美国城市人口分散的开始与结束: 应用密度分布指数的新见解
原文作者 Thomas M. Guterbock
单位 Department of Sociology, University of Virginia, P.O. Box 400766
摘要：美国城市地区什么时候开始经历大规模的人口分散？人口分散的趋势最近结束了吗？这些问题很难回答，部分原因是许多研究人员依赖负指数密度-距离函数的密度梯度作为人口密度的有效指标。本文描述了另一种替代方法，密度分布指数(DDI) ，由密度梯度和中心密度计算得出。与梯度不同，DDI 在数学上和经验上都与人口规模正交，因此不受城市增长率不同的影响。本文首先根据Edmonston对大都市区密度函数的估计(1975年)，计算了其从1900年到1970年DDI分数。结果表明，二战结束时，分散化趋势开始显现。对 SMSAs 1950-1980(Guterbock，1990a)的DDI估计显示，分散化趋势在1980年持续强劲。根据聚集成环形环的小面积数据，计算了1990年至2015年美国119个城市地区的新密度函数。这些数据显示，1990-2015年的平均浓度水平几乎没有变化。2015年，三分之二的城市地区的人口集中程度高于以前，超过 90% 的大城市也是如此。可以看出，二十世纪的主要趋势之一——城市人口分散化——在美国大多数城市地区在二十一世纪初的某个时候结束了。研究结果表明，DDI 作为衡量城市集中度的指标具有更广泛的应用价值。
关键词：密度梯度;克拉克定律;人口分散;郊区化;密度分布指数;负指数密度函数;
本文有三个目的: (1)向更广泛的受众介绍密度分布指数(Density Distribution Index) ，这是一种基于负指数密度函数的城市人口密度与规模无关的测量方法; (2)显示美国大都市地区人口快速分散的趋势实际上是从何时开始的; (3)显示美国大多数城市地区在过去 25-30 年中人口分散的趋势已经结束。已发表的关于城市密度概况的研究在很大程度上未能记录这些重要的弹性点，因为研究人员没有充分探讨负指数密度函数的参数与人口规模以及人口增长之间的关系。
1. 问题
自 Clark (1951)首次提出负指数密度-距离函数以来，对城市形态的研究取得了一定的进展。但是，正如下面将要看到的，研究人员在试图应用克拉克定律来衡量城市分散度时面临着令人烦恼的问题。问题不在于克拉克定律，因为负指数函数仍然适用于大多数城市地区。相反，问题在于该函数的参数通常是如何解释的。邓肯(1959:697)在60多年前的圣人评论中承认了整个问题: 这是一个比一般的概念化和测量困难更大的研究领域。研究人员往往天真地接受了城市社区中心部分和周边部分之间增长率差异的研究结果，认为这是“郊区化”或“地方分权”的具体进程的证据，而没有试图在这些所谓的进程与在社区周边地区发生扩张的正常趋势之间作出实际区分。
如今，大多数城市研究人员确实了解将中心城市增长率与郊区增长率进行简单比较的危害; 他们转而评估总体人口密度概况，以努力避免这些危害(Broitman amp; Koomen，2019; Kotharkar amp; Bahadure，2020; Qiang et al。，2020; Wang amp; Zhou，1999)。然后许多人使用密度梯度b，作为在给定时间点上每个城市区域集中的度量。然而，在这样做的过程中，他们无意地接受了邓肯所指出的猜测性假设：任何外围国家的增长率高于中心国家，都应该被理解为去中心化。
- 理论
为克拉克定律辩护。Clark 提出，城市的人口密度是距离市中心距离的负指数函数，可以用方程 Dx = ae-bx (1)来描述，其中 x 代表距离市中心的距离，Dx 代表距离 x 处的人口密度，e 是自然对数系统的基础。如果我们取两边的对数，我们得到一条直线 lnDx= lna-bx (2) ，密度梯度 b 表示直线的斜率，中心密度的对数 a 表示直线的截距。克拉克将小面积的数据汇总成环绕每个城市中心1英里的环，然后表明，记录的环密度通常与预测的线性模式非常吻合。
研究人员已经确定了几个与负指数密度剖面有关的问题。人口密度分布图经常显示在靠近中心的地方有一个“密度陨石坑”，那里非住宅土地使用往往占主导地位。日志密度的线性拟合受到这些偏差的影响。一些研究人员提出了其他数学函数，如幂函数、高斯函数或三次样条函数，这些函数可能更接近于经验密度数据(Newling，1966; Zheng，1991; 参见Qiang 等人2020的综述) ，或其他方法，如基尼指数、胡佛指数或 ROXY 指数(Kawashima 等人，2014; Rogerson amp; Plane，2012; Tsai，2005)。然而，Clark的简单负指数函数仍然是应用最广泛的，部分原因是它可以在没有小面积数据的情况下进行评估(White，1977) ，还因为密度-距离函数得到 Muth (1961)和 Mills (1972a)发展的城市空间结构经济模型的支持。
除了密度弹坑的问题，还有其他关于功能的适合性的问题。实际的密度分布往往随着城市中心的方向而变化，沿着交通路线或关键设施的密度较高(Newling，1966; Zheng，1991)。克拉克定律使用一个单一的中心，但是大型的现代城市区域往往是多中心的。将城市小面积密度数据绘制成三维图形时，复杂密度面与克拉克定律所暗示的光滑曲线密度面不一致。因此，当小面积数据直接按照距离进行回归(没有聚合成环状)时，对直线的拟合相当差。用于这些回归估计的小区域(例如人口普查区域)往往更小，更多地靠近中心，而不是靠近外围，因此需要使用加权回归进行无偏估计(Frankena，1978)。这是更大的“可调整地区单元问题(MAUP)”的一个要素，它解决了测量的密度模式可能因选择哪个面积单元而不同的问题(Openshaw，1983)。在芝加哥的一个案例研究中，Wang 等人(2019年)应用蒙特卡罗模拟来生成等大小的替代空间单位，他们甚至认为，负指数函数的拟合是基于人口普查确定的单位的回归的人为产物。
尽管如此，在克拉克最初的研究中，小面积的数据聚合成环状，通常能很好地适应负指数曲线。MAUP问题最直接地适用于基于单独的小区域的估计; 当许多小区域聚合成环形环时，其特定形状或范围的畸变对拟合环形数据的回归线的参数的影响应该较小。Guterbock(1990b)分析了1975年东京大都市1千米的“网格平方”数据。如果将距离市中心65公里范围内10,245个格点的人口密度与距离作图，则线性相关系数的R2仅为0.278。当聚合成66个1公里的环时，记录的环密度与R2 = 0.958 的直线非常吻合。对于2015年的芝加哥(使用下面提供的新数据) ，如果将5940个人口普查区块组(中心45英里以内)的记录密度与距离作图，得出的R2仅为0.401; 相同的区块组合成46个1英里环，得出的R2 =0.931。最近，Qiang 等人(2020)估计了1990年和2016年美国382个MSA的三种不同的密度函数(负指数函数、高斯函数和反幂函数) ，将普查块组合成环状“环”(基于估计的通勤时间而不是线性距离)。负指数函数在所有lvioH中具有最低的平均均方根误差，然后作者使用它的参数b作为他们的主要浓度测量。正如其应用的持续性所证明的那样，克拉克定律在比较描述一个城市地区的总体人口集中水平以及这些水平如何随着时间的推移而变化方面是非常宝贵的。
