本科毕业设计（论文）
外文翻译
把教学提升到更高的层次：学生使用归纳推理
作者：Jaclyn M. Murawska，Alan Zollman
国籍：美国
出处：Mathematics Teaching in the Middle School,Vol.20,No.7(March 2015),pp.416-422.
中文译文：
一位中学生问我们：“为什么是这种模式hellip;70，80，90，100，之后是110，120，而不是hellip;70，80，90，100，200，300？”我们明白她的想法，但我们如何利用她的推理来加深她对数学的理解？我们发现用模式进行归纳推理是学习数学联系的一种很好的方法。但是对于学生来说,为了加深他们的理解并正确地使用他们的归纳推理，在这些数学模式任务中体验认知失调是很重要的，特别是对中学生来说。
一、归纳推理的重要性
尽管有关归纳推理的讨论可以追溯到几千年(Fitelson 2011)，在共同核心国家标准(CCSSI，2010)内实施数学实践标准(SMP)重新引起了人们对学生如何学习数学的关注。第三个SMP标准中，“构建可行的论据和批判他人的推理”（CCSSI2010，P.6），明确地要求数学熟练的学生能够进行归纳推理并且能判断所得结论的正确性。NCTM(2000，p.16)也强调中学生应“熟练运用归纳推理和演绎推理”。发展这些推理能力有助于促进学生对概念的理解，将概念知识和程序知识联系起来(Hiebert和Lefevre 1996；NCTM 2000)。因此，为了与国家标准接轨，促进概念理解，中学数学教育工作者应该为学生进行归纳推理活动提供充分的机会，这些归纳推理活动可以建立到演绎推理的基础上。
我们提出的一系列任务鼓励学生进行推理，并在现行数学教育标准的支持下，使用多重表征的问题解决方法。( CCSSI 2010年；NCTM，2000)。由于这些任务是以科学教育调查为基础的，这些任务也支持最近的STEM扫盲举措(Zallman，2012年)。
二、归纳推理与演绎推理的区别
归纳推理，也将其称为“经验归纳”，包括研究实例(细节)和辨别共性或模式（发现一般性）(Baroody，Reid，Purpura 2012 p.4)。假设你让你的学生找到任何两个奇数的之和的奇偶性。进行归纳推理的一个例子是，学生们从几个例子中观察到，结果总是偶数。学生就会确定任意两个奇数之和总是偶数。这里的归纳推理不应该与数学证明相混淆，数学证明是通过一个无限迭代过程来证明一个命题。
演绎推理是指“从假定为真(一般性或一般性)的前提或前提进行推理，以便在逻辑上得出关于特定情况的结论”(Baroody，Reid，Purpura 2012 p.4)中学数学课堂中的一个常见的应用是教师提出一个规律或概括，比如圆的面积公式，然后学生们用这个公式来找出有圆形部分的各种物品的面积。
三、问题和一种可能的解决方案：连续探究
对我们的一些中学生来说，通过归纳推理来概括是不可能的。为什么？根据认知负荷理论(Kirschner，Swell，Clark，2006)，一些学生的工作记忆可能会不堪重负。这些学生可能会发现很难概括因为他们尚未获得足够的有关数学内容的知识储备。对于老师来说，这意味着在解决问题的过程中，先提供更多的指导，然后淡化指导。要做到这一点，Banchi和Bell(2008)的“连续探究”(见图1)可以为数学教育工作者提供指导，可以为数学教育工作者提供指导，帮助他们设计任务，让学生在推理前获得足够的先验知识。
四、数学课堂中的应用
通过这一连续探究的阶段，数学教育工作者可以在不同层次的探究中设计任务，使学生在开始时得到足够的指导，然后才被要求进行有效的概括。作为一个例子，我们提出了四个相关任务的建议序列，通过对Speer(2011)几何板分段问题的改编，将其与四个阶段的探究相关联(见图2)。这个问题包括在八级几何共同核心国家标准中所列出的毕达哥拉斯定理的应用。(CCSSI，2010)。
（一）阶段一：明确问题
提问:你能在几何板上找到多少段长度为单位1的线段？
