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一种用于具有弹性环的几何非线性振动隔离器的组合动态分析方法
内容提要
bull;提出了一种用于研究几何非线性隔离器的组合方法。
bull;该方法成功地计算了在大变形下的非线性振动。
bull;几何非线性理论用于找到力和变形关系。
bull;谐波平衡法用于研究非线性振动。
bull;提出的方法通过数值和实验结果验证。
摘要
本文开创了一种组合分析方法，用于研究一种由推挽式结构环组成的几何非线性隔振器的动态特性。该方法结合了弯曲梁的几何非线性理论和谐波平衡法，以克服在环结构的大变形下计算振动和振动传递性的困难。使用所提出的方法，可以研究该隔离器的非线性动态行为，例如由于库仑阻尼的锁定情况和由非线性刚度导致的通常跳跃。基于初级谐波平衡的数值解决方案首先通过直接积分结果进行验证。然后，该组合分析方法的整个过程通过具有不同振幅的基本激发的缓慢正弦扫描实验来证明和验证。数值和实验结果表明，这种类型的隔离器表现为硬化弹簧，其增加了基本激励的振幅，这使得它适合于隔离稳态振动和瞬态冲击。
关键词：几何非线性;非线性振动;库仑阻尼;谐波平衡法
1.介绍
为了保护隔离结构和隔振器本身免受损坏，隔离器应隔离稳态振动和瞬态冲击。与线性隔离器相比，非线性隔离器由于其独特的特性，可以同时满足这些要求。因此，对非线性动态特性和非线性隔离器的设计的研究对于实际应用是重要的。
有许多关于不同非线性无源隔离器的研究，Ibrahim对其进行了全面的总结。该评论文章报道了一种基于圆形弹簧的结构具有可用于隔振器的非线性机械特性。许多研究人员已经研究了圆形弹簧的静态机械行为。Tseetal利用椭圆积分的等效弯曲刚度方法研究单轴压缩和张力下复合圆形弹簧的静态特性。发现单个环在压缩区域中类似于软化弹簧，并且在拉伸区域中具有硬化弹簧。此外，一对弹性圆形弹簧在推荐配置中提出的参考文献在静态压缩和张力下具有对称的硬化刚度。因此，由推挽配置环形成的隔离器具有满足稳态振动和瞬态冲击的双重隔离要求的潜力。然而，Tse等人提出的分析方法是相当复杂，目前没有方便和有效的方法可用于研究这种具有推挽配置环的几何非线性隔离器的振动性能。
如果圆形弹簧的变形大，则可以用弯曲梁上的几何非线性的理论数值地解决该问题。基于这个理论，许多研究计算弯曲梁结构的大变形。考虑到轴向延伸性，Lietal建立了精确但复杂的普通差分控制方程，用于研究具有固定端的弹性杆和支撑在非线性基础上的欧拉-伯努利梁的热屈曲。在这些研究中，大静态变形的分析被转化为初始值问题，并通过拍摄方法数值求解。然而，由于轴向伸长和弯曲变形之间的耦合，难以应用该方法来解决振动问题。此外，假设轴向不可伸展性，可以简化弯曲梁的动力学方程的公式和解。Santillan etal为夹紧环和直立悬臂梁建立偏微分方程，两者都由薄的，不可伸长的和弹性的条带组成。由于射击方法很少应用于求解非线性化偏微分控制方程，因此开发了两种方法。一个是采用小振动的假设，即控制方程的线性化。利用拍摄方法对平面内自由振动的特性进行了数值研究。 Virgin等人研究了利用该收缩环的小振幅振动的性能。计算的线性位移传递率通过实验验证。另一种方法是对相应的动力学方程应用时间上的有限差以确定梁结构的振动形状和相应的频率，然后使用扰动方法来找到动力响应的近似解]。然而，对于具有推挽配置环的非线性隔离器，第一种方法不能计算大振幅变形下的非线性动态响应。对于第二种方法，不需要分析弹性环本身的振动形状，因为相关的输出响应直接取决于结构中的结，并且隔离器作为整体作为单个自由度系统执行。一般来说，通过直接使用几何非线性理论，很少有关于弯曲梁的大振幅振动的研究。尽管如此，由于其在计算大静态变形和非线性隔离器的结构特征方面的有效性，将这种几何非线性隔离器变换成具有集总参数的等效模型是合理和可实现的。
