柯西不等式的再推广
Fengqing Sun
摘 要
柯西不等式是数学和物理中非常重要的不等式，特别是在解决野生应用的不等式证明时，它具有显着性的数学研究。本文将对原来柯西不等式进行再推广，从原来的n维和2阶柯西不等式推广到n维和M阶柯西不等式，以及给出了严密的论证。同时，本文总结了几种推论这种n维和m阶柯西不等式，并给出了相应的证明。
关键词：柯西不等式（n维和2阶柯西不等式），促进柯西不等式（n维m阶柯西不等式），平均不等式，重要的推论
柯西不等式（n维2阶柯西不等式）
假设a = (a1, a2, · · · , an) 和b = (b1, b2, · · · , bn) 是两个实数列，然后
等号当且仅当ai = 0,bi = 0或者存在常数k满足 ai = kbi(i = 1, 2, · · · , n).
- 柯西不等式的推广(n维m阶柯西不等式)
假设是真正的m系（当m是奇数时，a ji ge; 0( j = 1, 2, · , m; i = 1, 2, · · · , n)), m ge;2
然后
等号当且仅当a1i = 0或a2i = 0···ami = 0或存在常数k1,k2,···,km,满足
k1a1i = k2a2i = · · · = kmami(i = 1, 2, · · · , n).
证明： 把它分m为偶数和奇数的情况
- 当m是偶数时，
(1.1) 当 a1i = 0 或a2i = 0 · · · 或ami = 0, (i = 1, 2, · · · , n)不等式显然成立，等号也成立。
(1.2）当表示
然后原来的不等式变成
所以我们只要证明不等式
因此有
必要和充分条件的绝对值不等式的等号,意味着不平等,我们可以看到等号当且仅当
当
- 当m是奇数时
（2.1）当不等式显然成立，等号也成立。
（2.2）当表示
然后原来的不等式变成
因此，我们只要证明不等式
因此
从充分必要条件的等号，我们可以看到不等式等号当且仅当
成立，当
综合以上（1）和（2），我们可以得出不等式成立。
- 几个重要的推论n维m阶柯西不等式(这里只给出了简单的证明)
推论1：
假设a1, a2, · · · , an是实数（当m是奇数时，aige;0(i=1,2,3....n))，然后有等号当且仅当a1=a2=....=an成立，在mge;2是正整数。
证明： n维m阶柯西不等式 令=
我们得出的充分必要条件的等号，n维m阶柯西不等式,
我们有这种不平等的等号当且仅当
推论2：
当m是非负实数（mge;2）然后有
等号当且仅当或存在常数k1,k2,···,km,满足
证明： 从以上n维m阶柯西不等式我们可得出
等号当且仅当或存在常数k1,k2,···,km,满足
推论3：
假设a1, a2, · · · , an是实数（当m是奇数时，aige;0(i=1,2,3....n))，p1,p2,p3....pn是常数，然后有等号当且仅当
成立，在mge;2是正整数。
证明：对n维m阶柯西不等式 令我们可得到
的充分必要条件的等号，n维m阶柯西不等式,我们有这种不平等的等号当且仅当
推论4：
假设a1, a2, · · · , an是非负实数，p1,p2,p3....pn是非零实数（当m是奇数，，然后有
等号当且仅当在mge;2是正整数.
证明：对n维m阶柯西不等式
令
我们得到
因此有
的充分必要条件的等号，n维m阶柯西不等式,我们有这种不平等的等号当且仅当
成立。
推论5：
假设是实数列，（mge;2）,
然后有等号当且仅当
成立。
证明：用a1i代替，用aji代替
在以上n维m阶柯西不等式我们可以得到
因此有
的充分必要条件的等号，n维m阶柯西不等式,我们有这种不平等的等号当且仅当
和
参考文献：
Cheng, Legen. (2004). Proof and application of Cauchy inequality. Journal of West Anhui University, 2.
Chen, Xihua. (2005). Eight proof of 2-dimension Cauchy inequality. Journal of Hebei Polytechnic University , 2.
Li, Shenghong. Mean inequality and Cauchy inequality(small series of mathematical Olympiad), Shanghai: East China
Normal University Press, (Chapter 4).
Luo, Kui amp; Wang, Ping. (2002). Improvement of Cauchy inequality. Journal of Jingzhou Normal College , 2.
Wang, Lianhua, Li, Ye amp; Li, Zhanguo. (2003). Proof and application of Cauchy inequality. Journal of Henan Institute of
Education(Natural Science Edition) , 2.
Wang, Xiaofeng. (2008). Discussion of Cauchy inequality. Social Science/Culture, Science, Education, Sports , 11-17.
Yuan, Gaowen. (2002). Cauchy inequality in Euclidean space. Journal of Further Education of Shanxi Normal University,
3.
Zong, Xufeng. (2000). Promotion of Cauchy inequality. Journal of Qufu Normal University (Natural Science Edition), 4.
剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
资料编号：[286800]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word
以上是毕业论文外文翻译，课题毕业论文、任务书、文献综述、开题报告、程序设计、图纸设计等资料可联系客服协助查找。