教师明确问题的作用是向学生提供一个问题和过程，在此环节中，解决方案是事先知道的。这个问题有助于学生为以后的相关问题积累数学知识。(问题的解决方案是40段长度单位。)
在我们处理这些问题的事例中，许多学生喜欢画出每一段，然后数一数。学生的操作如图3所示，这个问题不仅证实了正确的答案，而且也为下列任务提供了理由。
（二）阶段二：结构化探究
提问：你能在几何板上找到多少段长度分别为2，3，4和5个单元的线段？
教师在结构化探究中的作用也是提供问题和过程。但是学生在实证的基础上提出了自己的解决方案。在水平二的问题中，学生首先可以使用演绎推理，因为长度1的段数可以表示为4times;5times;2(每行4times;5行times;2个水平和垂直部分)。有的学生只看到4times;5； 然而，经过与其他学生的讨论，这些学生看到了水平和垂直的变化，他们的成绩改变为4times;5times;2。从逻辑上讲，长度为2的片段数为3times;5times;2，长度为3的片段数为2times;5times;2，以此类推。
然而，我们的学生以不同的方式寻找这些片段长度。一些学生在识别每一个部分时又找到了安慰，而另一些学生则在确定了长度为3的水平段数后停止了计数，然后在头脑中设想将几何板旋转90度，来得到相同数量的垂直段。(见图4)提供一个分段的几何板的记录表似乎有助于学生检验和验证他们的猜想。
在任务的这一点上，学生可以开始使用归纳推理，因为当每个片段的长度增加时，他们通常会发现一个模式(见图5关于阶段二中问题的解决方案)。根据到目前为止的例子所提供的经验证据，他们可以得出关于长度为5的线段的数目的结果。一些学生认为长度5的数目必须为零，这也是不正确的。在老师提出毕达哥拉斯定理之后，学生们能够生成长度为5的所有线段，但只有在讨论完几何板上的边长为3-4-5的直角三角形后才能进行讨论。
在这个问题中出现的模式提供了一个“可取的困难”(Speer，2011，p.3),长度为5的段数的最终结果是预料之外的。这部分任务在学生的头脑中造成不平衡。它导致了一个详细的讨论关于如何改变过程，以利用毕达哥拉斯定理找到所有的长度为5的线段。事实上，正如Allen(2013)发现的几何板三角形问题，找到所有长度为5的线段产生了“定向、反射和旋转问题”(p.115)。
（三）阶段三：引导探究
提问：在几何板上，你能找到多少长度为个单位的线段？
教师在指导探究中的作用是提供问题，然后由学生决定解决问题的过程和理由。因为学生们在前面有过用直角三角形得到长度为5的线段的经验，我们期望他们在阶段三的问题中有足够的数学工具来找出长度为的线段的数量，而不会让工作记忆不堪重负。我们的学生似乎对他们正确的结果充满信心：根据边长为1-1-直角三角形得到有32段长度为的线段。
这一探究可以产生很大的扩展延伸，例如讨论在几何板中如何用有限的长度表示无理数。因此，学生可以使用多个表示来解决问题：几何板上直角三角形的斜边长度和长度的符号可以用来表示为无理数。
（四）阶段四：开放性探究
提问：由学生提出
教师在开放性探究中的作用是让学生设计问题、过程和解决方案。Banchi和Bell(2008)建议学生写一些“我想知道”的问题让他们可以调查。以下是一些学生提出的问题。
我想知道——
- 长度为的线段有多少？
- 长度为的线段有多少？
- 有多少种不同的(即唯一的)长度段？
- 如果我们使用更小或更大的几何板会有什么情况？
- 给定长度的段数与板上的钉数之间的关系是什么？
根据他们所产生的问题，学生有机会使用归纳或演绎推理来找到他们所选择的问题的解决方案。例如，有关唯一片段长度的种类数目问题的答案是14种：。
一位学生问：“我能作出多少个边长为2的直角三角形？”，图6展示了学生的解题结果。这个问题引起了学生们对正确答案的又一次丰富的讨论。他们最终得出的结论是，有18个这样的三角形。这是关于连续探究转移到其他问题并使学生转向演绎推理的一个例子。
五、区别
