在汽车车身概念设计中的一种面向对象的使用分布式并进行优化的MATLAB工具箱
适当的结构分析和优化方法对于汽车白车身（BIW）结构的概念设计具有重要意义。本文将BIW结构简化为空间半刚性框架结构，以提供早期预测。然后提出一种新的转移刚度矩阵方法（TSMM）用于三维半刚性框架结构的静态和动态分析。同时还考虑了大规模工程结构的矩阵存储和方程解决技术。另外，通过遗传算法（GA）来产生一个制定和解决BIW概念结构的大小优化数学模型。然后，为了促进BIW结构的概念设计，面向对象开发了一种基于TSMM的MATLAB工具箱。其中，使用统一建模语言（UML）和策略设计模式来促进工具箱的开发。采用分布式并行计算技术，通过简单的修改加快前一种顺序优化算法。最后，由一个标准的车身展示这个易于使用的工具箱的有效性。
1.介绍
概念设计在汽车车身发展中至关重要同时对后来的工作有很大的影响。轻量化设计是汽车白车身（BIW）概念设计的主要议题，适当的结构分析和优化方法具有重要意义。有限元方法（FEM）已广泛应用于汽车车身的结构分析和优化设计中。有两个不同类别的有限元（FE）模型，即详细的模型和概念的模型。详细的有限元模型由许多壳单元啮合而成，单元通过精确模拟组件几何来实现计算精度。然而，在概念设计阶段，可能没有足够的信息来构建详细的计算机辅助工程（CAE）模型。因此，概念模型是必要的，用以预测在早期阶段所需的性能目标，如静态刚度，NVH（噪声，振动和粗糙度）和防撞性。一般来说，BIW结构可以简化为一个包括关节和梁的空间框架结构，如图1所示。然后评估BIW概念模型以提供早期预测。
在概念设计阶段，关键的工作是构建一个能够准确、快速地计算和优化BIW性能目标得适当的计算模型。Donders等人提出了一种“减小梁和接头建模”方法[1，2]，在此方法中，详细的有限元模型被简化的梁单元替代，其横截面特性可以从前身有限元模型计算得到。不仅是梁的横截面特性，而且接头的柔性是重要的。如果梁元件用刚性连接处理而不考虑接头的柔性，那么简化的BIW结构的总弯曲刚度大约是真实车辆的实际弯曲刚度的两倍[3]。在参考文献[4]中，研究了“超级单元弹性接头”和“三弹簧接头”，后者被认为具有一定的优点。详细的车身模型的重复网格化已经在商业有限元分析（FEA）软件工具中得到发展。丰田中央研发实验室[5]为BIW设计人员提出了一个一阶的分析概念，并且指出微软/电子表格基础的可维护性差。参考文献[6-8]，Zuo WJ 等人开发了基于.NET框架的面向对象的“车体-FDO”软件。软件中的BIW结构由半刚性梁混合元件构建，数学模型基于FEM建立。
然而，FEM是一种近似方法。正常的梁单元应该被分成许多段以达到更高的精度，特别是对于动态分析的情况。在本文中，BIW概念模型由半刚性梁单元建立;并且提出了用于三维半刚性框架结构的静态和动态分析的精确传递刚度矩阵方法（TSMM）。在该方法中，对于刚性梁单元，力-位移关系是基于基本微分方程的精确解。因此，形状函数和刚度矩阵是精确的。对于半刚性梁，传递矩阵方法（TMM）[9]被用来将半刚性梁单元精简为一个超级单元。此外，也要考虑大规模工程问题的刚度矩阵存储和方程解的技术。另外，BIW轻量化设计的初步横截面尺寸优化问题由遗传算法（GA）制定和解决。为了促进BIW结构的概念设计，一个面向对象的MATLAB工具箱（名为“汽车车身概念设计”工具箱和“ABCD”工具箱）与用户友好的图形用户界面（GUI）被开发出来。通过简单的修改，采用分布式并行计算，能显着加快了以前的大小优化的序列算法。最后，通过一个标准的车身来证明这个易于使用的工具箱的有效性。
本文的其余部分安排如下，第2节的内容为TSMM的推导介绍。 第3节的内容为初步的横截面尺寸优化的数学模型的制定和解决方案。第4节的内容为这个MATLAB工具箱和分布式并行计算的框架。第5节的内容为给出了数值示例来演示这个工具箱的有效性。最后，第6节的内容为结论。
2.利用TSMM的BIW结构分析
在TSMM中，一个结构被建模为在其端部连接到接头的构件的组合。构件被定义为结构的棱柱形部分。接头被定义为构件的端部连接到的无限大小的结构部分。并且结构的几何模型由线图表示，其中每个构件由与其质心轴重合的线描绘。
