现实数学教育方法的有效性：数学表征在数学信念和问题解决之间的中介作用
原文作者 Putri Yuanita1☯, Hutkemri ZulnaidiID2*, Effandi ZakariaID3☯
单位1 Department of Mathematics Education, Faculty of Teacher Training and Education, University of Riau, Pekanbaru, Indonesia, 2 Department of Mathematics and Science Education, Faculty of Education,University of Malaya, Kuala Lumpur, Malaysia, 3 Department of Innovation in Teaching and Learning, Faculty of Education, National University of Malaysia, Bangi, Selangor, Malaysia
摘要：本研究旨在探讨数学表征在数学信念与问题解决之间的中介作用。本研究开发了一项涉及表格一的426名中等学校学生的准实验设计。调查对象由分别属于实验组与对照组的209名学生和217名学生组成。本研究采用工具SPSS23.0、ANATES 4和Amos 18进行数据分析。研究结果表明，数学表征在数学信念与数学问题的解决这两方面之间发挥着重要的中介作用。现实数学教育方法成功地提高了学生的算术解题能力。
关键词：无
序言
教育让年轻一代掌握重要的技能和知识。有效的学习使学生能够通过创造性的教学方法学习，并在课堂上获得知识；通过教师的努力，后者成为一项令人兴奋的活动。 [1]数学教育激发学生的批判性和创新精神，在解决问题的过程中培养学生良好的推理能力。数学教育是一个积极、动态、持续的过程；数学教育活动帮助学生发展他们的推理能力，有逻辑地思考，系统地思考，批判地思考，缜密地思考，并在处理问题时采取一种客观与开放的态度。[2]教与学由三个主要组成部分，即教师、学生与内容组成。学生必须具备知识和高级技能，教师必须具有知识和专业水平。解决问题的能力使学生能够通过运用进步的和具有挑战性的思维过程来创造地、批判地思考；创造性思维和批判性思维将有助于发展一个国家，并设法解决其需求。[3]对于研究人员来说，课堂上教与学的过程充当了一个研究场地。未来的教育者可以通过这个过程来确定有效的教学方法。印度尼西亚的教师和学生承认改善数学教与学的现状的必要性。自1970年以来，印度尼西亚已经将一种有别于传统的现代方法运用于数学教学的过程中。然而，这种方法已经在许多学校造成了问题。
与中国、新加坡和马来西亚等亚洲的发展中国家相比，印度尼西亚的数学学习仍然低于平均水平。[4]在过去，中国在国际规模的数学成就这方面上超过了其他西方国家，如国际学生评估项目（PISA）和国际数学奥林匹克（IMO）[5]。数学教学面临的挑战之一是不断变化的课程。中学坚持传统的数学教学。如果这种范式要改变，那么教师必须找到一种与建构主义方法一致的教学方法和学习方法。其中一种教学方法是现实数学教育（RME），它于2001年由印度尼西亚的现实数学教育（被称为印度尼西亚的现实主义数学教育或者PMRI）引入印度尼西亚。PMRI的目标是革新和改善数学教育[6]。
这种RME方法最初是由荷兰弗赖登塔尔研究所在1971年开发的。就数学而言，RME方法被广泛认为是从基于问题的数学教育方法扩展而来的最好和最详细的方法[7]。RME方法的教与学有五个主要标准，即学生的日常生活经验；将现实转化为模型，并在将模型转化为正规的体系之前，通过一个数学纵向的过程来改变模型；学生的主动风格的运用；运用讨论和问答的方法来培养学生的数学技能，形成概念和主题之间的一种联系，直到学习的过程变得全面、完整的[8]。自2001年以来，许多印度尼西亚的教师已经接受了使用RME方法的培训。在33个省份中，有13个省已经实施了RME方法。在这个发现的基础上，本研究旨在开发一个使用RME方法的教学模块，并考察印度尼西亚中学数学学习模块的教与学的效果。凭借RME开展教与学的目的是解决教师与学生面临的问题。
