本科毕业设计（论文）
外文翻译
重构勾股定理
作者：Ian M. Adelstein amp; George L. Ashline
国籍：美国
出处：The College Mathematics Journal
中文译文：
根据伟大的德国天文学家和数学家约翰内斯·开普勒在他的宇宙学论文《哥白尼系统的神秘宇宙学》[5] 中所说，几何学有两大宝藏：“一个是毕达哥拉斯定理，另一个是把一条线分成平均值和极值比。我们可以把第一件比作黄金，把第二件比作贵重的宝石。”
图 1直角三角形
给出图1中的直角三角形，直角边长为a和b，斜边长为c，毕达哥拉斯黄金定理的现代公式是a2 b2 = c2。这个定理有许多不同的证明，正如网站Cut the Knot [2] 表述的那样，Bogolmony详细介绍了118个不同的定理来证明。在毕达哥拉斯的命题演算[7] 中，卢米斯提供了大约370种不同的证明。
在这篇文章中，我们探索了一种证明技术，该技术使用四个全等框架直角三角形（每个三角形如图1所示）来创建一个图表，说明定理的推导。并且有两种标准框架配置，即大框架模型（图2）和小框架模型（图3）。
在这一点上，我们鼓励您试着去尝试从这两个示例图中来导出毕达哥拉斯定理。且对于每一个，其中有一个无言的几何在重新排列四个框架三角形去证明这个结论。例如，首先要剪出四个全等的直角三角形，如图2或图3所示排列它们，提示：你可以用一把剪刀从一张纸上剪下四个这样的三角形，先把纸折叠两次，做成贺卡格式，但请不要使用这篇文章所印的那张纸！）接下来，重新排列三角形，直到关系a2 b2=c2变得明显。剧透警告：这些证明的细节在后面的章节中给出，所以如果你想自己尝试这些推导，请先暂停。
图 2大型框架图 图 3小型框架图
一、定理简史
这个定理虽然以毕达哥拉斯人的名字命名，但在这个定理中发现的“黄金宝藏”可以追溯到古希腊人之前，也就是毕达哥拉斯时代之前的几个世纪。许多历史学家认为，古代巴比伦人熟悉这一正确的正三角形关系。例如，从普林顿322片在公元前1800年特征四列和十五行不同的毕达哥拉斯三元数组此有关或整数a2 b2 = C2的解决方案。（对定理有不同的解释，但似乎每一行都包含一条边的长度和一个明显的直角三角形的斜边的关系。）大约在同一时间，耶鲁青年创业国际计划7289显示一个边长为30的正方形，其对角线长度用巴比伦人的六十进制数字精确估计为根号2。
公元前6世纪，毕达哥拉斯人研究并崇敬数字，相信他们进一步发展了这个定理。写在公元前300年左右，欧几里得的元素包含了应用他著名的风车图的定理的一个初步证明，如图4所示。在第一册第47号提案中，该图详细说明了如何将直角三角形ABC斜边上的正方形ABFE面积分解为正方形ACJK和BCIH的面积之和。
1、框架证明的历史。
本文开头介绍的框架证明具有有趣的历史联系。例如，“大小框架”组合图（图5）可追溯到公元前100年至公元前100年的中国古代周璧算经（或周髀算经）。《周髀算经》主要是一部天文学著作，将这一结果称为“高夫规则”。在毕达哥拉斯命题[7]的第253号证明中，展示了如何从可比较的图中验证毕达哥拉斯关系。
图 4欧几里得风车图 图 5大小型框架图 图 6梯形图
此外，12世纪的印度数学家Bhaskara 在他的著作L ılavatı （美丽的）中包括了一个与中国古代版本相似的图表，当推导出毕达哥拉斯定理时。虽然没有提供更正式的证据步骤，但从Bhaskara的图表与简短的陈述“看！”，可以看出因为证据的美在于观众的眼睛！
另一个值得注意的框架证明使用了大框架图的一半梯形布置（图6）。1876年，也就是他成为美国第二十任总统的五年前，俄亥俄州众议员詹姆斯·加菲尔德用一个类似于图6的图表来推导毕达哥拉斯定理。这一结果发表在《新英格兰教育杂志》上[4]。如前所述，我们邀请您尝试使用加菲尔德图进行推导。
2、追踪证据来源。
毕达哥拉斯定理在历史上被许多不同的学者以多种方式推导出来。应当强调的是，追溯各种证据的起源是一门非常不精确的科学。我们可能对不同的想法是如何发展的以及谁做出了贡献有一些大致的理解，但在某些情况下，很难或实际上不可能确切地找到给定证据的来源。
例如，如Lemmermeyer大学数学杂志Arti-cle[6]所述，一个令人愉快的、公认的证明，使用了全等六边形和直角三角形，这通常归因于文艺复兴时期的天才达芬奇。Lem-Mermeyer通过各种来源追溯了这一证明的起源，并提出了一个似是而非的假设，即该证明实际上是由德国数学家Johann Tobias Mayer在18世纪后期发现的。他提出了证据，这无疑增加了毕达哥拉斯定理推导的精彩集合，并且现在仍可以使用！
- 一些证明技术概述
勾股定理的许多推导可以根据其各种证明方法进行分类。本节简要概述了解剖和类似的三角形证明技术，然后提供了大框架和小框架证明的详细信息。为了总结本文，我们提供了两个新的实践框架证明，扩展了小框架推导。这些框架论点有许多可能的变化，我们鼓励您探索其他可能性！