探究连续体的使用不仅可以帮助数学教师设计成功进行归纳推理的任务，而且还可以帮助教师根据学生的需要调整教学，因为学生可以提出自己的问题。有趣的是，一个学生试图创造一个他认为很容易回答的问题，“几何板上可以作几个方格？”然而，他预期的答案16是不正确的，因为他最初只考虑了1times;1的方格。幸运的是，这提供了他成功应对的挑战；他的结论是这个几何板可以作出30个方格。
一般来说，倾听学生的反应，鼓励学生倾听同龄人的推理，是第三条SMP规定的影响课程有效性的重要因素，它提出要“构建可行的论据并批判他人的推理”(CCSSI，2010，p.6)
六、归纳推理的一些局限
（一）学生的错误概括
获得错误的概括是对归纳推理的正当合理又严重的局限。但是，教师可以通过选择不必每次都得得到有效的概括的任务，来消除这一局限（NCTM 2000）。 这就是为什么包括阶段二的问题，其中求长度为5的线段的数量不符合预期，这是探究活动的重要组成部分。
（二）接受归纳推理的正当性作为证明
使用归纳推理的第二个局限是，发现归纳法经常使学生认为这种论证是一种证明(Rips和Asmuth 2007)。尽管归纳推理可能会引出一些大的观点，这可能得到一个正式的证明，但仅凭经验证据是不够的。为了解决这个问题，我们使用了两个奇数之和如何构成偶数的例子。让学生明白这种情况产生的原因是很重要的。如果一个学生只能举出这些例子，这不是一个证据。如果学生能够在结合这些内容的基础上提出一个论点额外的数字形成了另一对，学生有了本质的证明的关键思想，这是归纳推理和严格证明之间的一个重要步骤。
事实上，学生认为什么是“证明”，很大程度上取决于老师对学生讨论的反应。例如，在阶段二、三和四的问题中，老师可以提示学生正确地回答问题，从而引导学生开始认识到数学不仅仅是识别正确的模式。这种方法有助于学生将归纳推理扩展到更复杂的演绎论证，从而得到正式的证明。
（三）教师对内容、知识和教育学的熟练程度
进行归纳推理的第三个阻碍是实用性。为了便于归纳推理，中学教师必须精通学科内容知识、教育知识和学科教学知识(Shulman 1986)。特别地，教师必须熟练掌握提问技巧，以激发学生在数学中的思维策略。此外，必须制定课堂规范，在归纳推理活动中为有意义的话语提供一个舒适的环境。
因此，让学生有机会进行猜想和讨论的一系列任务是培养这种课堂规范的好方法。
即使考虑到这些局限，在课堂上推广归纳推理的优势也超过了潜在的障碍。归纳推理不仅在现实生活中和跨学科中得到了广泛的应用，而且还能促进概念理解和数学水平的提高，从而与当前的数学教育举措保持一致。(CCSSI 2010；NCTM 2000)
在这一系列使用“连续探究”相关的任务中，这些内容符合要求学生“理解和应用毕达哥拉斯定理”的八年级共同核心标准(CCSSI 2010,p.56);“知道有些数字不是有理数，就用有理数来逼近它们”(CCSSI 2010,p.54)，以及“通过实验验证旋转、反射和平移的特性”(CCSSI 2010，p.55)。探究式教学法突破了一些教师所设想的标准与日常教学的一一对应关系。这是一个不直接教授特定标准的，而是联系相关标准来对学生进行教学的例子。
七、连续探究模式的有效性
有时，如果学生的工作记忆负荷过重，归纳推理可能并不有效。然而，我们发现，使用科学教育的“连续探究”模型是设计成功的归纳推理任务有一定的指导意义。这个连续探究是中学教师融合过程和概念发展以深化学生数学的有力模式。
文献翻译的末页标注：图表及参考文献已略去(见原文)
Taking It to the Next Level: Students Using Inductive Reasoning
作者：Jaclyn M. Murawska and Alan Zollman
国籍：The United States
出处：Mathematics Teaching in the Middle School
原文正文：
Use the Inquiry Continuum model and a geoboard problem as guides to design successful inductive reasoning tasks that blend procedural and conceptual development.