现实数学教育方法的目的是通过在情境中引入问题，将数学学习的过程转化为一种对学生来说有趣和有意义的体验。RME开始于选择与学生经验和知识相关的问题[4]。然后，教师充当一个促进者来帮助学生解决与语境相关的问题。这种解决情境性问题的活动给与学生的问题解决能力有关的数学表征带来了积极的影响[9,10]。教数学最好的方法是通过解决学生每天面临的问题或者解决情境性问题来为学生提供有意义的经验。现实主义数学教育使数学的物质概念及其关系能够发生变化。现实主义数学教育将数学文化转变为动态文化，但它仍处于教育过程的通道上。因此，现实主义数学教育是强调数学是一种人类活动，必须与现实生活相联系，以现实世界背景为学习起点的一种创新的学习方法 [11]。
数学信念是应用数学教学方法的核心思想。[12]一个学生的数学信念是由他或她对他或她掌握的数学知识的态度形成的，从而提高一个人的数学价值。这一观点得到了发现积极的数学信念影响加拿大中学生的表现的安德森、罗杰和克林格[13]的支持。根据国家数学教师学院（NCTM） [14]，这种信念会影响学生评估自己技能的能力、执行数学任务的欲望和数学倾向。在完成数学任务时，仅仅了解这些步骤是不够的，因为学生还必须相信概念和程序的真实性。学生的数学信念由三个主要因素，即学生对他们的能力的信念、对数学学科的信念和对数学的教与学的信念构成。
Hwang、Chen、Dung和Yang[15]将表现形式定义为将现实世界中的一个具体的模型转化为一个抽象的概念或符号的过程。表征在数学心理学中是指物体与符号之间的关系。表征在数学教育中运用的五个外部层次是真实世界的物体、多重表征、算术符号表征、口头表征和图像或图形表征。后三种表征是抽象的，并被认为是解决算术问题的高级表征。借助于算术符号表示的比率涉及到将数学问题转化为算术公式。语言能力表征包括将数学问题中的人物和关系解释为语言或者声音的形式。图片或者图形表征包括将数学问题解释为图片或者图形。在本研究中，学生运用的数学表征包括图像表征、图形表征、表格表征、符号表征、数学笔记、书面文本表征、文字和语言。
问题解决是要求学生批判地思考和创造地思考[16]的高阶思维技能之一。易卜拉欣[17]声称解决问题的能力包括运用所学原则解决问题，以达到一定的意义。在目前的研究中，问题解决的技能指的是运用RME方法解决学习情境中给出的问题的能力。这些问题是以学生之前所知道的日常生活和真实情况为基础的。而在本研究中，问题解决的能力指的是学生解决算术问题中的相关概念和程序的能力。
研究问题陈述
变化的教学风格增加了学生学习和理解数学的难度。此外，学生害怕数学[6]。数学的研究对象是抽象的，传统的教学方法并不适应这种情况。学生对数学的理解和表现不令人满意是由几个因素造成的。首先，教师通过运用单向的、传统的教学方法主导课堂的学习过程。根据罗贝里[18]的观点，传统的学习侧重于技能和概念的习得。因此，这种方法不适用于提高学生问题解决的能力。其次，教师只不过提出理论和定义。例如，通过举例子解释一个定理，通过一系列的练习和问题来评估学生。教学就是从学生的数学课本中的定义、属性和公式中获得事实的过程。教师只是按照教科书上给出的步骤来做，并没有考虑这个教学过程是否正确。因此，学习过程变成机械的，其中教师简单地为学生建构公式和解决办法[19]。现代数学应用的研究结果表明数学学习是一个低价值的学习过程[6]。
印度尼西亚的数学素养不会因为学校采取的数学教学方式而有所提高。当前的教学方法没有注重学生的逻辑思维、分析思维、系统思维、批判性思维和创造性思维；相反，教师（的教学）仅仅依靠教科书[20]。这种方法要求学生记住回答问题的正确步骤。然而，当学生们被问到无法用这些步骤解决的问题时，他们会遇到困难。学生们被动地学习，并在没有理解这些问题的真正含义的情况下记忆公式。因此，他们不能从他们所学的东西中获益，而且经常犯错误。柴纳尔[21]表示学生更喜欢熟记他们的老师提供的公式与解题步骤，而不是理解实际的概念。因此，学生只知道如何计算，但是他们不会解决涉及一个数学概念或者数学技能的实际问题。许多学生认为数学很难学，并需要一段很长的时间才能理解。当学生能够记住并重新表述事实，或者在考试中运用这些事实去解答问题时，这样的学生就被认为是已经成功地学习了数学的。因此，学生对数学概念的理解和掌握程度较低。
根据塔特、阿卜杜拉和塔利普[22]的观点，教师必须使用一种能深刻影响学生的理解的方法。萨班达尔[23]指出需要有挑战性的背景和问题来鼓励学生比他们过去学得更多。数学主要是以问题解决为导向的。因此，教师必须将数学与日常问题联系起来。为了提高学生的问题解决能力，数学教师必须提供具有多个可能的答案的、开放的实际问题[24]。在运用开放的问题的实际数学学习过程中，学生使用他们自己的问题解决方法，并理解他人运用的方法。这种能力是很重要的，因为数学几乎应用于生活的方方面面。
