准确的M-matrix Sylvester方程的解决方案
摘要 本文是关于相对摄动理论及其元素相对准确的一个M-matrix Sylvester方程AX XB = C的数值解，且A和B都有积极的和对角线元素,负的非对角的元素且P = Imotimes;A BTotimes;In 是一个非奇异的m矩阵，
且C是非负元素，它是证明小相对扰动,条目的A、B和C介绍小相对误差项的解决方案,X。因此X的小元素不受更大的相对误差比它大,的元素，可能现有的微扰理论(一般)西尔维斯特方程。我们,然后讨论一些微小但重要的实现三个现有的数值变化,方法,使他们可以用来计算X一样准确地输入数据,应得的。
数学主题分类(2000)
15A24 · 65F05 · 65F10 · 65G99
J. Xue
中国上海复旦大学数学科学学院, 200433
e-mail: xuej@fudan.edu.cn
S. Xu
中国北京市北京大学数学科学学院,100871
e-mail: xsf@math.pku.edu.cn
R.-C. Li
美国阿灵顿德克萨斯大学数学系,邮政信箱19408,TX 76019
1．介绍
如果一个ntimes;n真正的矩阵可以写成
A = gamma; minus;E 其中gamma; ge; rho;(E)则可以称为M矩阵，E 是ntimes;n的且元素都是负的, ntimes;n是单位矩阵, rho;(·)是一个矩阵的谱半径。当gamma;gt;rho;(E)，被称为非奇异的M矩阵；当gamma;=rho;(E)，被称为奇异M矩阵。必要的,一个M矩阵A负的非对角的元素和非负对角元素。对于一个非奇异的,或不可约的M矩阵A,其对角元素是积极的。
在本文中,我们关心的是以下Sylvester方程
AX XB = C, (1.1)
当A isin; ，B isin; 有正的对角线元素和负的非对角的元素，且
P = otimes; A otimes; (1.2)
是一个非奇异的矩阵M，Cisin;是元素负的。这里和以后的内容,otimes;是一般Kronecker积矩阵(或把向量看作矩阵)。我们称这种类型Sylvester方程（1.1）是M矩阵Sylvester方程（MSE）。
MSE经常出现在M矩阵的Algebraic Riccati微分方程的迭代方法。见[13 - 16、19、20 23]和引用。M矩阵Lyapunov方程。例如, B = , 出现在正的系统[27]。
MSE总有单一的解决办法。我们的第一个目标是提供了一个对MSE （1.1）元素的相对扰动分析。特殊地，我们寻求界限在元素相对误差在解决方案由小元素相对扰动引起的对系数矩阵A、B和C。我们的研究结果表明，每一个解决方案的入口,无论多么微小,决心相对精度,可比元素相对精度驻留在这些系数矩阵。
现有的微扰理论对Sylvester方程[17]的一般理论, Sylvester方程与非奇异的P和任意加性扰动,例如, ||||/||A||很小，||||是一个矩阵标准，。粗略地讲,结论是，改变解决X以常态是
||||（|||| |||| ||||），
模一个常数因子。这样的结果可能不适合在我们的案例中,因为不能告诉小元素的实际精度X。我们的充分分析MSE的特殊结构的优势,表明所有元素X,他们的大小,决心与相对精度作为输入数据。
我们的第二个目标是提供算法能够提供计算解决方案,MSE尽可能准确的数据。这些包括史密斯算法,(合适的转变)[24]和经典的不动点迭代方法的基础,所谓正则分裂[26], 然而一些微小但至关重要,实现更改,GTH-like算法[1]。这个对比有利,现有的其他方法,包括Bartels-Stewart算法[5]，和Golub-Nash-Van贷款算法[11]使用舒尔的形式且/或Hessenberg减少,通过正交相似变换形式的A和B,其中包括ADI方法[6,28]并不总是大于或等于最大对角线元素A和B。Bartels-Stewart算法和Golub-Nash-Van贷款算法,向后稳定标准元素意义上但是不能产生解决方案元素相对精度。
MSE接近于所谓的M矩阵Algebraic Riccati方程（MARE）
XDX minus; AX minus; XB C = 0, (1.3)
在A、B、C和D矩阵的大小是由分区
m n
W= , (1.4)
W是一个非奇异的或不可约奇异M矩阵。设D = 0(1.3),推出MSE(1.1)。
但根据MSE的定义,并不是所有的MSE可能出现这种方式,例如不是一个M矩阵的A和B。,众所周知(14、15)和MARE(1.3)有一个独特的最小非负解。MARE(1.3)的一个重要应用是在随机流体模型(22、23),解决方案的每个元素有一个物理意义和它是可取的和重要的,准确计算甚至很小的元素。为了保证这一点,它需要解决MSE方程产生在特定迭代的方法,如牛顿法元素相对精度。
事实证明,如果W元素准确,那么最小非负解也确定,可以计算可比元素的准确性。所有,将研究的主题为我们的论文[31],摄动分析的文章奠定了基础。在本文中,A,B,C的系数矩阵保留MSE(1.1),和他们的摄动的是表示,分别由相同的字母,腭化符号。例如,摄动(1.1)写做
= (1.5)
A和B都有积极的对角线条目和负的非对角的元素。
