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接触的松弛长度，可以给出一个小而有限的值，例如，等于一半的接触长度，在符合我们在第9章的发现的额定载荷下。方程(7.53-55)不响应负载变化。为此，我们依赖于胎体屈从的影响，它能提供足够的结果。由此有效地得出的站立着轮胎的横向顺从为：
(7.56)
有效轮胎松弛长度(用于侧滑响应):
(7.57)
事实上，这个方程可以是用来在地面上评估侧胎体强度等级ccy，从测量轮胎松弛长度和侧偏刚度CF，随之求得轮胎的横向刚度CFy。取c为接触长度a的一半时，可以确定胎体的横向刚度ccy。载荷变化的松弛长度为:
(7.58)
这个值比小一点。虽然这是从实际建模考虑的结果，但实际上可能接近图7.10的测量结果。
如果不希望包括模拟在接近零或为零的前进速度情况下的能力，接触松弛长度c可以忽略不计，取为零。在第9章中，接触松弛长度c在为短频率的模型中作为一个基本元素。
方程(7.50,51)中所需的挠度率等于滑移速度的差值:
(7.59)
(7.60)
如前所述，车轮滑移速度Vs，由分量Vsx,y组成，定义为水平速度的滑移点S,S是被认为是附在车轮轮缘一段距离re，为有效滚动半径，在车轮中心下面，在车轮中心平面。
(7.61)
(7.62)
其中Vx,y表示水平(平行于路面) 车轮部件的中心速度。式(7.62)中，假定外倾角较小，用外形尺寸r代替re
作用在轮辋上的力最终变成:
(7.63)
(7.64)
调直力矩为:
(7.65)
(7.66)
(7.67)
移动距离
图7.16. 利用改进的瞬态轮胎模型，计算了组合滑移中阶跃变化对侧力和制动力的响应。
移动距离
图7.17. 用第7.2.4，式(7.29)节的瞬态全非线性模型计算侧移中连续步骤的侧力和调直转矩响应。
最后一个方程通过引入由式(7.47)推导出的陀螺耦合，形成了式(4.E71)的扩展。为了说明模型的性能，计算侧力响应的连续步距变化的弧面角，滑移角和刹车滑移已在图7.16。本例中没有使用接触片松弛长度c。在第8章中，该模型被应用于控制制动的问题，在不平坦的道路上，并在后者的c被使用的情况下从停止点开始。如图7.17所示，采用7.2.3节(7.29)的瞬态模型计算了纯侧移中侧力响应和对转矩逐级调整的较低要求情况。当使用增强模型时，发现了非常相似的结果，即:包含了接触质量mc。
第八章
瞬态轮胎模型的应用
本章主要讨论前一章所建立的单接触点瞬态轮胎模型的应用。应用表明轮胎松弛长度对车辆动态性能的影响。
8.1．车辆对转向角度变化的响应
在第一章1.3.2节中，对图1.9、11所示的两个自由度车辆模型进行了转向角度输入的动态响应分析。作为该模型的扩展，我们将引入具有滞后侧力响应的轮胎。系统保持线性，我们可以使用式(7.18)。松弛长度记为，得到新的方程组:
(8.1)
(8.2)
(8.3)
(8.4)
(8.5)
(8.6)
图8.1给出了对于扩展系统，对于不同松弛长度值，计算得到的频响函数。图8.2给出了相应的阶跃响应函数。从图中可以看出，轮胎滞后对车辆运动的影响相对较小。速度越高，这种效应越小，可以忽略不计。然而，对于闭环车辆控制系统，由松弛长度引起的额外相位滞后可能会显著影响性能。
图8.1.具有滞后侧力响应的轮胎模型的横摆角速度、侧向加速度和侧滑角对转向角的频率响应，参见图1.15。
图8.2.具有滞后侧力响应的轮胎模型的横摆角速度、侧向加速度和侧滑角的阶跃响应对转向角的影响。
在阶跃响应函数的开始处可以看到一个有趣的现象。随着弛豫长度的引入，反应似乎表现出更缓的性质。偏航率响应表现出一定的初始滞后。
8.2.在崎岖不平的道路上转弯
当汽车在不平整的路面上沿着圆形的道路行驶时，轮子会上下移动，甚至会从路面上跳下来，但仍要产生向心力。在这种情况下，车轮的运行角度可能会比在平坦的路面上大得多。因此，平均而言，转向刚度减小。这一现象在第5章第5.6节中进行了研究，在该章节中，发现拉弦模型可以用来解释当弦的松弛长度依赖于变化的车轮载荷来模拟带有胎面单元的模型时，转向刚度的降低，参见图5.51。
然而，这些轮胎模型被认为过于复杂，不能用于汽车仿真研究。相反，我们将尝试第7.2.1节中讨论的非常简单的瞬态轮胎模型，并将结果与实验结果进行比较。首先，考虑小滑移角线性模型。我们使用式(7.20)，其形式如下:
(8.7)
其中s为移动距离，ds = Vxdt。当纵向荷载周期性变化时，假定滑移角为常数。
(8.8)