A middle school student asked us, “Why does the pattern ...70,80,90, 100,go to 110,120,and not...70,80,90,100,200,30?” We understand her thinkin
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本科毕业设计（论文）
外文翻译
把教学提升到更高的层次：学生使用归纳推理
作者：Jaclyn M. Murawska，Alan Zollman
国籍：美国
出处：Mathematics Teaching in the Middle School,Vol.20,No.7(March 2015),pp.416-422.
中文译文：
一位中学生问我们：“为什么是这种模式hellip;70，80，90，100，之后是110，120，而不是hellip;70，80，90，100，200，300？”我们明白她的想法，但我们如何利用她的推理来加深她对数学的理解？我们发现用模式进行归纳推理是学习数学联系的一种很好的方法。但是对于学生来说,为了加深他们的理解并正确地使用他们的归纳推理，在这些数学模式任务中体验认知失调是很重要的，特别是对中学生来说。
一、归纳推理的重要性
尽管有关归纳推理的讨论可以追溯到几千年(Fitelson 2011)，在共同核心国家标准(CCSSI，2010)内实施数学实践标准(SMP)重新引起了人们对学生如何学习数学的关注。第三个SMP标准中，“构建可行的论据和批判他人的推理”（CCSSI2010，P.6），明确地要求数学熟练的学生能够进行归纳推理并且能判断所得结论的正确性。NCTM(2000，p.16)也强调中学生应“熟练运用归纳推理和演绎推理”。发展这些推理能力有助于促进学生对概念的理解，将概念知识和程序知识联系起来(Hiebert和Lefevre 1996；NCTM 2000)。因此，为了与国家标准接轨，促进概念理解，中学数学教育工作者应该为学生进行归纳推理活动提供充分的机会，这些归纳推理活动可以建立到演绎推理的基础上。
我们提出的一系列任务鼓励学生进行推理，并在现行数学教育标准的支持下，使用多重表征的问题解决方法。( CCSSI 2010年；NCTM，2000)。由于这些任务是以科学教育调查为基础的，这些任务也支持最近的STEM扫盲举措(Zallman，2012年)。
二、归纳推理与演绎推理的区别
归纳推理，也将其称为“经验归纳”，包括研究实例(细节)和辨别共性或模式（发现一般性）(Baroody，Reid，Purpura 2012 p.4)。假设你让你的学生找到任何两个奇数的之和的奇偶性。进行归纳推理的一个例子是，学生们从几个例子中观察到，结果总是偶数。学生就会确定任意两个奇数之和总是偶数。这里的归纳推理不应该与数学证明相混淆，数学证明是通过一个无限迭代过程来证明一个命题。
演绎推理是指“从假定为真(一般性或一般性)的前提或前提进行推理，以便在逻辑上得出关于特定情况的结论”(Baroody，Reid，Purpura 2012 p.4)中学数学课堂中的一个常见的应用是教师提出一个规律或概括，比如圆的面积公式，然后学生们用这个公式来找出有圆形部分的各种物品的面积。
三、问题和一种可能的解决方案：连续探究
对我们的一些中学生来说，通过归纳推理来概括是不可能的。为什么？根据认知负荷理论(Kirschner，Swell，Clark，2006)，一些学生的工作记忆可能会不堪重负。这些学生可能会发现很难概括因为他们尚未获得足够的有关数学内容的知识储备。对于老师来说，这意味着在解决问题的过程中，先提供更多的指导，然后淡化指导。要做到这一点，Banchi和Bell(2008)的“连续探究”(见图1)可以为数学教育工作者提供指导，可以为数学教育工作者提供指导，帮助他们设计任务，让学生在推理前获得足够的先验知识。
四、数学课堂中的应用
通过这一连续探究的阶段，数学教育工作者可以在不同层次的探究中设计任务，使学生在开始时得到足够的指导，然后才被要求进行有效的概括。作为一个例子，我们提出了四个相关任务的建议序列，通过对Speer(2011)几何板分段问题的改编，将其与四个阶段的探究相关联(见图2)。这个问题包括在八级几何共同核心国家标准中所列出的毕达哥拉斯定理的应用。(CCSSI，2010)。
