7.10 基于频率响应法设计控制系统外文翻译资料

 2022-09-27 11:37:50

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7.10 基于频率响应法设计控制系统

在第六章中，我们介绍了根轨迹的分析和设计。根轨迹法被证明对改变闭环控制系统的瞬态响应特性非常有用。根轨迹法提供了闭环控制系统瞬态响应的直接信息，而另一方面，频率响应法则间接地提供了这些信息。但是，正如我们在本章最后三节内所看到的那样，频率响应法在控制系统的设计中是非常有用的。

对于任何设计问题，设计者都要合理地利用这两种方法去设计并选择出最接近人们所期望的闭环响应。

在大多数的控制系统设计中，瞬态响应特性通常是非常重要的。在频率响应法中，我们以间接的方式来描述瞬态响应特性。也就是说，瞬态响应特性是以频域量的形式表征的，包括相位裕度、增益裕度、谐振峰值幅值（给出系统阻尼的粗略估计）、增益交界频率、谐振频率、带宽（给出瞬态响应速度的粗略估计）和静态误差常数（给出稳态精度）。虽然瞬态响应和频率响应之间的关系是间接的，但是频域的指标可以容易地适用于Bode图方法。

在设计开环之后，便可以确定闭环极点和零点了。然后就应该检查它的瞬态响应特性，看看所设计的系统是否满足时域内的要求。如果不能满足要求，则必须改变校正装置并重新进行分析，直至得到满意的结果。

频域内的设计是简单而直接的，频率响应图虽然不能对瞬态响应特性做出确切的定量预测，但却可以清楚地指出系统应该改变的方式。采用频率响应法，可以使系统或者元件的动态性能以频率响应数据的形式给出。这是因为对于某些元件，例如气动和液压元件的动态方程，推导过程比较困难，所以这些元件的动态性能通常是通过频率响应测试实验确定的。当使用Bode图法时，由实验所得到的频率响应图可以容易地与其他频率响应图结合。而且对于处理高频噪音，我们发现频率响应法比其他的方法更为方便。

在频域设计中，基本上有两种方法，一种是极坐标图法，而另外一种是Bode图法、当需要加校正装置时，极坐标图就不再保持原来的形状，因此需要绘制新的极坐标图，这会花费更多的时间因而不方便。另一方面，校正装置的Bode图可以容易地叠加到原来得Bode图上，因此绘制出完整的Bode图是一件简单的事情。除此之外如果改变开环增益，幅值曲线将会上升或者下降，但不会改变曲线的斜率，相角曲线也将保持不变。因此从设计的角度看，最好采用Bode图法。

应用Bode图进行设计的通常方法是先调整开环增益，以满足对稳态精度的要求。然后绘制出未校正开环（开环增益已经调整）系统的幅值曲线和相角曲线。如果对相位裕度和增益裕度量提出的性能指标不能满足，则可确定合适的校正装置来改变开环传递函数。最后，如果还需要满足其他的要求，都应该尽量满足这些要求，除非这些要求之间有矛盾。

7.10.1 从开环频率响应可以获得的信息

轨迹的低频区（远低于增益转角频率的区域）表征了闭环系统的稳态特性，轨迹的中频区（靠近增益交界频率的区域）表征了相对稳定性，轨迹的高频区（远高于增益交界频率的区域）表征了系统的复杂性。

7.10.2 开环频率响应的要求

在大多数的实际情况中，校正问题实质上是一个在稳态精度与相对稳定性之间取折中的问题。

为了获得比较高的速度误差常数值以及令人满意的相对稳定性，必须改变开环频率响应曲线的形状。

在低频区的增益应该足够大，并且要在增益交频率附近，Bode图中对数幅值曲线的斜率应为-20dB/十倍频程。这个斜率应该延伸到足够宽的频宽，以保证适当的相位裕度。对于高频区域，则应该使增益尽可能地衰减下来，以便于减少噪声的影响。

图7-89中表示了一些通常希望和不希望的开环和闭环频率响应曲线的例子。

参考图7-90，如果轨迹的高频部分遵循G1(jomega;)轨迹变化，轨迹的低频部分遵循G2(jomega;)轨迹变化，则可以绘制出开环频率响应曲线的变化曲线。变化后的轨迹Gc(jomega;) G1(jomega;)应当具有适当的相位和增益裕度，或者应当与合适的M圆相切，如图7-90所示。