关键是转向刚度和松弛长度均随竖向荷载变化:
和 (8.9)
图8.3说明了这种情况。转向力损失可分为“静态”损失和“动态”损失。静损失的产生是由于转向刚度的曲率对车轮的负载特性。在分析汽车的稳态转向时，横向荷载传递也会产生类似的损失，参见图1.7。图8.4解释了车轮负载正弦变化的情况。
图8.3.转向刚度和松弛长度随车轮载荷的变化而变化
如下面的分析所示，动态损耗似乎是由松弛长度随车轮载荷的变化率引起的。当然，这只能发生在转向刚度随车轮负载变化的情况下，因为这一变化率构成了Eq.(8.7)的输入。显然，由于Fy和都依赖于Fz，而在本分析中只影响F，所以这种现象在F中是非线性的，在中是线性的。
如果我们假设CF 与 Fz的关系为二次函数费曲率 bCFo
(8.10)
静态损耗可以简单地归结为:
(8.11)
图8.4.由弯曲力与载荷关系引起的平均侧力损失。
动态损失的发生可以通过假设转向刚度和松弛长度随荷载的线性变化来解释:
(8.12)
式(8.7)得:
(8.13)
或简化:
(8.14)
。考虑周期解的截断傅立叶级数近似:
(8.15)
和它的导数:
(8.16)
当输入
同时 (8.17)
(8.15,16,17)代入(8)14)然后使左右各项中对应项的系数相等，得到平均输出:
(8.18 )
依照原始量表示的平均侧力Fy,ave表示为：
同时 (8.19 )
对于较大的F振幅和较短的波长lambda;=2/，公式表明，在平坦的道路上产生动态损失接近50%的侧向力。我们将看到，这一发现与仿真和测试结果非常吻合。还可以计算调直力矩的变化。在他的研究中，高桥(1987)采用了基于弦理论的方程，并添加了陀螺仪耦合。根据(5.135)和(5.178)，得到与(7.47)相对应的表达式:
图8.5.轮胎参数的载荷依测量值和三次多项式拟合
(8.20 )
和
(8.21 )
对滑移角响应的总力矩为:
(8.22 )
实验为了获得在不同大小的垂直负载下，195/60R 14-87H轮胎的相关参数。图8.5描述出其张弛长度、相关刚度和回正刚度的特征。张弛长度由在频率范围为0~20Hz的30km/h的速度时进行的正弦扫描转向振荡所得的数据，经过曲线拟合所得到的数据定义。陀螺系数实在170km/h而其他条件不变的情况下测得。由此得到的结果为相当于无量纲参数查阅等式5.179。
为了确保计算力的正确性以及时刻对负载变化的反应，代尔夫特理工大学在2.5m的专门用于试验的鼓上进行了试验。在给定的偏离角下，车轴可以垂直的移动。因为偏离角等于零，所以侧向力和在此偏离角的时刻被纠正。
图8.6左边的图像展示了实验的结果。车轴在频率高达8Hz下垂直振荡，峰值相当于峰值和车轮负载的平均值的比例为0.9。
实验 线性模型
图8.6车轮负载变化在.侧力和调整扭矩响应一个小的滑移角
车轮以恒定的1度小滑移角运行，是在以30km/h的速度下。在0.5Hz的低频情况下，认为响应是准静态的，且阶段性的、实际上与车轴运动同相的变化。为了获得在不同频率下的恰当对照，响应是根据由当前波长划分的行驶距离绘制出来的。右边的图像展示了相应的计算响应。考虑到应用到的都是十分简单的等式，实验与模型之间的一致性认为是十分良好的。因此5.6章节的拉弦模型的计算结果就不是那么好了，只有在响应结果十分接近实验结果时才比较良好。在响应中，可以定义出两个主要的特征。第一，我们观察到，关于不断增加的频率n增加的输入而对应的输出是有些许滞后的，这表明：波长lambda;在下降。第二，更为重要的是，我们可以清晰地看到，随着增加的频率变大的侧向力的平均值在下降。减去静态下降后，在最低的频率下动态损失仍然存在。
在图8.7中，描绘的是下降的平均侧向力的静态和动态部分与在零垂直负载峰值的侧向力的比，以及在不同输入峰值比下的频率或波长。该模型表现了其与实验结果的合理的一致性。我们可以发现，当速度增加到90km/h时，一致性会变得好很多。然后，波长是三倍长，且展现了一个更好的模型。
图8.7. 不同载荷幅值比下的小滑移角动态侧力损失
图8.7的曲线适用于峰值比为0.95的情况，此时轮胎几乎接触不良，当频率增加到很大的值时其表现为接近ca.0.5。这个结果十分符合建立的等式8.19的分析结果。另一方面，章节5.6的更先进的模型预测了一个可能更大的阶段发射边缘的减少。查阅图像5.51，波长可以减少到静触点长度2的量级。
可以比较明显的发现一个比较相似的模型，等式7.9可以用于
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