（一）阶段一：明确问题
提问:你能在几何板上找到多少段长度为单位1的线段？
教师明确问题的作用是向学生提供一个问题和过程，在此环节中，解决方案是事先知道的。这个问题有助于学生为以后的相关问题积累数学知识。(问题的解决方案是40段长度单位。)
在我们处理这些问题的事例中，许多学生喜欢画出每一段，然后数一数。学生的操作如图3所示，这个问题不仅证实了正确的答案，而且也为下列任务提供了理由。
（二）阶段二：结构化探究
提问：你能在几何板上找到多少段长度分别为2，3，4和5个单元的线段？
教师在结构化探究中的作用也是提供问题和过程。但是学生在实证的基础上提出了自己的解决方案。在水平二的问题中，学生首先可以使用演绎推理，因为长度1的段数可以表示为4times;5times;2(每行4times;5行times;2个水平和垂直部分)。有的学生只看到4times;5； 然而，经过与其他学生的讨论，这些学生看到了水平和垂直的变化，他们的成绩改变为4times;5times;2。从逻辑上讲，长度为2的片段数为3times;5times;2，长度为3的片段数为2times;5times;2，以此类推。
然而，我们的学生以不同的方式寻找这些片段长度。一些学生在识别每一个部分时又找到了安慰，而另一些学生则在确定了长度为3的水平段数后停止了计数，然后在头脑中设想将几何板旋转90度，来得到相同数量的垂直段。(见图4)提供一个分段的几何板的记录表似乎有助于学生检验和验证他们的猜想。
在任务的这一点上，学生可以开始使用归纳推理，因为当每个片段的长度增加时，他们通常会发现一个模式(见图5关于阶段二中问题的解决方案)。根据到目前为止的例子所提供的经验证据，他们可以得出关于长度为5的线段的数目的结果。一些学生认为长度5的数目必须为零，这也是不正确的。在老师提出毕达哥拉斯定理之后，学生们能够生成长度为5的所有线段，但只有在讨论完几何板上的边长为3-4-5的直角三角形后才能进行讨论。
在这个问题中出现的模式提供了一个“可取的困难”(Speer，2011，p.3),长度为5的段数的最终结果是预料之外的。这部分任务在学生的头脑中造成不平衡。它导致了一个详细的讨论关于如何改变过程，以利用毕达哥拉斯定理找到所有的长度为5的线段。事实上，正如Allen(2013)发现的几何板三角形问题，找到所有长度为5的线段产生了“定向、反射和旋转问题”(p.115)。
（三）阶段三：引导探究
提问：在几何板上，你能找到多少长度为个单位的线段？
教师在指导探究中的作用是提供问题，然后由学生决定解决问题的过程和理由。因为学生们在前面有过用直角三角形得到长度为5的线段的经验，我们期望他们在阶段三的问题中有足够的数学工具来找出长度为的线段的数量，而不会让工作记忆不堪重负。我们的学生似乎对他们正确的结果充满信心：根据边长为1-1-直角三角形得到有32段长度为的线段。
这一探究可以产生很大的扩展延伸，例如讨论在几何板中如何用有限的长度表示无理数。因此，学生可以使用多个表示来解决问题：几何板上直角三角形的斜边长度和长度的符号可以用来表示为无理数。
（四）阶段四：开放性探究
提问：由学生提出
教师在开放性探究中的作用是让学生设计问题、过程和解决方案。Banchi和Bell(2008)建议学生写一些“我想知道”的问题让他们可以调查。以下是一些学生提出的问题。
我想知道——
- 长度为的线段有多少？
- 长度为的线段有多少？
- 有多少种不同的(即唯一的)长度段？
- 如果我们使用更小或更大的几何板会有什么情况？
- 给定长度的段数与板上的钉数之间的关系是什么？
根据他们所产生的问题，学生有机会使用归纳或演绎推理来找到他们所选择的问题的解决方案。例如，有关唯一片段长度的种类数目问题的答案是14种：。
一位学生问：“我能作出多少个边长为2的直角三角形？”，图6展示了学生的解题结果。这个问题引起了学生们对正确答案的又一次丰富的讨论。他们最终得出的结论是，有18个这样的三角形。这是关于连续探究转移到其他问题并使学生转向演绎推理的一个例子。
五、区别
探究连续体的使用不仅可以帮助数学教师设计成功进行归纳推理的任务，而且还可以帮助教师根据学生的需要调整教学，因为学生可以提出自己的问题。有趣的是，一个学生试图创造一个他认为很容易回答的问题，“几何板上可以作几个方格？”然而，他预期的答案16是不正确的，因为他最初只考虑了1times;1的方格。幸运的是，这提供了他成功应对的挑战；他的结论是这个几何板可以作出30个方格。
