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微多重分形在海洋表面速率的估计的应用
[1]在这篇文章中，我们研究了多重分形在海洋表面温度（海温）的研究中的有效性。它表明，在中等分辨率的海表温度图像中观察到的海温模式有异常的多重分形结构的缩放属性特征，最有可能的起源是所观察到的结构是湍急的海洋流。因为它们变化缓慢，在持续的一段时间里（几天）与海洋中尺度动力学中的规律保持一致。奇异指数谱表明，在可用的范围内的动态的过程导致的温度模式的几何安排是相当普遍的。因此，多重分形技术可以用来提取特征的基础流。特别是，SST的多重分形成分的几何形状与洋流有着密切的联系，使得可以从一个单一的SST图像中建立一个合理的流函数的猜测（定义为最大奇异流函数（MSS））。因此，海洋表面的速度场可以很容易地推断，但是具有一定的局限性。多重分形分析在本质上是一个几何的方法，该方法能够对高分辨率的速度场反演，以及定位空间，但对弹性模量和速度向量的一些不确定性无法解决。为了解决这个问题，提出了额外的信息集成的总体框架，用一个例子说明MSS与测高数据合并。
- 引言
[2]尽管通过提供一个足够的地球物理过程的图像了解湍流动力学有重要意义，在流体动力学中，湍流仍然是一个主要悬而未决的问题。由于其混乱的形状，湍流流动不能很容易地用一些综合量来描述，因此，大量的自由度必须保留，以正确地描述他们。在所有描述湍流的方法中，最成功的一个方法是统计分析方法。由于有许多独立自由度的存在，它更适合在所有尺度上的微动的描述。然而，湍流引起的间歇性等相关量的分布具有厚尾；因此，湍流的统计分析需要大量数据获得的动力学量的可靠估计。这也一直是地球自转的情况下，可靠的统计分析，主要限制在小规模的流动的原因。我们从观测的直接分析更多地转向湍流数值模拟的性能比。
[3]地球观测卫星已经是一个伟大的革命,第一次允许海洋过程充分采样。遥感揭示了海洋特征的一个照片，通过一个复杂的几何学分析，发现海洋被不同尺寸的漩涡和理论上预测的纤维状结构充满了。覆盖的范围内的红外或彩色图像跨越3年（大约从1到几千公里），它们每天被获取几次。因此，遥感数据集在今天是提供最佳的框架阶段，在这个阶段中技术和概念的发展对湍流流动的研究可能会导致更好地了解复杂的海洋动力学的统计特性。此方法的一些实例包括海洋涡旋的特性，速度统计，海洋的搅动特性。
[4]许多这种类型的研究依赖于海洋速度场的知识，因为从遥感中直接测量数据是很困难的。尽管在星载雷达技术的最新进展中，目前海洋的水平速度可以从高程测量定期估计。但是，高度计仅仅提供关于交叉轨道自转速度的相关信息。
然后，插值方法所需的恢复两个组件的表面速度，对研究波长低于100公里的影响具有很大的影响能力。另外，以前已经做了许多努力，通过不同的方法来估计表面电流的红外传感器。
[5]最近，一种不同的方法是基于平流示踪剂的几何特性介绍。湍流中的相干涡旋强烈的相互作用，它具有永久拉伸和折叠的小规模的细丝从涡芯喷出的效果，并产生小规模的示踪剂梯度之间的漩涡。在根据理论和实验中所示的一些作品中，有前面的空间结构的示踪剂继承的基础流的一些性质。这影响流动的有组织的几何形状，作为一个层次结构的分形集，称为奇异流形，每一个相关的一个奇异指数：这是充分发展湍流所谓的多重分形（FDT）。这种几何排列的流动是密切相关的能量级联，这允许从任何示踪剂的几何性质的对流中的研究它的属性是很重要的。此外，作为奇异流形平流的流量，评估示踪奇点允许检测是主要流线，然后，通过一个合适的插值算法，流量的流函数可以被重建。