图7-89 (a)希望的和不希望的开环频率响应曲线例子

(b)希望的和不希望的闭环频率响应曲线例子

图7-90 开环频率响应曲线的变形

7.10.3 超前、滞后和滞后-超前校正的基本特征

超前校正能使瞬态响应得到显著的改善，稳态精确度的改变则很小，它可以增强高频噪声效应。另一方面，滞后校正是稳态精确度得到显著提高，但瞬态响应的时间却随之增加，滞后校正能抑制高频噪声信号的影响。滞后-超前校正综合了超前校正和滞后校正两者的特性。采用超前或者滞后校正装置后，系统的阶次增加一阶（除非校正装置的零点与未校正开环传递函数的极点之间产生了抵消）。采用滞后-超前校正后，系统的阶次增加两阶（除非滞后-超前校正装置的零点与未校正开环传递函数的极点之间产生了抵消），这意味着系统会变得更加复杂，并且会更难控制其瞬态响应特性。具体的情况决定所需要采用的校正形式。

7.11 超前校正

我们首先讨论超前校正装置的频率特性，然后介绍应用Bode图设计超前校正的方法。

7.11.1 超前校正装置特性

考虑一个超前校正装置，它具有下列传递函数：

公式中alpha;成为超前校正装置的衰减因子。超前校正装置的零点位于s=-1/T，极点位于s=-/(alpha;T)。因为0lt;alpha;lt;1，所以在复平面上，零点总是位于极点的右方。当alpha;的值很小时，极点将位于左方很远的地方。alpha;的最小值受到超前校正装置物理结构的限制，通常取0.05左右，这意味着超前校正装置可以产生的最大相位超前大约为65°[见方程7-25]。

图7-91 超前校正装置alpha;(jomega;T 1)/(jomega;alpha;T 1)的极坐标图，其中0lt;alpha;lt;1

图7-91画出了下列传递函数的极坐标图：

图7-91是在Kc=1的条件下绘制出的。对于给定的alpha;值，正实轴与从零点到半圆所作切线之间的夹角，给出了最大相位超前角Фm。设切点的频率为omega;m。由图7-91可以看出，omega;=omega;m时的相角为Фm，其中

方程（7-25）表示了最大相位超前角与alpha;值之间的关系。

图7-92所示为当Kc=1和alpha;=0.1时，超前校正装置的Bode图。超前校正装置的转角频率为omega;=1/T和omega;=1(alpha;T)=10/T。观察图7-92可以发现，omega;m是两个转角频率的几何中点，即

图7-92 超前校正装置alpha;(jomega;T 1)/(jomega;alpha;T 1)的Bode图，其中alpha;=0.1

由图7-92可以看出，超前校正装置基本上是一个高通滤波器（高频部分通过，低频部分被衰减）。

7.11.2 基于频率响应法的超前校正

超前校正装置的主要作用是改变频率响应曲线的形状，产生足够大的相位超前角，以补偿原系统中的元件造成的过大的相角滞后。

考虑到图7-93所表示的系统。假设性能指标是以相位裕量、增益裕量、静态速度误差常数等形式给出的。利用频率响应法设计超前校正装置的步骤描述如下：

图7-93 控制系统

  1. 假设有下列超前校正装置：

定义

则有

校正系统的开环传递函数为

式中

确定增益K，使其满足给定静态误差常数的要求。

  1. 利用已经确定的增益K，绘制出增益已经调整但尚未校正的系统G1(jomega;)的Bode图。求相位裕量。
  2. 确定需要对系统增加的相位超前角。因为增加超前校正装置后，会使增益交界频率向右方移动，并且减小了相位裕量，所以要求额外增加相位超前角5°到12°。
  3. 利用方程（7-25）确定衰减因子alpha;。确定未校正系统G1(jomega;)的幅值等于-20log(1/)的频率，选择此频率作为新的增益交界频率。该频率相应于omega;m=1/(T),最大相位移Фm就发生在这个频率上。
  4. 超前校正装置的转角频率确定如下：
    超前校正装置的零点：
    超前校正装置的极点：
  5. 利用在第一步中确定的K值和第四步中确定的alpha;值，再根据下式计算常数Kc：
  6. 检查增益裕量，确认它是否满足要求。如果不满足要求，通过改变校正装置的零-极点位置，重复上述设计过程，直到获得满意的结果为止。