一般来说，倾听学生的反应，鼓励学生倾听同龄人的推理，是第三条SMP规定的影响课程有效性的重要因素，它提出要“构建可行的论据并批判他人的推理”(CCSSI，2010，p.6)
六、归纳推理的一些局限
（一）学生的错误概括
获得错误的概括是对归纳推理的正当合理又严重的局限。但是，教师可以通过选择不必每次都得得到有效的概括的任务，来消除这一局限（NCTM 2000）。 这就是为什么包括阶段二的问题，其中求长度为5的线段的数量不符合预期，这是探究活动的重要组成部分。
（二）接受归纳推理的正当性作为证明
使用归纳推理的第二个局限是，发现归纳法经常使学生认为这种论证是一种证明(Rips和Asmuth 2007)。尽管归纳推理可能会引出一些大的观点，这可能得到一个正式的证明，但仅凭经验证据是不够的。为了解决这个问题，我们使用了两个奇数之和如何构成偶数的例子。让学生明白这种情况产生的原因是很重要的。如果一个学生只能举出这些例子，这不是一个证据。如果学生能够在结合这些内容的基础上提出一个论点额外的数字形成了另一对，学生有了本质的证明的关键思想，这是归纳推理和严格证明之间的一个重要步骤。
事实上，学生认为什么是“证明”，很大程度上取决于老师对学生讨论的反应。例如，在阶段二、三和四的问题中，老师可以提示学生正确地回答问题，从而引导学生开始认识到数学不仅仅是识别正确的模式。这种方法有助于学生将归纳推理扩展到更复杂的演绎论证，从而得到正式的证明。
（三）教师对内容、知识和教育学的熟练程度
进行归纳推理的第三个阻碍是实用性。为了便于归纳推理，中学教师必须精通学科内容知识、教育知识和学科教学知识(Shulman 1986)。特别地，教师必须熟练掌握提问技巧，以激发学生在数学中的思维策略。此外，必须制定课堂规范，在归纳推理活动中为有意义的话语提供一个舒适的环境。
因此，让学生有机会进行猜想和讨论的一系列任务是培养这种课堂规范的好方法。
即使考虑到这些局限，在课堂上推广归纳推理的优势也超过了潜在的障碍。归纳推理不仅在现实生活中和跨学科中得到了广泛的应用，而且还能促进概念理解和数学水平的提高，从而与当前的数学教育举措保持一致。(CCSSI 2010；NCTM 2000)
在这一系列使用“连续探究”相关的任务中，这些内容符合要求学生“理解和应用毕达哥拉斯定理”的八年级共同核心标准(CCSSI 2010,p.56);“知道有些数字不是有理数，就用有理数来逼近它们”(CCSSI 2010,p.54)，以及“通过实验验证旋转、反射和平移的特性”(CCSSI 2010，p.55)。探究式教学法突破了一些教师所设想的标准与日常教学的一一对应关系。这是一个不直接教授特定标准的，而是联系相关标准来对学生进行教学的例子。
七、连续探究模式的有效性
有时，如果学生的工作记忆负荷过重，归纳推理可能并不有效。然而，我们发现，使用科学教育的“连续探究”模型是设计成功的归纳推理任务有一定的指导意义。这个连续探究是中学教师融合过程和概念发展以深化学生数学的有力模式。
文献翻译的末页标注：图表及参考文献已略去(见原文)
Taking It to the Next Level: Students Using Inductive Reasoning
作者：Jaclyn M. Murawska and Alan Zollman
国籍：The United States
出处：Mathematics Teaching in the Middle School
原文正文：
Use the Inquiry Continuum model and a geoboard problem as guides to design successful inductive reasoning tasks that blend procedural and conceptual development.
A middle school student asked us, “Why does the pattern ...70,80,90, 100,go to 110,120,and not...70,80,90,100,200,30?” We understand her thinkin
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