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我们可以按照与第7.3节一样的步骤来估计调直扭矩方程。然而，结果的一阶响应并不总是与分析发现的趋势一致。从相位滞后和高频振幅渐近线的斜率可以看出，在平均滑移角为零的情况下，存在二阶
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偏微分方程，而在较大滑移角的情况下，响应逐渐变为一阶响应。显然，这个过程更为复杂，因此我们应该考虑气动跟踪的瞬态响应。回正力矩的变化计算公式如下：
Maurice(2000)的分析表明，气动轨迹变化对滑移角变化的分析估计响应函数可以近似为一阶系统(9.33)和串联的相位超前网络。后者的频响函数为:
式中因子表示气动轨迹特性的局部斜率:
显然，这是一个负值。根据Maurice，通过以下公式可以得到合适的参数，和
或
及
由式(9.28), ,所构成的当前系统框图如图9.4所示。下图显示了同一系统的另一种结构，从而显示了额外的力矩，它由比率控制。当完全粘着发生时，这个比值趋于无穷大。由式(9.24)可知，m=1，=0。Maurice通过引入一个函数来绕过其所涉及的奇点，该函数将的值限制在0左右， =0。然而，这会轻微地干扰在零滑移角下的正常响应，从而降低了在零滑移附近的线性分析。
图9.4接触面模型方框图
（用以产生短波长瞬态响应的侧向力和小滑移角变化的回正力矩。
下侧的图代替上侧的图，从而避免了零滑移处的奇点。）
另一种避免奇点的方法就是考虑额外的力矩，很明显，奇点是由于我们可能有某一时刻，某个力不存在。这个力矩是通过力和气动轨迹的瞬时滑量之差的乘积得到的，这三个因子的乘积与相等：
因为和同时变成了0，所以奇点没有出现。这表明确实会在某一时刻，尽管在那个时刻侧力为零。将式中的因子用侧力(3.11)的表达式表示后，将式(3.11)中的气动轨迹(3.13)和更远的气动轨迹(9.36,39)用m和代替lambda;，用求得：
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式中为零滑移角下毛刷模型的回正刚度，引入无量纲因子zeta;:
式中
通过对(9.42)的评估表明，当z lt;1，因子zeta;可近似为：
此近似值将在稍后魔术公式的应用时介绍。
适用于上述接触面模型的微分方程会给定的侧滑水平下，会发生较小的侧滑变化：
因此产生的力和力矩为：
从零滑移角开始，特别是在变步距开始后，检查步距对侧滑的响应很重要。当滑动角度输入已经达到新的值，有所有的变量初始化为零，各时间导数为:
这些结果是正确的。最后一个公式亦是成立的，因为根据公式，
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图9.5包括横向和扭转柔度的车胎刷子模型
因为根据式，xi;=1，，式中，我们略去了 滑移角，显然，额外的力矩使得调整扭矩以显示零斜率过程的适时开使。这一特性在实际和模型中都得到了证实，参见图5.10和5.11。此外，横向车轮位移在前向速度为零时的响应过程是正确的。我们用公式(7.6)求力：，此时：。
现在，可以通过首先引入图9.5和图9.6所示的轮胎胎体横向和扭转柔度，然后将结果与利用式(9.25,26)计算分析所得结果进行比对，从而进一步评价这些方程。
此外，模型的稳态特性如图9.7所示。该图包含完整模型和其中的刷子模型的特性曲线。值得注意的是，在引入轮胎柔度时，转向刚度较低。低滑移刚度的表达式为：
由侧力响应函数的截止频率得到的完整模型的松弛长度为:
松弛长度随滑移角的变化如图9.7右侧所示。显然，我们发现这个长度乘以车轮滑移角的增量等于胎体侧向挠度和附着胎面平均挠度之和的增值。
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图9.6包括横向和扭转柔度的系统方框图
在=0、0.08、0.16rad三个不同水平的侧移情况下，将仿真模型与理论模型进行频率响应比较。结果如图9.8所示。总的结论是，在波长大于20cm的情况下，两者契合程度较高。
图9.7刷子模型(接触片)的稳态侧向滑移力和力矩特性以及松弛长度
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图9.8线性化系统的频率响应函数
（根据解析解和近似仿真模型所得，包括不同平均滑角水平下的胎体柔度。已指出在输入轮平面运动的波长等于20cm的路径频率。）
图9.7所表示侧向力响应的图显示了相位滞后曲线的侧向位移，这是由于松弛长度随着平均滑移角的增大而减小引起的。当平均滑移角从0变化到较大值时，回正扭矩响应图清楚地显示了从二阶到一阶的变化。
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图9.9接触块(胎面)的非线性模型框图
（也适用于较大的滑移角变化）
将稳态方程(9.45,46)加上完全非线性方程(9.47,48)，可以使方程(9.45,48)适用于大滑移角变化的一般情况，从而在考虑小变化时恢复线性化方程。我们便得到瞬态滑移量:
以及力矩和扭矩方程：
表示额外力矩的最后一项仍用线性表示。这一项可以用两个方程之差来代替，其导数为，一个带参数，另一个带参数。由于这两个参数之间的差异很小，所以这个线性化方程足够准确。图9.9所示的非线性系统框图可以进一步阐明该模型的结构。
为保证上述方程对较大的滑移角变化的正确表出。并将仿真结果与物理模型的响应进行比较。该模型的特点是有限数量的胎面单元位于一条直线上。
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胎体和胎体的挠度是在每一个时间步长上计算的，在这个时间步长上，车轮向前滚动一段距离，这个距离等于两个连续胎面之间的距离，并根据输入滑移角的当前值向侧面移动。所建立的实际模型包含20个副本。表9.1列出了两个模型中使用的参数值：