- 解剖证明
勾股定理的一些丰富的证明使用了将斜边上的正方形分割成可组合成腿上两个正方形的区域的论据。欧几里得著名的风车图（见图4）就是这样一个例子。另一个有趣的解剖论点是由于19世纪的业余英国数学家亨利·佩里加尔使用了图7所示的图表。使用斜边正方形每侧中点的垂直线和水平线以及穿过与斜边平行和垂直的长腿正方形中心的线来解剖该图。尝试使用图中的各种对称性来验证该解剖参数是否成立。卡塞尔曼关于亨利·佩里加尔的文章和他的证明[3]中可以找到这一推导的细节。
- 类似的三角形证明
勾股定理的其他证明也使用相似的三角形。其中一个例子是图8中的图表，描绘了较大的直角三角形ABC，其高度CD将这个三角形分成两个较小的直角三角形。图8中的哪些三角形相似？利用相似三角形的性质，我们可以验证毕达哥拉斯关系是否成立。试着用你的手整理这个证据。在Bogolmony的网站[2]上提供了一个版本的派生证明定理6。
- 大小框校样
现在，我们提供了基于大框架和小框架配置的证明的详细信息。对于大型帧证明，我们取一个右三角形（如图1所示），并使用两组四个全等的三角形副本构造图9中的一对图，其中大帧在左侧，其重新配置在右侧。
图 7Perigal的剖析图 图 8高度为CD的直角三角形ABC
图 9勾股定理的大框架证明
使用等面积参数，这两个图提供了一个无言的事实证明a2 b2 = c2 。如果你更喜欢代数，用左边的框架，我们将框架的总面积(a b)2 与其五部分之和相等：四部分全等三角形，面积为1/2ab ，面积为c2的内正方形。然后我们可以得到：
(a b)2 = 4(1/2)ab c2, a2 2ab b2 = 2ab c2, a2 b2 =c2.
对于小框架证明，我们再次使用两组四个右三角形的全等副本构造图10中的一对图，小框架在左侧，其重新配置在右侧。
图 10勾股定理的小框架证明
使用等面积参数，这两个图提供了勾股儿身份的另一个无言证明。如果你再次喜欢代数，利用左边的框，我们把框的总面积c2等于它的五部分之和：四个同余
三角形，每个面积为1/2ab，内部面积为（b-a）2。然后我们有：
c2 =2ab (bminus;a)2 =2ab b2 minus;2ab a2 =b2 a2.
- 两个新框架
一旦提供了如此美丽和历史丰富的框架证据，自然会考虑是否可以找到其他框架论点。通过不同排列方式的实验，发现了以下重叠帧和忍者星帧结构。正如您将要注意的，这两种安排都很好地连接回原来的小框架方法。这些证明的细节在下面的小节中给出，所以如果您想尝试这些派生，现在暂停。
（一）、重叠帧
我们再次考虑图1中初始直角三角形的四个全等的红色副本，这次将它们安排在一个与四个三角形重叠的框架中（图11）。这种排列在其高度上切割每个原始的红色三角形，产生与原始三角形相似的三角形集合。其中一组相似的三角形（图11中的蓝色）处于其小框架配置中（如图3所示）。因此，蓝色三角形满足毕达哥拉斯的身份，并且，通过相似性，原始的红色三角形也满足。
我们现在为这个证明提供了额外的代数细节。如图11所示，表示红色三角形长度a、b、c和相应的蓝色三角形长度x、y、b。由于蓝色三角形构成一个小框架，因此我们使用一个与前面给出的相同的参数，将框架总面积b2与其五个部分之和相等：四个全等蓝色三角形，每个区域1/2xy，以及中间区域。或面积（y-x）2的平方。在代数之后，我们得出结论：
x2 y2 =b2.
通过红色和蓝色三角形相似，我们就有了：
a/x=b/y=c/b and a2/x2 =b2/y2 =c2/b2.
从这些等式中，我们可以得出以下结论：
c2=c2/b2*b2=c2(x2 y2)/b2=c2x2/b2 c2y2/b2=a2 b2
（二）、Ninja星框
我们再次重叠最初的四个全等红色直角三角形，这次形成一个ninja星框架（图12）。和以前一样，这种排列会在其高度上切割每个原始三角形，生成与理论三角形相似的三角形集合。这一次，绿色三角形是在它的小框架结构，我们得出结论，原来的红色三角形满足勾股定理。
图 11重叠 图 12Ninja星框架
我们现在为这个证明提供了额外的代数细节。如图12所示，表示红色三角形的长度a，b，c和相应的绿色三角形的长度x，y，a。绿色三角形构成一个小框架，我们使用与给定的参数相同的参数在此之前，将框架总面积a2与其五部分之和相等：四个全等的绿色三角形，每个面积为1/2xy，面积为（y-x）2的内正方形。在代数之后，我们又得出结论:
x2 y2 =a2.
因为红色和绿色的三角形是相似的，所以我们有：
a/x=b/y=c/a and a2/x2 =b2/y2 =c2/a2.
从这些等式中，我们可以得出以下结论：
c2=c2/b2,b2=c2(x2 y2)/b2=c2 x2/b2 c2 y2/b2=alt;
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