密度梯度作为浓度测量的不足之处。我们这个领域在理解城市分散过程中遇到的困难是因为研究人员已经使用密度梯度(b)作为人口集中的主要度量。正如下面将要看到的，许多人没有认识到 b 具有复杂的测量特性，这使得它具有误导性; 它没有统计学上的良好表现。此外，密度梯度不能独立于中心密度(a)来解释，因为给定人口规模，它们在数学上是相互依赖的。
密度梯度与城市地区的人口规模有着强烈的负相关。这种相关性已经在许多研究中被注意到(Muth，1961; Edmonston，1975; Glickman，1979; 加上McDonald，1989引用的其他研究)。大小与梯度值之间的强烈负相关关系被认为是一个实质性的发现，而不是被认为是与浓度测量相混淆的一个问题。更罕见的是，也有一些研究试图同时考虑人口规模和密度函数(Lemoy amp; Caruso，2020)。这种相关性意味着，密度梯度的绝对值的下降与城市地区的人口增长率密切相关。当将多个城市的密度梯度与人口规模的对数作图时，得到的散点图显示出强烈的负斜率，小城市的 b 值方差比大城市大得多。图 1 显示了2010年美国119个城市地区密度梯度新估计值的关系(下面描述的方法)。同样的模式也可以在Glickman 的日本密度梯度数据(1979 年; Guterbock (1990b)的图表中看到; 在Rees的美国SMSA (1950 年)的数据(Rees，1968 年，Berry amp; Horton，1970 年:图 9-4b)中看到; 在Edmonston的美国1960年城市化地区的密度梯度估计(1975 年，Guterbock，1982 年)中看到; 在 Qiang 等人最近的美国MSA的密度梯度估计(2020年，图 5a)中看到。
图 1. 美国 119 个城市地区 2010 年人口规模日志密度梯度。
使用 b 作为衡量城市集中度的一个相关问题是，当一个小城市发展时，它的密度梯度会迅速下降，但是在一个大城市，类似的增长率会导致 b 的下降幅度较小。此外，初始 b值越高，b 的绝对变化就越容易发生。结果是小地方 b 值的波动性更大，正如 Qiang 等人(2020)中的美国MSAs清楚地说明的那样: 图5b。这些事实使得人们难以解释不同或变化规模的城市地区的密度梯度的变化。
Mills (1972b: 96)指出，只有当都市区的所有部分都具有相同的增长率时，密度梯度才保持不变。边远地区较高的增长率总是会导致密度梯度的降低。因此，如果我们使用密度梯度来衡量城市集中度，我们隐含地将稳定的集中度等同于在距离中心的所有距离上的相同增长率和一个恒定的中位人口距离，因为中位距离只是 b 的函数(xm = 1.678/b)。如果一个具有负指数密度分布和给定密度梯度 b 的城市地区的人口增加了10%，并且该梯度的值保持不变，那么该城市各部分的人口密度将增加10%，而人口中位数距离将保持不变，尽管规模有所增加。很难理解为什么这个城市区域不会被认为比以前更加集中。
简而言之，如果我们要更成功地比较不同城市地区和随着时间的推移人口的集中程度，我们就需要一种行为良好的集中度衡量标准: 这种衡量标准(不同于b)不受规模的偏见和规模的同方差影响，允许随着城市地区人口的增长，在大小城市地区和随着时间的推移进行有意义的比较。
密度分布指数。密度分布指数或 DDI (Guterbock，1981,1990a)是一种基于负指数密度函数的与规模无关的城市人口密度测度。它是由一个城市地区的密度梯度(b)和中心密度(a)计算出来的公式如下: DDI = lna 1-2lnb (3)
这一措施的理由始于 Clark (1951:491)的观察，即以密度函数的不定积分计算具有负指数密度函数的城市地区的总人口，得出: Pt = ga/b2(4) ，其中 g 是以弧度为单位的扇区大小(围绕中心的固定土地弧线)。利用方程的对数形式，我们得到 lnPt = lng lna-2lnb (5) ，表明对于任意给定的扇区大小，种群大小的对数是对数 a 和 b 的线性组合。因此(给定扇区大小) ，如果已知 Pt 和 a，则确定 b; 如果已知 Pt 和 b，则确定 a。换句话说，有三个量(Pt，a 和 b) ，但只有两个自由度。给定一个城市区域的扇区规模和人口规模，我们可以得到一个相对平坦或陡峭的负指数函数。DDI 描述了这个函数的整体陡峭度或平坦度。如 Eq (5)所示。总种群规模的对数是对数 a 和对数 b 的线性组合，DDI 是与种群规模的对数在数学上正交的两个参数的唯一线性函数。
图 2。Phillip Rees 绘制的图表显示了中心密度和密度梯度与种群大小的关系(摘自 Berryamp; Horton，1970，图 9-8a)。
DDI 与种群大小的正交性可以用图形来表示。Phillip Rees (1968)发展的图表，发表在 Berry 和 Horton (1970，图 9-8a)上，表明任何负指数密度函数可以用图上的一个点来表示，这个点在 x 轴上有 ln b，在 y 轴上有 ln a (假设扇区大小为常数 g)。反映了 Eq (5)上面显示的关系，Pt 值的第三个轴斜穿过稀土元素图，从右到左逐渐增加，种群等值线垂直于该轴(见图 2)。
图 3. 稀土类型图中测量浓度的三种方法。
图3说明了基于其在密度函数图中的位置可以评估城市人口集中程度的三种方式。图中显示了五个假设的城市(a 到 e)。传统的做法是根据 b 值(密度梯度)来比较城市。通过这种方法，e 城市最集中，a 城市最少。在图 3 的图 b 中，城市按照它们的中心密度进行了比较，这将认为城市 c 是最集中的，而 a 是最小的。在实践中，研究人员有时讨论或报告中心密度估计，但不使用它们作为人口密度的主要措施(麦克唐纳，1989:381)。在图 c 中引入了第三个轴，垂直于人口轴，表示 DDI 的值。因此，DDI
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The beginning and the end of urban population deconcentration in the United States: New insights from application of the Density Distribution Index