如果获得圆环的静态大变形，则可以使用近似分析方法直接分析这种几何非线性隔离器的动态特性。有许多不同的近似分析方法用于分析非线性振动，并且谐波平衡法（HBM）被认为是解决非线性系统的频率响应的最简单和最直接的方法。此外，它被认为是一个强大的方法，能够处理强烈的非线性行为，并可以总是收敛到平滑非线性系统的精确周期解决方案。 HBM已经被许多研究者广泛应用和推广。 Ravindra和Mallik使用HBM在理论上研究了在谐波基波和力激励下的硬Duffing型隔离器。提出了线性稳定性分析和粘性和库仑阻尼的影响。Brennanetal利用HBM分析具有轻微线性阻尼的Duffing振荡器的跳跃和跳跃频率。 Wang和Zheng提出了一种线网隔离器的五参数多项式模型，并通过基于HBM拟合的加速度传递性的正弦扫描测试识别参数。此外，具有高静态-低动态刚度（HSLDS）的非线性隔离器已经与HBM广泛研究。Carrella和M.I. Friswell 通过利用复合双稳态板设计了具有HSLDS的隔离器，并且使用硬化HSLDS弹簧来减小转子的旋转。 Sunetal通过基于HBM的理论分析研究了3D准零刚度隔离器。 Huangetal采用欧拉屈曲梁作为负刚度校正器获得HSLDS隔离器，并在理论和实验上研究其振动传递性。然而，其离散正弦测试在开环中进行，并且导致在较大激发水平下理论和实验结果之间的显着差异。一般来说，上述论文应用HBM来研究库仑阻尼，跳跃现象的影响，隔离器参数的识别HSLDS的非线性动力学分析，为研究具有弹性环的几何非线性隔离器提供了建设性指导。因此，HBM将适合于分析这种几何非线性隔离器的动力学。
在本文中，提出了一种用于研究具有大变形的几何非线性振动的简单有效的动态分析方法，这对于在实际应用中的几何非线性隔离器的设计是非常有益的。在这种方法中，弯曲梁和HBM的几何非线性理论组合，以避免小的振动的线性化假设和相对复杂的有限时间差。为了介绍该方法并示出应用程序，该组合方法将用于研究由具有粘性，库伦和二次阻尼的推挽结构中的两对弹性环构成的隔离器的振动特性。所提出的方法的流程图如图1所示。 1，其中红线表示来自数值模拟和振动实验的演示。在这项研究中，弯曲梁的几何非线性理论首先被应用于模型的弹性环的推挽配置的变形，并使用拍摄方法数值求解方程。然后，采用奇数多项式函数来拟合数值结果，以获得恢复力和变形之间的关系。最后，利用多项式函数，应用HBM建立和求解隔离器的非线性动力方程。使用所提出的方法获得的相对位移和绝对加速度传递率的数值结果与直接数值积分进行比较。此外，进行用振动台控制在闭环中的缓慢正弦扫描实验以进一步验证所提出的方法。
图1
本文的组织结构如下：第2节专门针对弯梁的几何非线性理论的应用，建立推拉配置环的静态方程，并找出变形与恢复力之间的关系。在第3节中，HBM将被用于制定这个非线性隔离器的动态方程。第4节包含用于验证所提出的方法并显示其应用的数值和实验结果。第5节是本文的结论。
2 大静态变形模型
2.1 基于几何非线性理论的静态方程
未变形和大变形的推挽配置环分别在图1中示出。图2（a）和（b）。每个环由薄且弹性的条形成。上环的上侧和下环的下侧固定在基座上。环的另一侧连接在一起，其中施加垂直外力。其静态分析模型可以通过使用弯曲梁的几何非线性理论建立。
图2
图3（a）在平面中处于大变形下，其在其原始构造中是薄的，弹性的和无应变的。 在本文中，剪切变形和在纵向上的延展性的影响都被忽略。 因此，该弹性梁的静态方程可以用欧拉 - 伯努利梁理论和不可伸缩性假设在弧长坐标（S）中写出。 弯曲梁上的点的坐标被描述为X（S）和Y（S）。 变形梁的差分段的平衡分析如图2所示。 3（b）。 P（S），Q（S），M（S）和W分别是水平内力，垂直内力，弯矩和分布重力。 是从正X轴方向到段dS的纵向的角度。
图3
从图1中的微分段的几何分析可以看出， 如图3（b）所示，X，Y和theta;之间的关系可写为
（1）
根据曲率的定义，曲率和弯矩之间的关系可以写为
（2）
其中EI表示弯曲梁的弯曲刚度。
根据微分段在水平和垂直方向上的力平衡，可以获得以下两个等式
（3）
其中mu;= W / g表示段的分布质量。
同样，差分段中点的力矩平衡可写为
（4）
舍弃较高阶量并代入式 （1）代入式 （5）产生一个简化的方程
（5）
选择关于长度的无量纲变换以使得分析和解决的过程更方便。 弯曲梁的总长度如图1所示。 图3（a）和所有涉及的无量纲变量定义为
（6）
然后，图6中的推挽配置环的无量纲静平衡方程。 图2（b）可以表示为
（7）
其中v =mu;gL3/ EI描述了重量和弯曲刚度之间的关系; 下标“1”和“2”分别表示下环和上环。 显然，所有基本变量可以表示为无量纲变量si的两个独立的常微分方程。 应当注意，当环在水平面中时v等于零。