[6]在这一方法中的一个关键点是一个假设示踪图像多重分形结构。在大气流动的背景下，有这样一个多重分形层次的证据。在海洋中，时间序列的温度，荧光和其他生化示踪剂也表现出多重分形特征。然而，我们的知识中是没有证据证明海洋示踪剂的几何布局是有多重分形性质的，例如，空间海温分布。如果FDT与验证假设的海洋动力学相似，我们可以合理地推断，示踪剂在海洋中具有相同的奇异流形可以作为底层的汹涌的海洋流。因此，我们应该能够有对速度场的估计的方法。因此，本文的目标是双重的。首先，它将表明，海洋的中等分辨率的SST图像（Pathfinder SST在我们的例子中）表现出多重分形结构，因此分形技术提出的MSS的方法可以用来给流函数的估计。其次，本文讨论了这些方法的局限性和多重分形如何与其他数据相结合（本研究测高）可以用来克服它们。
[7]由于需要介绍的重要和非平凡的理论概念，在值得充分讨论的海洋环境中，我们已经决定以渐进的方式组织文本。首先，在第2节中，我们勾勒出的理论背景的多重分形，这是建议的根源，简要介绍了所有的数据。然后，在4节中提出了奇异点的估计方法和正则的多重分形的有效性并对海表温度图像进行了验证。在那之后，要检索的最大奇异流函数法（MSS）是5节中的数据应用。在第6节整合在MSS框架的附加信息的可能途径；我们目前整合测高的例子。最后，本文全面讨论和结论在第7节中给出（辅助材料）。
- 一般理论
[8]存在在FDT中的多重分形有广泛的科学文献的根源，其结构与功能异常的比例和层次结构的分形流形的几何解释的标度指数的关系相互联系在一起。然而，有非常少的文献建立明确的从古典，统计形式主义（基于结构的功能和评估的乘法级联），到被称为几何的一个典型的形式主义的通道（在帕里西和弗里斯的奇异流形明确分离从一个给定的信号）。
[9]对FDT和微指数研究的几何方法的思想可以通过meneveau，Sreenivasan在早期作品的追踪。然而，技术上的局限性对局部奇异性指数的测定和更大的量的统计测量如果离开这个想法有点不现实。从那时起，为了揭示几何数据，主要是集中在小波变换的多尺度骨架的提取上。然而，这种多尺度的骨架很难被用来分配一个奇异点到每个点。尽管有局限性，但是在信号处理的最新进展已允许恢复能量级联定义一个新的形式主义的几何角度，称为正则的多重分形。
2.1典型的形式主义
[10]自从著名的Kolmogorov 1941发表文章以来，已进行了大量的研究，来说明性能的充分发展湍流就规模不变的数量特征而言的一些动力学量的统计平均值的行为。和一个相当普遍的公式一样，我们可以定义P和r的大小范围局部结构的函数，记为，作为一个动态变量的order-p。
（1）
在平均实现一个适当的集合或在一个单一的实现足够大时，可以假设遍历或至少平稳的时刻。这个变量必须是一个固定数量的统计定义在一个给定的分辨率尺度r；常见的选择包括速度线性递增，并在半径r球局部能量耗散，
(2)
Kolmogorov 1941理论预测，在任何阶P，结构功能的是相对于规模范围r尺度不变，这体现在在惯性的范围内幂律关系，
(3)
此外，Kolmogorov预言所有尺度指数可能有关的一个简单的方法：他们应该符合线性关系，
(4)
其中的系数是给出的最大的缩放属性的，
(5)
虽然系数是关系到支持r的过程：
(6)
[11]根据线性尺度指数Kolmogorov模型，能量集中在一个分形流形，通过给予支持，在所有地点提供完全相同，即r H. 我们可以直接推导出这个分形流形的维数，通过缩放属性给出的方程（6）；继Falconer支撑尺度rd-D，其中d是嵌入空间维数（d=2在二维（2-D）的情况下湍流）和D是支撑的分形维数。因此，与方程（6），我们有D=d-.