Thomas M. Guterbock
Department of Sociology, University of Virginia, P.O. Box 400766, Charlottesville, VA 22904-4766, USA
ARTICLE INFO
Keywords: Density gradient ; Clarks law ; Population deconcentration ; Suburbanization ; Density Distribution Index ; Negative exponential density function ;
ABSTRACT
When did U.S. urban areas begin to experience substantial population deconcentration? Has the deconcentration trend recently ended? These questions have been difficult to answer, in part because many researchers have relied on the density gradient of the negative exponential density-distance function as a valid indicator of population concentration. This article describes an alternative, the Density Distribution Index [DDI], calculated from the density gradient and the central density. Unlike the gradient, the DDI is both mathematically and empirically orthogonal to population size, and thus is unaffected by differing rates of urban growth. This article first calculates DDI scores for metropolitan districts from 1900 to 1970, based on Edmonstons estimates of their density functions (1975). The results indicate that the deconcentration trend took off in earnest at the conclusion of World War II. DDI estimates for SMSAs 1950–1980 (Guterbock, 1990a) show the deconcentration trend continuing strongly through 1980. New density functions are calculated for 119 U.S. urban areas for 1990 to 2015, based on small area data aggregated into annular rings. These data show that average concentration levels 1990–2015 were virtually unchanged. Two-thirds of the urban areas had higher levels of concentration in 2015 than they had earlier, and this was true of over 90% of the largest cities. It can be seen that urban population deconcentration, one of the master trends of the twentieth century, ended for most U.S. urban areas sometime near the start of the twenty-first. The results demonstrate the broader utility of the DDI as a measure of urban concentration.
This article has three purposes: (1) to introduce to a wider audience the Density Distribution Index, a size-independent measure of urban population concentration based on the negative exponential density function; (2) to show when the trend of rapid population deconcentration actually began for U.S. metropolitan areas; and (3) to show that the deconcentration trend has come to an end for most U.S. urban areas in the last 25–30 years. Published studies of urban density profiles have largely failed to register these important flex points because researchers have not adequately dealt with the ways in which the parameters of the negative exponential density function are related to population size and hence to population growth.
1. The problem
