小学课堂教师提问诱导学生数学思维的研究
原文作者 Megan L. Franke, Noreen M. Webb, Angela G. Chan, Marsha Ing, Deanna Freund ， Dan Battey
单位University of California,Rutgers University
摘要：认知指导教学(CGI)的研究人员发现，虽然教师很容易提出最初的问题来激发学生的数学思维，但他们很难跟随学生的想法。本研究调查了三位曾参与代数推理CGI专业发展的教师的课堂。我们详细描述了教师的问题，以及这些问题与学生的关系，从而使学生清楚地、完整地、正确地解释问题。我们发现在最初的“你是怎么得到的?”的问题，教师的问题和学生的回答存在很大的差异。
关键词：教学； 数学； 小学；
在整个课程中，教师都被要求深入研究并利用学生的思维。数学也不例外。数学教育研究人员已经收集了一致的证据，证明关注学生的思考的好处(Franke, Kazemi， amp; Battey, 2007;Jacobs, Franke, Carpenter, Levi， amp; Battey, 2007;Sfard amp; Kieran, 2001;Silver amp; Stein, 1996)。在过去的20年里，研究认知指导教学的研究人员与教师合作，分享关于学生数学思维发展的研究，并研究教师对这些信息的使用。这些研究人员发现，在学生解决了一个问题后，老师很容易开始向学生提问开放式的问题(例如，“你是如何解决那个问题的?”)，并能引出学生最初的解释。然而，教师发现，在学生试图详细说明自己的策略或与其他学生的策略相联系时，跟踪学生的解释并以支持学生的方式来追求学生的思维更加困难(Franke, Fennema, Carpenter, Ansell， amp; Behrend, 1998)。研究性证据的存在有助于教师实现从提出最初的问题到追求学生思维的转变。我们对教师实践的细节所知甚少，尤其是老师在帮助学生理清思路时所提出的问题。
一、背景
学生谈话被认为是课堂话语的主要组成部分，也是提高学生学习的一种手段:学生必须交谈，彼此之间以及在回答老师. . . .当学生公开猜测并与他人讨论数学问题时，思想和知识是相互协作发展的，这揭示了数学是由人类在智力共同体中构建的。 (National Council of Teachers of Mathematics, 1991, p. 34)
学生谈话可以通过两种相互关联的方式增加学生的数学知识和理解。首先，听学生说话可以让老师(和其他学生)监控学生的数学思维。教师可以使用从学生谈话中收集到的信息来指导他们的教学决策实践，包括提出问题和提出后续问题(Franke, Fennema， amp; Carpenter, 1997)。同样的，当学生们相互交谈时，他们的谈话使学生们能够衡量彼此的策略和理解，为学生们提供了帮助彼此建立更完整的数学理解的机会。第二，说话的行为本身可以帮助学生提高理解能力。描述、解释和证明自己的想法都有助于学生内化原则，构建解决问题的具体推理规则，意识到误解和理解不足(Chi, 2000)，在自己的头脑中重组和澄清材料，填补理解的空白，内化和获取新的战略和知识，发展新的视角和理解(Bargh amp; Schul, 1980;王,1992;罗格夫,1991)。
并不是任何一种学生谈话都能有效地支持或挑战学生的思维。提供解释与成就结果正相关，即使在之前的成就被控制的情况下，而只给出答案与成就结果不相关或负相关(Webb amp; Palincsar, 1996)。除了提供答案，学生必须描述他们如何解决问题，以及为什么他们提出某些策略和方法。此外，当描述他们的想法时，学生必须准确地谈话，特别是提供足够的细节和使参考对象清楚，这样老师和同学可以理解他们的想法(Nathan amp; Knuth, 2003;Sfard amp; Kieran, 2001)。
二、教师行动支持学生的解释
尽管证明了学生的思想的重要性，“以教师为中心的教学继续主导中小学课堂”。在大多数课堂中，学生很少提问，而教师的谈话通常主导着课堂话语。此外，绝大多数教师的提问都是由简短的回答、低层次的问题组成，要求学生回忆事实、规则和程序。而不是要求学生进行推理和综合想法的高水平问题。国际间的比较反映了这些发现。在美国课堂上，学生缺乏讨论数学思想之间的联系和对数学概念进行推理的机会，这是第三次国际数学与科学研究最主要的成果。此外，这些对学生参与水平的描述与20多年前的描述相呼应。