较少的研究表明数学的表现形式与解决数学问题之间的关系。Hwang、Chen、Dung和Yang[15]提到良好的问题解决能力是获得问题的准确解决方法的关键。加加特西斯和埃利亚[25]研究了四向表征，即口头表征、装饰图像表征、非正式图像表征和计数线表征在解决数学问题中的作用。当学生使用四种表征模式时，学生通常获得比其使用单一表征学习模式时更好的问题解决技能。Ling和Ghazali[26]发现数字符号和算术的表现形式是学生在解决问题时最常用的模型。这些符号包括来自一整套问题的答案检验。这项研究必须扩大到测量样本，直到研究的发现可以推广。代表性评估和问题解决策略都需要创建一个具体的标题。Hwang、Chen、Dung和Yang[15]利用多媒体白板系统研究各种各样的表现形式在数学问题解决过程中的能力和创造力的影响。他们发现不同学生的表达能力是有效解决数学问题的关键。因为研究的侧重点不在于表现形式和创造力对现实生活问题解决能力的直接影响，所以这项研究应该从研究对象的角度扩展，直到研究发现可以被推广。
数学信念是在数学学习方面发挥着至关重要的作用的情感领域的组成部分之一。情感因素决定学生学习数学的成功，包括态度、兴趣、自我概念和信念[27]。NCTM揭示了认知与情感方面在数学学习中的作用[28]。这两个方面对学生的数学表现都有影响。学生的数学信念可以影响与数学的教与学有关[3]的数学学科观。根据克鲁斯特曼[29]的说法，许多学生都有很强的数学信念。数学信念引起了许多数学教育研究者的关注，尤其是在其他国家。然而，在印度尼西亚，关于学生的数学信念的研究很少。学生的数学信念可以凭借教师运用的教学方法得到提高。Lee、Zeleke和Mavrotheris [30]研究了可以被扩展到对学生的状态与生活的环境的影响的学生信念的发展。Greer、Verschaffel和de Corte [31]认为学生的数学信念受到教师、教科书、学习策略以及学习活动中对他们周围的环境中存在的问题的运用的影响。相关因素影响着学生的数学信念的变化。因此，为了提高学生的数学信念，所有相关因素都应该被考虑。
算术是应用于日常生活中的数学学习课题之一。学生在理解与算术相关的问题时经历困难。学生所习得的概念不是由学生单独形成的。因此，学生无法在他们的记忆中保留这个概念。一旦学生学习了一个新的概念，他们就会忘记那个旧的概念。许多学生不是通过理解概念来解决问题的，而是依靠直觉或记忆解决问题的。作为学习过程的第一步，许多日常问题都可以通过比较来解决，以促进与语境相关的问题的选择。这一步使学生能够形成他们自己与主题相关的概念、原理和数学程序。根据培养学生在日常生活中运用数学及其思维方式这一数学学习的目标，我们试图开发一个符合RME方法的算术模块。根据Sunismi[32]的研究，表格2中的中学生的学习方法和增强的认知发展表明中学生在解决问题时对数学概念的理解存在着交互作用。Haji[33]提到学生解决问题的方法和能力之间缺少重要的互动。
其他研究也揭示了RME在数学学习中的作用。这项研究揭示了数学表征、数学信念和问题解决能力之间的关系。Warsito、Darhim和Herman[9]研究了RME方法对提高学生数学表征能力的影响。Meika、Suryadi和Darhim[10]将RME方法应用于学生解决组合问题时出现的错误。Yuanita和Zakaria[34]调查了以学生他们的能力为基础，运用RME方法教学的学生和进入普通班级学习的学生在数学信念上的差异。前期研究的结果表明RME可以有效地用于预测学生的数学表征能力、数学信念和问题解决能力。先前的一项研究提出了一种非常有效的RME学习方法；这种方法包括根据实际情况设计教学材料，以训练学生的思维能力。数学学习应该以一种通过对各种各样的背景问题的探索和RME对学生的态度、问题解决能力、学习兴趣或其他与数学学习相关的变量的影响，在教师的指导下，让学生有机会重塑思想和数学概念的形式进行。
Radzali、Meerah和Zakaria[35]研究了数学信念与数学问题解决的表征之间的关系。结果表明数学信念和数学表征有助于学生问题的解决。这项研究的发现很重要，因为没有其他研究已经考察过上述提及的因素。之前的一项研究专注于检验每一个单独说明的因素。然而，国内外将上述三种因素
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