例7.26 考虑图7-94所示的系统。该系统的开环传递函数为

图7-94 控制系统

如果要使系统的静态速度误差常数Kv为20s-1，相位裕量不小于50°，增裕量不小于10dB，试设计一个系统校正装置。

我们将采用下列形式的超前校正装置：

已校正系统具有的开环传递函数为Gc(s)G(s)，

定义

式中K=Kcalpha;。

设计的第一步工作是调整增益K，以满足稳态性能指标，即提供要求的静态速度误差常数。因为该常数给定为20s-1，所以

即 K=10

当K=10时，已校正的系统将满足稳态要求。

然后我们绘制出下列函数的Bode图：

图7-95 G1(jomega;)=10 G(jomega;)=40/[jomega;(jomega; 2)]的Bode图

图7-95表示了G1(jomega;)的幅值和相角曲线。由此图求出系统的相位和增益裕量分别为17°和 infin;dB（17°的相位裕量意味着系统具有相当强烈的振荡。因此虽然系统满足稳态性能指标，但却提供了不良的瞬态响应特性），性能指标要求相位裕量不低于50°因此为了满足相对稳定性要求，就需要补充增加的相位超前为33°。为了能在不减小K值的情况下获得50°的相位裕量，超前校正装置必须提供必要的相角。

增加超前校正装置会改变Bode图中的幅值曲线，这时增益交界频率会向右移动，必须对增益交界频率造成的G1(jomega;)的相位滞后增量进行补偿。考虑增益交界频率的移动，可以假设需要的最大相位超前量Фm近似等于38°（这意味着其中5°是为了补偿增益交界频率的移动）。

因为

所以Фm=38°相应于alpha;=0.24。一旦根据必要的相位超前角，将衰减系数alpha;确定下来，就可以确定超前校正装置的转角频率omega;=1/T和omega;=1/(alpha;T)。可以看出，最大相位超前角Фm发生在两个转角频率的几何中点上，即omega;=1(T)[见方程7-26]。在omega;=1(T)点上，由于包含 (Ts 1)/(alpha;Ts 1)项，所以幅值曲线的变化量为

注意到

并且｜G1(jomega;)｜=-6.2dB相应于omega;=9 rad/s，我们将选择此频率作为新的增益交界频率omega;c。这一频率相应于1/(T)，即omega;c=1/(T)，于是有

且

则相位超前校正装置确定为

其中Kc为

因此校正装置的传递函数为

注意到

Gc(jomega;)/10的幅值曲线和相角曲线如图7-96所示。以矫正系统具有下列开环传递函数：

图7-96中的实线表示已校正系统的幅值曲线和相角曲线。应当指出，带宽近似于增益交界

频率。超前校正装置使增益交界频率从6.3 rad/s增加到9 rad/s。这一频率的增大，意味着增加了系统的带宽，即增大了系统的响应速度。由图7-96可以看出，系统的相位和增益裕量分别等于约50°和 infin;dB。已校正系统如图7-97所示，它既能满足稳态要求，也能满足相对稳定性要求。

图7-96 已校正系统的Bode图

图7-97 已校正系统

对于1型系统，例如刚刚讨论的系统，其静态速度误差常数Kv的值恰等于第一条-20dB/十倍频程斜率的直线与0dB直线交点上的频率值，如图7-96所示。还应当指出，在接近增益交界频率处，我们把幅值曲线的斜率从-40dB/十倍频程改变为-20dB/十倍频程。

图7-98所示为已经调整了增益但未校正开环传递函数G1(jomega;)=10 G(jomega;)和已校正开环传递函数Gc(jomega;)G(jomega;)的极坐标图。由图7-98可以看出，未校正系统的谐振频率约为6 rad/s，已校正系统的谐振频率约为7 rad/s（这也表明，系统的带宽增大了）。

由图7-98还可以看出，当K=10时，对于未校正系统，其谐振峰值Mr的值等于3；对于已校正系统，Mr的值等于1.29。这清楚地表明，已校正系统的相对稳定性得到了改善。

如果在增益交界频

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