然而，我们从越来越多的研究中知道，教师的问题会促进学生参与任务，塑造课堂环境的性质，并为学习高级数学创造机会。我们还知道，教师的问题可以作为一种方式，以特定的方式引导学生完成任务，确保他们得到正确的答案。在问题的类型和问问题的时间上找到平衡，可以对学生继续参与的方式产生很大的影响。
许多研究人员已经开始明确教师可能采取的措施，以支持学生使他们的数学思维明确，如要求学生公开分享他们的想法，并使用这些想法作为谈话的基础。例如，Wood(1998)研究了教师在支持学生进行解释时所扮演的角色，发现教师使用了不同的方法:承担一些数学作业，并将学生推向教师认为最关键的方向(“漏斗”)，而不是以关注学生解释中的特定方面来鼓励学生做大部分的数学作业，这没有引导学生走向特定的、预定的方向(“聚焦”)。
在数学课堂上，教师如何通过提问帮助学生参与，使他们明确自己的数学思维，并引导他们制定完整、正确的策略，这方面还有很多有待了解的地方。在这项研究中，我们仔细观察了教师在与学生进行数学对话时提出的问题，以及学生参与教师提问的方式。
三、方法
在Jacobs及其同事(2007)对专业发展进行大规模研究的基础上，我们选择了从事代数推理专业发展一年多的教师。在这篇文章中，我们关注的是三间教室和教师提问的方式来帮助学生拓展他们的数学思维。我们选择这些教师进行观察和分析，因为他们来自类似的学校，教授类似的概念和技能，使用类似的课堂结构(结合合作小组和全班讨论解决问题的策略)，但在代数思维的后测中，学生表现出了实质性的差异。我们对这些教室里的对话进行了录像和录音，这样我们就可以记录下学生对老师和彼此间说的话，从而我们就可以仔细分析教师实践和学生参与之间的关系。
（一）参与者
这里分析的三个小学教室(两个二年级，一个三年级)来自南加州的一个大城市学区。在代数思维专业发展和大规模研究之前，地区行政人员和教师认识到在小学从事代数推理的价值，并正在进行全面的学校改进的长期计划。当研究开始的时候，学区已经是新领导班子的第二年了，学区有过表现不佳的历史，而且学区外的人长期以来都有一种感觉，认为学区永远不会有好的表现。根据该州的排名系统和标准化考试分数，它是加州表现最差的学区之一。和许多城市学区一样，聘用和留住合格的教师是一项艰巨的任务。尽管该地区正在取得进展，但在研究开始时，该地区只有57%的教师持有证书，30%的教师处于第一年或第二年的教学阶段。这个地区所服务的社区已经从以非洲裔美国人为主转变为以拉丁裔美国人为主，在我们工作的时候，学校所服务的学生中99%是少数族裔，52%是英语学习者，93%的学生获得了免费或优惠午餐。
（二）职业发展计划
教师参与专业发展意味着探索学生代数推理的发展，特别是这种推理如何支持学生对算术的理解。专业发展内容，取自《数学思考》:初级学校的算术和代数集成(Carpenter, Franke， amp; Levi, 2003)强调了“关系思维”，包括(a)理解等号作为一个关系的指标，(b)使用数字关系来简化计算，以及(c)生成、表示和证明关于基础的猜想。专业发展关注学生的数学思维，其目标是帮助教师成功详细地描述学生的问题解决方案，组织他们对学生思维的知识，并使用这些信息来指导教学。教师被鼓励让学生以自己的方式解决问题，让学生参与对话，帮助他们解释自己的思考，并辩论他们这样思考的理由。
（三）程序
在一周的时间里，我们对每位老师的课进行了两次录像。为了尽可能多的学生(每间教室12人)捕捉视频和音频，我们使用了两台摄像机(记录8名学生)和6台录音机(记录另外4名学生)。每个摄像机有两个音频输入连接到平面麦克风(麦克风;4个平板麦克风)，这样8个学生可以同时录音。每个平板麦克风被放置在两个学生之间。对于只录音的学生，除了两个学生之间的平面麦克风，每个学生都有一个单独的翻领麦克风(每个连接到不同的录音机)。将平板麦克风和单个麦克风的录音进行三角定位，可以帮助学生识别只被录音的演讲者。
（四）课堂作业问题
在我们观察他们上课的日子里，老师们被要求让学生们围绕着等号和关系思维进行数学作业，这些主题是代数思维专业发展项目的核心。以下是例题:(a) 50 50 = 25 □ 50; (b) 11 2 = 5 8(对还是错?)