[12]它很快就意识到了Kolmogorov线性标度不适合实验曲线；实验到不规则缩放，从线性行为明显分离。曲率使得Kolmogorov复杂一点的图片。现在在支撑的点中不再具有相同的缩放比例。相反，支持分裂的不同比例的分形组件，每一个缩放不同。因此，我们被限制从一个单一的分形计划到一个多重分形框架。
[13]一个简单的尺度指数是不足以提供一个对产生的充分发展湍流尺度不变特性的过程的理论研究。它需要引入一个模型来解释异常缩放：乘法级联。首先，对于任何0lt;klt;1让我们构建一个随机变量。
(7)
一个变量的存在依靠的性质。一个必要的条件是凹凸率恒定作为p的一个函数，因为的获得来自实际的p的顺序。事实上，的凹率是我们下面将要介绍的级联过程的信号。为了简化讨论过程，我们假设一个变量r，级联将通过降尺度方法来证明。增尺度相似的情况可以从这种简单的案例中推测出来。
[14]存在任何大小的k的范围中，从方程1中回忆结构函数的定义，对任何规模的尺度rlt;L,它遵循方程：
(8)
对所有的p,我们可以写出方程：
(9)
符号意味着两边有相同的描述，在方程（9）中，和级联关系一样出名，假设是一个与独立的随机变量，我们这样称“级联关系”的原因来自于如果我们引入中间的规模尺度rrsquo;(rlt;rlt;L)，我们可以得到如下方程的事实：
(10)
根据方程8中“级联变量”的定义，证明过程比较琐细。因此，级联过程可以验证在任何数量的中间阶段，在所有情况下，最终的结果将是相同的：在某些认知中，降尺度的过程中计算的结果是处于统计平衡的。方程11也意味着，变量是具有无穷可分分布的随机变量，这严重制约了允许过程类。许多实验事实证实，在充分发展的湍流流动的级联的存在；提示在其存在的海洋流也存在。
[15]级联过程流中的一个层次化的结构存在紧密的标志；然而，在上面讨论的形式，它只是一个统计特征，很难与具有明确物理意义的物体。第一步建立一个链接的几何布局的流动，可以追溯到帕里西和弗里斯的推导过程中的多重分形结构的级联过程。他们认为，由于反常标度，方程（5）中的H的Kolmogorov理论值
在R的支持点不共享一个单一的标度指数。相反的，支持被分割在不同的分形成分，每一个具有不同的缩放指数。由于分形流形可以具有不同的分形维数，我们引进的奇异谱”D（H），定义为（Hausdorff）的分量F H分形维数。
(11)
根据Paris和Frisch，多尺度指数能被迅速联系到奇异谱：
(12)
[16]方程（12）是多重分形的基础，因为它允许与乘法级联的几何特征（奇异谱）有关。因此，当我们到达一个给定的实现中得到的奇异指数，我们可以恢复所有的乘法级联的属性。奇异谱的一个重要特征是成为h的一个凸函数，勒让德变换公式（12）可以倒置和奇异性谱是从多尺度指数计算，即，
（13）
一个乖巧的奇异谱应该对应一个凸曲线是正则的多重分形在下面提出的要求之一。
2.2微正则形式
[17]从统计到几何的最后一步，2个附加的成分是需要的。首先，我们需要一种方法，能够评估局部的奇异指数被分配给每个点。应该认识到，局部的标度指数的概念实际上是更容易认出就是houml;lder或奇异性指数。奇异指数的引入，可以推广的经典泰勒函数的扩展，此外，它提供的一个变量，其规律性的特性，根据功能分析的缩放属性。然后，对任意足够小的向量,在给定点的给定区域的局部的奇异指数能够获得。
（14）
在风洞和其他实验室的经验结果表明，这种尺度观察的结果很普遍。通过方程（14），局部奇异性指数可以关联到每个点。奇异性指数暗示着在给定的点局部规律性的功能和它的连续性或不连续的程度。“奇异性指数”并不一定意味着有功能发散点；更大的意义在于，相反，表明函数很光滑。表达式方程（14）通常被称为函数奇异性分析。
[18]二成分是流动的缩放属性的关系，一般难以量化，相关的变量的缩放属性更容易被观察到。一个典型的情况是标量变量：流量作为第一个近似，表现的似乎它们是示踪剂。纯粹的被动标量，它的缩放属性出现在渐近制度中来源于对流动的缩放。对于主动标量，与本地的标度指数从标量的流量依赖的假设比物质导数的修正不影响重要程度较小的尺度，所以他们可以忽略。一个明确的例子是海洋流动，在那里需要解决的速度结构函数计算的可靠估计仍然是不可访问的，而对于示踪剂，如通过遥感获得的海温是相当可行的。根据一些研究，海洋正压流的多重分形特性不是由斜压不稳定存在的影响。事实上，如果在帕里西和弗里斯的工作中的多重分形层次证明了一个给定的标量，我们会接受，其最合理的起源是湍流驱动的标量。
[19]现在我们已经建立的微正则形式主义，从流动的几何性质恢复动态信息的基本要素。给定一个标量信号，我们就说它是关联到一个微多重分形的当且仅当：
[20]1.对任何的点：
（15）
方程15被验证在一个大的范围内的尺度，而不是一个大小相关的局部功能函数
[21]2.奇异性的分布在任何有效的尺度r,根据方程（11），为D（h）同一曲线。
[22]3.从方程（11）的曲线D(h)是凸的。
[23]条件1意味着
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