BIW概念结构的几何模型如图2所示。第i个构件由“Mi”标识，第j个接头由“Jj”标识。一个半刚性梁是由一个刚性梁和两个半刚性接头组成，每一个半刚性连接由三个转动的弹簧围绕的局部x ，y和z轴组成，它被构造成这样来模拟实际的车身接头的柔度。弹簧都是零长度和无质量，如图3所示，其中kij（i = b，e; j = 4,5,6）分别是围绕x，y和z轴的旋转弹簧的刚度系数;符号“b”和“e”分别表示开始的接头和接头。引入Timoshenko梁的理论来考虑梁单元的横向剪切变形和旋转惯性效应。
2.1 TSMM的公式化
2.1.1刚性梁刚度矩阵的推导
通过使用静态平衡方程和Drsquo;Alembert原理（即动态平衡方程），经受静态平衡或自由振动的刚性梁的运动的精确控制方程可以象征性地表示为（1）
其中L是微分算子; u是对应的位移矢量，（2）
其中x是空间坐标，t是时间。
然后，位移矢量u可以由构件末端位移矢量u表示 （3）
通过求解方程（1）和应用边界条件的位移。 注意，对于静态平衡问题，u和u是相同的; 而对于自由振动问题，U是u的傅里叶系数，U是x和频率omega;的函数。 N是精确的形状函数，并且（4）
也就是说，前者仅仅是空间坐标的函数，而后者是基于频率的。为简洁起见，下文中的其它对应变量，当构件经历静态平衡或自由振动时，省略参数x或omega;。在施加力的材料强度关系和边界条件之后，构件端部的力矢量可以与位移矢量相关 （5）
静态平衡和自由振动的局部刚度矩阵都是12times;12维。 静刚度矩阵的更详尽的推导可以参考文献 [10，11]; 动态刚度矩阵可以通过谐波法[12]或光谱法[13]进行确定。
2.1.2． 半刚性梁刚度矩阵的推导
当一个半刚性框架结构是大规模的，建模工作量可能是巨大的，因此需要缩合方法。 因为传递矩阵和刚度矩阵可以方便地相互变换，TMM可以方便地用于缩合一个半刚性梁的刚度矩阵。
刚度和传递矩阵的符号约定如图4所示，载荷向量为Qi和Qi，相关的联合位移向量由ui和ui（i = 1,2）表示。 两个符号约定之间的差异是它们在开始端的负载向量的方向是相反的。
刚度的关系式（5）改写为 (6)
并给出了传递矩阵方程 (7)
其中元素kij和Tij（i，j = 1,2）是分割的方阵。允许不同符号约定，在Q1 = -Q 1，那么简单的代数操作将揭示相互转换关系。
(8)和 (9)
用于半刚性连接的传递矩阵，如图3所示，可以表示为 (10)
其中I是6times;6维单位矩阵，O是6times;6维零矩阵，
(11)
其中i可以是b或e。 然后半刚性梁单元Ts的传递矩阵由下式给出(12)
其中Tb，Te分别是在开始和结束接头处的半刚性连接的传递矩阵; Tr是刚性Timoshenko梁的传递矩阵。 最终，刚度矩阵ks也是12times;12维，可以由式 （9）。
因此，半刚性构件可以被分析为公共构件; 丢弃内部接头的自由度（DOF）来显着降低大型工程结构的结构刚度矩阵尺寸。
2.2. 刚度矩阵的存储和方程的解
当已经确定局部刚度矩阵时，BIW概念结构的结构刚度矩阵可以被组装为常规FEM中的刚度矩阵。然后可以计算节点位移、固有频率和特征向量。
对于静态平衡问题，整个BIW概念结构的结构刚度关系被写为(13)
其中Ss表示静态结构刚度矩阵，d表示未知的关节位移矢量，P是关节载荷矢量。 而对于自由振动条件，动态刚度关系由下式给出 (14)
其中Sd表示动态结构刚度矩阵。 方程（13）是线性代数问题，方程（14）是特征值问题。 对于大规模工程结构，结构刚度矩阵可能占用太多的计算机存储器与全矩阵存储; 此外，结构刚度矩阵总是对称的，稀疏的和带状的。 因此，采用了天际线存储方法[14]来减少计算机存储器。
大规模结构的适当的解决技术也很关键。 对称刚度矩阵S（或S d）可以分解为矩阵三元乘积，(15)
其中U是单位上三角矩阵，D是对角矩阵。 这种分解将有利于求得方程（13）和（14）的解。
然后使用替代方法来求解方程（13）。它以两个步骤执行：正向替换和反向替换[10]。 在正向替代步骤中，将式（15）代入式（13），得到
（16）和 (17)
其中d是未知数的辅助矢量，并且可以通过正向替换来确定。 一旦已经评估了辅助矢量d，可以通过求解方程（17）来反向替换计算未知的接头位移矢量d。 这种方法通常用于解大型系统的结构刚度方程。 由于方程（14）中的结构刚度矩阵Sd是频率omega;的超越函数，因此方程（14）是超越特征值问题。引入了着名的Wittrick-Williams算法[15]来搜索n阶本征频率。算法由公式给出
(18)其中(19)，