表9.1柔性胎面的刷子模型的参数值
|
vertical load |
|
4000 |
N |
|
friction coefficient |
|
1.0 |
- |
|
half contact length |
|
0.0535 |
m |
|
longitudinal carcass stiffness |
|
|
N/m |
|
lateral carcass stiffness |
|
|
N/m |
|
torsional carcass stiffness |
|
4000 |
Nm/rad |
|
tread element stiffiness /m |
|
|
N/m2 |
|
composite tyre parameter |
|
4.77 |
- |
图9.10给出了两种模型的结果。横坐标范围的选择恰好覆盖了两个波长，滚动距离足够大，使其接近一个周期。两者再次有较高的契合程度，该模型较为准确，底部的图表显示滑移角的变化。最上面的两幅图显示了的相对较长的波长的响应，该波长为5m。因此接近稳态的条件已经达到。从图9.7可以看出，在alpha;最大为0.16 rad或近9°时，已经远远超过回正力矩的峰值。这就解释了每个波长为何两次下降。在0.08 rad水平下，则稍微超越峰值。
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图9.10非线性柔性胎体刷子模型侧向力和回正力矩响应仿真
（偏离角振幅为0.08rad，车轮平面正弦偏离角为输入，平均水平为0(细曲线)和0.08radrad(粗曲线),物理模型结果(虚线)）
当图b和图d的上曲线达到最小值为0时，倾角相对稍微滞后。在稳态时，当lambda;→infin;时，力以及力矩变为零。较大的倾角属于滑移角变化的最大值。在较短的波长下，响应振幅的显著降低与图9.8的结果一致，力的响应与物理模型的结果几乎完全一致。显然，在纵向力对纵向滑移变化的响应中也会出现类似的对应关系。
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转偏
在建立接触面模型时，最后要研究的是在滑移角为零时对路径曲率变化的响应。我们不会试着建立一个背景分析模型，而是采用一种更具启发性的方法。将这些结果与物理模型的计算响应进行比较以检查结果。第五章中给出的带胎面花纹的管柱模型的响应，特别是图5.21c和d (ex.tr.el.)和图5.10所示phi;的阶跃响应，可能会有所帮助。我们观察到力的响应类似于回正力矩对滑移角阶跃变化的响应。在这两种情况下，开始的变化率都是0。
假定力进一步接近其稳态水平的方法是根据带 的一阶方程，即松弛长度。开始时的零斜率可以用减去一个响应曲线来建模，响应曲线开始时斜率相同，但到达峰值后逐渐消失。这样的快速响应可以通过取两个位于同一水平但从不同斜斜率开始的响应的差值来得到，该差值应对应于未校正的力响应曲线的初始斜率。为简单起见，我们取两个响应中的一个为未校正的力响应，使。第二个响应的弛豫长度应等于。得到的力对转偏速度的响应方程为:
力的瞬态转滑最终是：
由非线性直线稳态响应方程得到纯路径曲率处的侧向力为:
当转滑 时，此时侧向力仍是线性，且等于
力矩响应可分为对包含横向胎面变形的接触片的力矩响应和对引起纵向胎面变形的胎面宽度的力矩响应。
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首先，我们将分析由零宽度的刷子模型产生的力矩。图5.9,10和5.21表示，我们在这里分析的是在达到峰值之后趋于零的响应。同样，我们可以通过减去两个一阶响应来模拟这个过程。为此，我们引入了两个具有各自松弛长度的瞬时转偏量和，这两个微分方程为：
速度为零时，差值的响应为:
定义胎面瞬态自旋偏转角度为:
速度为零时，则是：
要满足的条件是偏转角等于偏航角。因此有:
在角度较小的情况下，我们可以暂时这样写:
由方程(9.61,62)可知，在以旋转时，从0到变化所引起的力矩响应的初始斜率为：
对于来计算与接触长度的一半a的比例的第二个条件，其余阶跃响应过程的最佳拟合可能有用。
当旋转角度psi;连续增大时，可得知总滑移状态，力矩为:
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还没有人尝试推导立(非滚)刷子模型的力矩与增加转向角之间的函数关系。下面的非线性函数所表出的是两个极限情况的力矩响应：
为了更好地接近物理模型所显示的响应，引入了因子。值1.15比较合适。类似于松弛长度，由式(9.29,24)，长度与瞬态转转偏量和的大小成比例减小。
为了对模型进行评估，与物理刷子模型进行比较。首先，胎面模型加入柔性胎体cf. Fig.9.5。为了模拟这种更为复杂的情况，采用了第7.3节的增强型瞬态模型方法。质量、转动惯量、胎体刚度阻尼系数的附加动态方程为:
当然，模型的这种扩展也可以用于以前处理过的对纯侧滑的响应。事实上，需要注意的是，侧滑的模型式(9.52-55)应该添加到旋转模型式(9.61,62,64,70)中，以正确地考虑它们在包括胎体柔性在内的完整模型中的相互作用。在物理模型中，刷子模型自动响应侧滑和旋转。当车轮平面仅受到侧向滑移时，胎面模型的基面自旋很小，可以忽略不计。另一方面，当轮子转向时，轮子的侧滑保持为零(路径曲率)，此时基线确实不可忽视，特别是在波长较短的地方，此时的力矩较大，其结果是，基线被破坏，从而导致侧滑。这种效应在稳态转弯时消失。但是，如果加上胎面宽度的影响，则自旋力矩也在稳态下起作用，从而很大程度导致了整个模型自旋的侧向力响应。
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由于向刷子
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