Research into urban form has made some progress since Clark (1951) first showed that a negative exponential density-distance function provided a very good fit to the density profiles of urban areas in different time periods and cities around the world. But, as will be seen below, researchers have faced vexing problems in trying to apply Clarks law to gauge urban deconcentration. The problem is not Clarks law, for the negative exponential function continues to fit most urban areas quite well. Rather, the problem lies with how the parameters of that function are usually interpreted. The overall problem was recognized more than sixty years ago in sage remarks by Duncan (1959: 697): This is a field of research with more than ordinary difficulties of conceptualization and measurement. All too often researchers hellip; have somewhat naively accepted findings of differential growth rates between central and peripheral portions of urban communities as evidence of a specific process of “suburbanization” or “decentralization,” without attempting an operational distinction between these alleged processes and the normal tendency for expansion to occur on the periphery of the community area.
Most urban researchers today do understand the hazards of simply comparing central city growth rates to suburban growth rates; they instead evaluate overall population density profiles in an effort to avoid those hazards (Broitman amp; Koomen, 2019; Kotharkar amp; Bahadure, 2020; Qiang et al., 2020; Wang amp; Zhou, 1999). Many then use b, the density gradient, as a measure of each urban areas concentration at a given point in time. In doing so, however, they inadvertently accept the questionable assumption that Duncan pointed to: that any higher growth rates in the periphery than in the centre should be understood as deconcentration.
2. Theory
In defense of Clarks Law. Clark proposed that the population density of cities is a negative exponential function of distance from the centre, as can be described in the equation Dx = ae-bx (1) where x represents distance from the citys centre, Dx represents the population density at distance x, and e is the base of the system of natural logarithms. If we take the log of both sides, we get a straight line lnDx = lna - bx (2) with the density gradient b representing the slope of the line, and the log of the central density a representing the lines intercept. Clark aggre gated small area data into 1-mile rings around each city centre, and then showed that the logged ring densities generally produced a close fit to the predicted linear pattern.
Researchers have identified several concerns with the negativeexponential density profile. Population density profiles often show a lsquo;density craterrsquo; near the centre, where non-residential land uses tend to predominate. The linear fit of logged densities is affected by those deviations. Several researchers have proposed other
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