十分牢固。尽可能详细进行你想起的以前可行的所有代数或几何运算。以形式推理或直观的洞察，或者可能的话，同时采用这两种方式来确定每一步的正确性。如果你的题目十分复杂，你可以区分出“大”的步骤和“小”的步骤，而每一个大的步骤中又包含好几个小步骤，先检查大步骤，再依次深入到一些小的步骤中去。
这样做我能得到什么呢？一个对解答的展开，其中每一步无疑都是正确的。
回顾
我应该从哪里开始？从你的解答开始，它的每一个细节都应该是完整而正确的。
我能做什么？从不同的方面考虑你的解答，并寻找与你过去所获知识之间的联系。
考虑解答的各个细节，并尽可能使它们显得简单；考察解答中那些比较冗长的部分并尽可能使它们简短些；试着一眼就能看出整个解答。对你的解答中或大或小的各部分进行改进，尝试改进你的整个解答，使它直观，并且尽可能自然地把它纳人你过去所获的知识之中。仔细检查引导你获得解答的方法，注意找出它的要点，并在其他题目中尝试应用它。仔细检查你的结论，并尝试应用于别的题目。
这样做我能得到什么呢？你也许能找到一个更好的新解答，找出新的有趣的事实。无论如何，如果你养成了以这种方式回顾和仔细检查你的解答的习惯，你将会获得一些条理分明、随时可以使用的知识，并且将会提高你的解题能力。
第三部分 探索法小词典
类 比
类比是一种相似性。相似的物体在某些方面彼此一致 ，而类似的物体则在它们相应部分的特定关系上相一致。
1.一个长方形和一个长方体具有类似性。事实上，长方形各边之间的关系同长方体各面之间的关系类似：
长方形的每一条边只与另外一条边平行，而垂直于其他边。长方体的每一个面只与另外一个面平行 ，而垂直于其他面。
让我们约定把边称为长方形的“边界元素”，把面称为长方体的“边界元素”。那么，我们就可以将前面的两项表述简写为一条对两种图形都适用的叙述：
每一个边界元素只与另一边界元素平行，而垂直于其他的边界元素。这样，我们就把进行比较的矩形的边和长方体的面这两个对象所共同具有的某些特定关系表述出来了。这些体系的类比就存在于这种关系的共性之中。
2.类比渗透于我们所有的思想、我们每天讲的话和我们作出的琐碎的结论乃至艺术的表达方法和最高的科学成就。类比在各种不同的层次上得到应用。人们常常使用含糊的、模棱两可的、不完整的或不完全清楚的类比，但是类比可以达到数学精度的水平。各种类型的类比都能在发现解答的活动中起到一定的作用，因此，我们不应忽视其中的任何一种。
3.在尝试去解一道题目时，如果我们能成功地想到一道更为简单的类比题目，那么可以说我们是幸运的。在第一部分第15节中，我们原来的题目是关于一个长方体的对角线的，而考虑到的更为简单的类比题目则是关于一个矩形的对角线的，这引导我们获得了原题的解答。我们再来讨论这样的一个例子。求解下面这道题目:
找出一个均匀四面体的重心。
在不懂积分知识，且对物理学不甚了解的情况下，这道题目确实不简单。在阿基米德时代或者伽利略时代，这是一个重大的科学问题。因此，如果我们想尽可能只用很少的初等知识就解决它，我们就必须尽力寻找一个更为简单的类比题目。在这里很自然会想到平面几何中的一道相应的题目：
找出一个均匀三角形的重心。
现在我们就有了两个题目而不只是一个，但是两个题目也许比只有一个题目要容易解答——假如能把这两个题目巧妙地联系起来的话。
4.先暂时把我们原来那个关于四面体的题目搁在一边，而把注意力集中在那个和三角形有关的更为简单的类比题目上。为了解这个题目，我们必须先具备一些有关重心的知识。下面这一原理听来似乎很可信，把它提出来也很自然：
假如一个物质系統包括几个部分，而每一部分的重心都在同一平面上，则整个系统S的重心也必在此平面上。
这个原理给出了我们在三角形这个例子中所需要的所有东西。首先，它说明三角形的重心必在此三角形所在的平面上；其次，我们可以把这个三角形看作由
细条(薄片，“无限窄的”平行四边形)组成，这些细条都平行于三角形的某一边
(图7中的边AB)。很明显，每一个细条的重心都是其中点，而且所有这些中点都在三角形顶点C到AB边中点M的连线上(见图7)。
任何一个通过三角形中线CM的平面都包含了所有这些组成此三角形的平行细条的重心，由此引导我们作出结论：整个三角形的重心也必在此中线上。不过它也必定在三角形的另两条中线上，它必定就是这三条中线共同的交点。
现在值得一做的是，用纯几何的方法而不依赖于任何力学上的假设来证明，三角形的三条中线交于一点。