（五）学生和教师参与的编码
用来分析这些数据的编码方案强调了教师用来激发学生个体思考和激发数学讨论的提问练习。这个捕捉学生和教师参与的方案是不断发展的，它既来自于有关数学谈话的文献，也来自于我们对数据的回顾和讨论。
（六）识别部分
课堂互动遵循一个标准结构:教师提出一个问题，学生在由两到四名学生组成的小组中讨论解决方案，然后老师带领全班讨论这个问题，再继续下一个问题。在本文中，我们关注的是课堂互动的全班部分。
有些全班讨论一个问题的时间相当长，几个学生有机会分享他们的想法。为了确保我们抓住了讨论的充分深度，并在上下文中保持编码，我们将整个班级的章节分成了几个部分。我们将一个环节定义为教师和学生之间的延伸互动或讨论，在这个环节中，学生至少有两次对话。虽然有些路段只有两个转弯，但其他路段要长一些。从老师叫到一个学生的时候开始，老师叫到另一个学生或者转到一个新问题的时候结束。在课堂讨论中，教师有时会将讨论引向整个班级，而不是单个学生，多个学生在没有被老师点名的情况下同时参与讨论(我们称这种互动为全班合唱讨论)。如果老师在全班合唱讨论后回到原来的学生身边，那么当与原来的学生的互动结束时，这个环节也就结束了。这里分析的片段总数是66个。每个老师的课段数从10节到28节不等。
（七）老师提问
我们特别关注了老师提出的问题，以跟进学生最初的解释，并建立在学生的想法上。这些问题通常出现在要求学生澄清模棱两可的解释、要求学生揭示潜在错误的推理、要求学生进一步阐述解决问题的策略以及突出重要数学思想的问题。
我们的迭代分析过程使我们确定并检查了四种类型的教师提问实践，教师用来帮助学生明确思考:一般问题、具体问题、探究特定问题的序列，以及引导性问题(这些提问实践将在后面的章节中说明)。一般问题与学生说的任何具体问题无关。具体的问题涉及学生解释中的具体内容。探究一系列具体问题包括一系列两个以上的相关问题，这些问题是关于一个学生说的某件具体事情，包括多个教师问题和多个学生回答。在引导性问题中，教师引导学生找到特定的答案或解释，并给予学生回答的机会。
表 1学生解释的例子
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正确和完整的 |
问题:20 10 = 10 □ |
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二十加十等于三十，所以hellip;hellip;平等 |
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符号意味着必须是一样的，所以如果 |
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这里有个10，那么20一定是在那里。20加10等于30,10加20是30. |
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模糊或不完整 |
问题:100 □ = 100 50 |
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50就在这里，因为它必须是相同的数字。 |
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不正确 |
问题:4 9 = 5 times; 3minus;2（对or错） |
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我认为它是错的，因为4 9是 |
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13，5 times; 3等于15。这两个数不匹配 |
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在两个部分中，老师提出了不属于之前类别的问题，我们把这些标为其他问题。
值得注意的是，教师参与了其他帮助学生清晰思考的实践，例如回顾或重复学生的答案或解释，描述他们认为学生用来解决特定问题的策略，并在学生的解释中强调数学思想。我们没有分析这些实践，因为主要负责描述或总结学生思维的是老师，而不是学生。我们将重点放在教师提问上，因为这一套实践是教师帮助学生清晰思考的主要方法。
（八）学生的参与
使用课堂演讲和录像，我们将学生参与分为两类:(a)给出或暗示答案的准确性(正确、错误或没有)和(b)给出的解释的性质(正确和完整;模糊或不完整;或不正确的;例见表1)。我们也注意到学生对代数推理工作的解释类型(具体来说，计算和关系思维的解释;见Carpenter等人，2003年)。我们目前的分析认为这两种解释都是正确和完整的。
四、结果
（一）教师提问实践的描述
教师要求学生分享自己的想法的指令。在整个课堂教学中，老师经
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