该方法经常用于获得具有相应边界条件的数值解。 圆环的配置取决于具体的边界条件和约束条件。 根据图1所示模型的对称性。 如图2（b）所示，仅需要分析一半的配置，这使得数值解更加时间有效。 因此，一半推挽配置环的边界条件可以表示为
（8）
其中d是外力f / 2下的无量纲垂直偏转。
在这项研究中，静态平衡方程式 （7）在数学上通过使用Matlab中的子函数bvp4c和等式中的相应边界条件求解。 （8）。 然后，通过拟合数值结果，获得定义非线性恢复力和变形之间的关系的多项式函数。 利用该函数，可以在第3节中建立隔离器的非线性动力学方程。
2.2 非线性恢复力和变形
为了获得大型和静态变形下的推挽式结构环的数值解，环形结d的垂直变形从-dm到dm以小步长变化。垂直变形的负号表示向上拉，dm的值确保环上不 发生翘曲。在第n步中，接头处的无量纲垂直恢复力由公式表示
（9）
其中dn是第n步中的半构型的无量纲变形。
使用表1中列出的环的特定参数，可以计算在压缩下的推挽模型的配置，并且结果在图1中示出。 如图4（a）所示。 恢复力和结变形的数值结果绘制在图3中。 如图5（a）所示，它们可以用奇数阶多项式精确拟合
（10）
其中D = dL和拟合系数（见表2）。用于评估拟合优度的相关系数为0.99998。
表1
图4
推挽配置环的配置来自：（a）计算结果; （b）静态实验结果。
图5
结果比较：（a）非线性恢复力; （b）非线性刚度。
复合力拟合多项式函数中的系数如下表示。
表2
静态变形的实验用图1所示的机电万能试验机进行。4（b）实验结果绘于图1。图5（a）非常符合数值解和拟合多项式函数。 此外，通过将数字差应用于计算的恢复力来获得非线性刚度的解。 刚度和变形的多项式函数也可以从公式 （10）。 图3中所示的比较。 图5（b）示出了数值解和导出的多项式函数之间的非常好的相干性。 非线性刚度的相关系数为0.99971。 因此，所获得的多项式函数准确地反映了在大变形下推挽结构环的非线性恢复力特性。 因此，它可以为非线性振动的研究提供必要的和容易获得的基础。
弹性环的结构健康是这种非线性隔离器的耐久性的基本前提条件。弹性环的应力分布可以基于具有几何非线性理论的内部力矩来计算。弹性环的最大应力由delta;m= | m | EH / 2L 计算，其中m是无量纲弯矩，H是横截面的高度。当最大变形参与图1。如图5（a）所示，在推拉构造环上，上下环的最大应力分布如图5所示。可以看出，最大应力发生在弯曲梁上具有最大曲率的位置。还清楚的是，两个环中的最大应力远小于材料的屈服应力。此外，根据测量的65Mn钢的S-N曲线，其耐久极限高达325 Mpa，即弹性环在本研究中将具有无限的应力循环寿命。
图6
具有最大变形的弹性环的最大应力。
在实际工程应用中，这种隔振器将被更新和改进以增强其耐久性。 例如，弹性环可以由具有高得多的屈服强度和耐久极限的材料制成，例如60Si2CrVAT。 具有优异的综合机械性能，这些材料可以确保在复杂的工作条件下出色的耐用性 此外，应当引入一些限制装置以避免当外部激励比预期更粗糙时弹性环的过度变形。
3.非线性动力学建模与解决方案
3.1动力方程式的拟合
通过获得的描述恢复力与变形关系的多项式函数，可以写出非线性隔离器的非线性动力学方程。 本文研究的非线性隔离器由两组推挽配置环组成，如图1所示。 7（a）。 每个环的一侧固定在基座上，另一侧刚性地连接到物体上。 质量由水平面中的滑块约束，使其作为单自由度（SDOF）系统，并通过忽略重力简化了对称非线性问题。 基本激励由x0（t）表示，质量的位移响应由x（t）表示，然后相对位移可以定义为y（t）= x（t）-x0（t） ，该隔离器等于具有非线性刚度和阻尼的一般分析模型，如图1所示。 7（b）。
图7
这种隔离器在基础激励下的动力学方程因此被写为
（11）
其中非线性恢复力f k（y）由等式（10）
（12）
假设阻尼力是粘滞阻尼，库仑阻尼和二次阻尼的组合
（13）
其中c1，cf和c2分别是粘性，库仑和二次阻尼的系数，其中
（14）
其中xi;1是所谓的粘滞阻尼比。
对于稳态谐波振动，基极激励可以表示为。仅使用考虑的一次谐波分量的谐波平
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