Large and small signal distortion analysis using modified Volterra series
Abstract
A new approach to the Volterra analysis of analog circuits is presented. Volterra analysis is widely used for the calculation of harmonic and intermodulation distortion products. However, the analysis is limited to circuits experiencing small signal excitations and becomes inaccurate when the input signal amplitude increases, especially when MOS transistors are involved. In this paper, we analyze the cause of this drawback, which is no other than the Taylor seriesrsquo; convergence properties. Moreover, we propose a solution, by calculating the nonlinearity coefficients using a different type of polynomial expansion, the Chebyshev series. This replacement improves significantly the capabilities of Volterra analysis. We also present results comparing Chebyshev series with other types of polynomial expansions. Finally, we apply the proposed method to analyze the intermodulation distortion (IMD) of a CMOS RF power amplifier, both in the small and the large signal regimes.
1 Introduction
In modern analog and RF circuits, linearity is a very important design parameter, especially with the new and strict telecommunication system standards. Volterra analysis is, by far, the most widely used method to analyze the nonlinear behavior of analog circuits. It can be applied for estimating the distortion of a circuit, as well as for determining the primary sources of distortion within the circuit. This type of analysis has been applied to various circuits such as low noise amplifiers, mixers and a number of amplifier topologies.The most significant step in Volterra analysis is the expansion of the circuitrsquo;s nonlinearities in Taylor series, as in traditional small signal analysis. The difference is that in Volterra analysis not only is the first term of the Taylor expansion kept, but also some of the higher order terms (usually two more terms). Nevertheless, the convergence properties of Taylor series lead to large errors, or even divergence, when the input signal is large. The source of this problem is analyzed in Sect. 2.
In Sect. 3, a different kind of polynomial expansion is proposed, the Chebyshev series, which can replace the Taylor expansions of nonlinear elements. The Chebyshev series approach solves the convergence issues associated with Taylor expansions and, in addition, it results in much smaller approximation errors, as will be proven in Sect. 4. The Chebyshev series already finds use in several applications in modern technology, such as in the numerical analysis of RF circuits.
In Sect. 5, the intermodulation distortion (IMD) of a CMOS RF power amplifier is analyzed using the proposed method, both in the large and small signal regimes. The results are compared with harmonic balance simulation and a very good agreement is observed. Moreover, the correction that the Chebyshev series introduces in the nonlinearity coefficients will be shown.
Finally, Sects. 6 and 7 present the conclusions of this work and future research that can be conducted.
2 Taylor series convergence and MOSFET models
The Volterra analysis involves the expansion of all circuit nonlinearities in a polynomial series. Traditionally, Taylor series expansions around the circuitrsquo;s bias point are employed. For example, a MOSFETrsquo;s drain current iDS is expanded as a function of the gate-source voltage vGS:
The convergence properties of the Volterra series directly depend on the convergence properties of the associated Taylor series. Therefore, if the associated Taylor series diverges or has a reduced convergence radius, the Volterra analysis will fail. This is the case with circuits biased near VT and experiencing large signal excitations, such as power amplifiers. The problem is even more intense in deep submicron technologies where most circuits are biased almost in weak inversion, very close to VT.
The second and equally serious drawback of the Taylor series is its non-uniform error distribution behavior. The approximation error, in the convergence region, is very small near the expansion point but increases rapidly as the distance from the expansion point increases. This causes large errors when analyzing circuits with large input signals, while remaining in the convergence region. One potential solution to this problem is to increase the number of terms in the Taylor expansion, but the extra terms rapidly increase the complexity of Volterra analysis.
3 Chebyshev series
Orthogonal polynomial approximations, such as Chebyshev series, are believed to be the lsquo;lsquo;holy grailrsquo;rsquo; of functional approximation. A truncated Chebyshev series is the best nth order polynomial approximation of a function in an interval, in the minmax sense.
The convergence domain of Chebyshev series is an ellipse in the complex plane, see Fig. 3, and has guaranteed convergence inside the interval, as long asno singularities lie within the interval. This implies that complex singularities do not affect the convergence of the series; hence it converges for all nonlinearity functions found in practice. Moreover, the minmax sense of the approximation results in equidistributed error within the interval. This copes with the approximation error issue with large input signals.
Numerical experiments, that will be presented in the following Section, show that only 3–5 terms are needed in the truncated Chebyshev series in order to approximate the nonlinearities found in analog circuits. Caution should be exercised when selecting the expansion interval, which, by definition, should be equal to the excitation signalrsquo;s amplitude. If a nonlinearity is controlled by two or more voltages, multidimensional Chebyshev expansions can be applied .