公式中字母表示含义为：
试验频率，小于中心频率的固有频率的数量，小于的固有频率的数量omega;*当所有接头位移被约束为零时，小于的固有频率的数量omega;*，对于具有固定边界的第i个结构构件，q是构件的总数，在因式分解方程（15）中的前导对角线上的负数的个数。
结合二分法，算法能够将框架结构的任何固有频率计算到任何期望的精度，而不丢失任何固有频率使其低于试验频率。二阶模态寻找法[16]被用来寻找结构的n阶特征向量。然后可以使用特征向量和等式（3）中的确切动态形状函数来计算结构的精确模式形状
3.基于遗传算法的横截面尺寸优化
降低BIW的重量可以提供许多优点，包括提高能量效率和减少排放。因此，当性能目标满足设计要求时，汽车车身的重量应尽可能轻。BIW轻量化设计的主要的最先进的方法是应用新材料和结构优化。进行初步横截面尺寸优化的目的是在不违反弯曲刚度、扭转刚度和一阶固有频率约束的前提下获得BIW概念结构的最小质量。如图5所示，金属板的横截面形状被预先简化为薄壁矩形截面，其中w，h和t被指定为设计变量。
将x定义为设计变量向量，(20)
其中, (21)其中n表示要优化的构件的数量。
尺寸优化问题的数学形式可以表示为
(22) 其中
m = BIW概念结构质量函数。delta;=弯曲条件下的最大垂直偏转，如图6（a）所示，其中1,2和3的约束分别表示全局X，Y和Z轴中的线性位移被限制为零。
phi;=扭转条件下的扭转角，如图6（b）所示，约束的定义与图6（a）中的相同。
=经历自由振动的BIW概念结构的一阶固有频率。LB，UB = x的下限和上限行向量。delta;allowable，phi;allowable， allowable=分别用于delta;，phi;和的容许极限值。
由方程（22）描述的优化问题是约束非线性优化问题。其优势在于能够找到全局最小的BIW质量，遗传算法，一种进化算法[17]。为了解决约束优化问题，引入了将约束优化问题转换为无约束优化问题的补偿方法[18]。因此，补偿函数被添加到目标函数，以便不可行点的适合度值。补偿函数写为
(23)
(24)
(25)
其中ri（i = 1,2,3）是补偿系数，分别分配值102，3times;103和0.5。 因此，遗传算法的适应度函数通过以下等式评估
（26）
4.开发“ABCD”工具箱
MATLAB是一个集成的编程系统，它使人们能够面向对象的使用程序和技术开发程序[19]。 此外，它包括许多图形界面和专门的工具箱，例如由谢菲尔德大学开发的遗传算法工具箱（在本文中采用）。 此外，在MATLAB中，串行程序可以简单地并行化，并进行一些修改以显着加快计算。 由于上述原因，“ABCD”工具箱是以MATLAB为基础开发的。
4.1．“ABCD”工具箱的架构
“ABCD”工具箱的主要架构如图7所示。它由两个模块组成，即结构分析和优化模块。类似于典型的商业CAE软件中模块，每个模块被分成三个部分，即，预处理，处理（或优化）和后处理。 用户友好的图形用户界面（GUI）由MATLAB图形用户界面开发环境（GUIDE）开发。工具箱界面的重要组件如图
4.2． 程序设计
两种程序设计方法分别为面向过程的程序设计（POP）和面向对象程序设计（OOP）。在POP中，数据和功能不相关；此外，代码的可重用性和可维护性差。因此本文介绍了OOP，其优点在于：封装，多态，继承和代码可重用性。OOP已被广泛应用于工程软件开发，如文献[6-8,20,21]
统一建模语言（UML）用于明确地绘制类之间的关系。为了清楚地呈现关系，进行以下简化：（1）仅示出类的最重要的属性和方法;（2）方法的参数和返回值的类型以及类的构造函数被省略;（3）抽象的超级类和方法都用斜体表示;（4）从一个超级类继承的属性和方法未列出。
工具箱中类别的关系如图9所示。这些类被分类为四个类别分别以不同的颜色描绘，即GUI类，输入数据类，结构分析模块和结构优化模块。BIW概念模型的输入数据以指定格式输入，作为输入数据类的属性。结构分析和结构优化类分别实现结构分析和优化的功能。GUI类会负责调度上面三种类的对象并执行操作。引入策略设计模式[22]来定义解算不同类型的方程的算法组，如图10所示。注意，在我们的进一步研究中将开发非线性分析算法。子类的代码和算法是解耦的。因此，算法组可
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