本文的其余部分组织如下。第二部分讨论了相对扰动,理论的逆矩阵M以及如何计算逆,提出的保证精度的理论。在第二部分使用结果。第三部分建立一个相对摄动理论的MSE和例子来说明,理论包括如何比较现有的(通用)理论。第四部分解释说,三种类型的方法GTH-like方法,经典不动点迭代和史密斯后小可以用来实现更改,解决MSE相对精度的预测理论。数值例子在第五部分给出来演示我们的理论和算法的有效性。最后在第六部分,我们给出结束语。
注释 是所有真正ntimes;m矩阵的集合。，。ntimes;n的单位矩阵e j是第j列。isin;是所有的向量。上标“”表示转置矩阵或向量。设 Zisin; ，
1.是指其第(i,j)元素;
2.| Z|是矩阵第(i,j)元素 | |;
3.vec(Z)isin;是由通过填好Z的第1列是它的第2列，等等;
4.当m = n,diag (Z)的对角元素和Z的对角元素是一样的，且(Z)= rho;([diag][diag(Z) minus; Z])。
不平等Xle;Y意味着le; 对于所有的(i,j),同样为X lt;Y, Xge;Y 和X gt; Y。特别的,Xge;0意味着X元素是负的。0/0看作 0,X Y表示矩阵或向量元素，例如，= /。我们用fl()表示数值计算,一个表达式的结果,和单位机器舍入。
2.M矩阵的逆
在本节中,我们提出一些结果的逆奇异m。,这些结果将在晚些时候经常引用部分元素扰动,分析和数值算法的均方误差(1.1)。以下的结果是常知的[7]。
定理2.1 让Aisin;有负的非对角的元素。以下语句是等价的:
- A是一个非奇异M矩阵;
- ge; 0;
- Au gt; 0当u gt; 0;
- 所有特征值有积极的部分。A矩阵Aisin;是可约，如果有一个排列矩阵Pi;isin;，这样
APi;=，
其中和是方阵；它是不可约的如果不是可约的。
通过该部分剩余的解释，Aisin;是一个非奇异M矩阵,摄动isin;，且
A = D – N ，D = diag(A) ， (2.1)
2.1微扰理论
下面的定理是[2,定理2.5],除了 = ,但次要的修改证明适用于任何 gt; 0。
定理2.2 [2]如果存在isin;和isin;，这样0le;lt; 1 ， gt; 0,且
|（） ，i, |Au minus; u| le; Au, (2.2)
是非奇异的矩阵M,
。 (2.3)
备注2.1 我们做一些评论，
- 必要的，在（2.2）中，Au ge; 0。
- (2.3)中的不平等是锋利的。这是明显的标量n = 1。一般,考虑一个
Aisin;，由以下给出
=-1 , ,
当0 lt; theta; lt; 1，足够小, lt;1 , 首先扰乱矩阵A到，
=1- , , i 。
使u = (1, , , . . . ,)T。 Au = (1minus;)u ,
0 lt; Auminus;u =zeta; Au。运用定理2.2得到，
。 (2.4)
当theta; → ,可知zeta; →，且
→ 1 , ；
所以双方相同的值(2.4)的方法,意思正确的不平等,(2.3)在一般锋利。类似地扰乱矩阵A到，
= ，= ，i
得出结论,左边不平等(2.3)以及一般锋利。
- 在（2.2）中用||代替|A -| A ，结论的定理仍然有效。
两个不等式(2.2)在一起意味着对角线项决定,与可比元素相对精度,因为
diag(A)u = Nu v rArr;= , (2.5)
v =Au,也就是说(2.2)比简单地要求|A-|le; |A |,我们有一个较弱的结果。
定理2.3 假设|A-|le; |A | ，如果那么是一个非奇异M矩阵，且
。 （2.6）
证明目前假设A= Dminus;N如(2.1)是不可约的,所以 n。让u表示门阶特征向量 n,即，Nu =rho;(n)u =(A) u。我们知道u gt; 0[7,p.27]。可以看出一个le;le;,plusmn;=（1plusmn;)Dminus;(1∓)N。现在
Au = [1 minus; (A)]Du ，
plusmn;u = [(1 plusmn;) minus; (1 ∓ ) (A)]Du = (1 plusmn; delta;)Au 。
从0le;delta;lt; 1,定理2.2Aplusmn;是满秩M矩阵是一个,
，
如此所示。
现在考虑的情况是A是可约的。足够小的xi;gt; 0,A-xi;,是一个不可约M矩阵。应用A我们证明这个修改,然后让xi;→结论的证明。
备注2.2 不等式(2.6)证明
- , (2.7)
足够小delta;。两个评论是为了:
- 因子2 nminus;1的线性项可以改善。事实上, Xue and Jiang [30],使用一个更复杂的参数,给了另一个版本(2.7)的线性的(2 nminus;1)delta;所取代
() 。
- 模因子2 nminus;1,线性项的系数delta;(2.7)渐近,最有可能因为
,假设|A-|。 (2.8)
现在假设A不可约。让u gt; 0的门阶特征向量N。考虑
=(1minus;)Dminus;(1 )Nle;A，因此且
=D[] u=1- 。
因此，我们有任意的i，
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