5.在解决了三角形的问题以后，四面体的问题也就相当简单了。现在我们已经解决了一道和我们要解的题目类似的题目，并且在解了这道题目以后，我们就有了一个可遵循的范例。
在现在我们作为范例的那道类比题目的求解中，我们把三角形ABC想象成是由平行于三角形一边AB的细条组成的。现在，我们把四面体ABCD也想象成是由平行于四面体一边 AB的细条组成的。
组成三角形的所有细条的中心点都在一直线上，即此三角形的联结AB中点M和对顶点C的那条中线。组成四面体的所有细条中心点则都在一平面上，即由四面体一边AB中点M和其对边CD所组成的平面(见图8)，我们可以把这个平面MCD称作四面体的中面。
在三角形的例子中，我们有MC等三条中线，其中每一条中线都包含了三角形的重心。因此，这三条中线必交于一点，这一点必然就是三角形的重心。在四面体的例子中，我们有MCD等六个中面，即将某一边的中点和其对边联结起来获得的平面，其中每个中面都包含了四面体的重心。因此，这六个中面必交于一点，它就是四面体的重心。
6.这样，我们就解决了均匀四面体重心的题目。为了使我们的解答完整，现在用纯几何的方法而不依赖于力学上的考虑来证明这六个中面通过同一点是值得一做的。
在解决了均匀三角形重心的题目以后，我们发现为了使解答完整，需要证明三角形三条中线通过同一点。这个题目和前面的题目类似，但显然要简单一些。
在解四面体的这一题目中，我们可以再次应用关于三角形的那个更为简单的类比题目(假设这个题目已经解决了)。实际上，考虑通过从顶点D出发的DA、DB、DC三边的三个中面，每个中面都通过对边的中点(如过DC的中面通过点M，见图8)。现在，这三个中面和△ABC所在的平面分别交于此三角形的三条中线，这三条中线交于同一点(这是那道更为简单的类比题目的结论)，而这一点同D点一样，是三个中面的公共点。联结这两个公共点的直线即这三个中面的公共线。
附：外文原文（原文可直接复印附后）
PART II, HOW TO SOLVE IT
A DIALOGUE
Getting Acquainted
Where should I start? Start from the statement of the problem.
What can I do? Visualize the problem as a whole as clearly and as vividly as you can. Do not concern yourself with details for the moment.
What can I gain by doing so? You should understand the problem, familiarize yourself with it, impress its purpose on your mind. The attention bestowed on the problem may also stimulate your memory and prepare for the recollection of relevant points.
Working for Better Understanding
Where should I start? Start again from the statement of the problem. Start when this statement is so clear to you and so well impressed on your mind that you may lose sight of it for a while without fear of losing it altogether.
What can I do? Isolate the principal parts of your problem. The hypothesis and the conclusion are the principal parts of a 'problem to prove'; the unknown, the data, and the conditions are the principal parts of a 'problem to fin
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