We can use the Chebyshev series for distortion analysis by simply calculating t
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使用修改的沃尔泰拉系列进行大小信号失真分析
摘要
介绍了对模拟电路沃尔泰拉分析的一种新方法。沃尔泰拉分析广泛用于谐波和互调失真产物的计算。 然而，分析限于经历小信号激励的电路，并且当输入信号幅度增加时变得不准确，特别是当涉及MOS晶体管时。 在本文中，我们分析了这个缺点的原因，这不仅仅是泰勒级数的收敛性质。 此外，我们提出一种解决方案，通过使用不同类型的多项式扩展，切比雪夫系列计算非线性系数。 这种替换显着提高了沃尔泰拉分析的能力。 我们还提出比较切比雪夫系列与其他类型的多项式展开的结果。 最后，我们应用所提出的方法来分析CMOS RF功率放大器的互调失真（IMD），无论是在小信号还是大信号方面。
1 介绍
在现代模拟和射频电路中，线性度是非常重要的设计参数，尤其是新的和严格的电信系统标准。沃尔泰拉分析是迄今为止应用最广泛的分析模拟电路非线性行为的方法。它可以用于估计电路的失真，以及用于确定电路内的主要失真源。这种类型的分析已经应用于各种电路，如低噪声放大器，混频器和多个放大器拓扑。在沃尔泰拉分析中最重要的一步是在泰勒系列中扩展电路的非线性，如传统的小信号分析。不同的是，在沃尔泰拉分析中，不仅是泰勒扩张的第一个术语，而且还有一些高阶术语（通常还有两个术语）。然而，当输入信号较大时，泰勒级数的收敛特性导致大的误差，甚至发散。这个问题的根源在第2部分中进行了分析。
在第3部分，提出了一种不同种类的多项式展开式，切比雪夫系列，可以代替泰勒展开的非线性元素。 切比雪夫系列方法解决了与泰勒扩展相关的收敛问题，此外，它导致小得多的近似误差，这在第4部分将被证明。 切比雪夫系列已经在现代技术的几个应用中使用，例如在RF电路的数值分析中。
在第5部分，使用所提出的方法，在大信号和小信号状态下分析CMOS RF功率放大器的互调失真（IMD）。 将结果与谐波平衡模拟进行比较，并且观察到非常好的一致性。 此外，切比雪夫系列在非线性系数中引入的校正将被显示。
最后，第6和7部分提出了可以进行的这项工作和未来研究的结论。
2泰勒系列融合和MOSFET模型
沃尔特拉分析涉及多项式系列中所有电路非线性的扩展。在传统上，采用了电路偏置点周围的泰勒级数扩展。例如，MOSFET的漏极电流iDS作为栅极 - 源极电压vGS的函数被扩展：
沃尔特拉系列的收敛特性直接取决于相关泰勒级数的收敛性质。因此，如果相关联的泰勒级数发散或具有减小的收敛半径，则沃尔泰拉分析将失败。 在VT附近偏置电路并且经历大的信号激励（例如功率放大器）的情况就是这种情况。 在深亚微米技术中，大多数电路几乎处于弱反转，非常接近VT的问题更为严重。
泰勒系列的第二个同样严重的缺点是其不均匀的误差分布行为。在收敛区域中的近似误差在扩展点附近非常小，但随着距离扩展点的距离增加而迅速增加。 当分析具有大输入信号的电路时，这会导致大的误差，同时保留在会聚区域。 这个问题的一个潜在解决方案是增加泰勒扩展中的术语数量，但额外的术语会迅速增加沃尔泰拉分析的复杂性。
3切比雪夫系列
正交多项式近似，如切比雪夫系列，被认为是功能近似的“圣杯”。截断的切比雪夫系列是在最小范围内的间隔中函数的最佳n阶多项式近似。
切比雪夫系列的收敛域是复平面中的椭圆，如图3所示，并且保证间隔内的收敛，只要没有奇异点在区间内。这意味着复杂的奇点不影响系列的融合; 因此它收敛于实践中发现的所有非线性函数。此外，最小的最大逼近意义导致间隔内的等分布误差。这适用于大输入信号的近似误差问题。
数值实验将在下面的部分中给出，表明在截断的切比雪夫系列中只需要3-5个术语，以便近似模拟电路中发现的非线性。 在选择扩展间隔时应注意，通过定义，该扩展间隔应等于激励信号的振幅。 如果非线性由两个或多个电压控制，则可以应用多维切比雪夫扩展。
我们可以使用切比雪夫系列进行失真分析，只需通过切比雪夫展开而不是泰勒展开计算Volterra分析中的非线性系数。 分析的核心仍然完全相同。 分析实例将在第5部分。
4 切比雪夫系列性能
由于切比雪夫系列与泰勒系列相比表现出优异的性能，在收敛方面，预期在输入间隔较大时，在近似误差方面表现更好。特别是在诸如功率放大器的大信号电路中需要大的近似间隔。
图4展示出了0.35mu;mCMOS技术MOSFET及其相关的三阶泰勒和切比雪夫扩展的漏极电流与栅极源极电压的关系。EKV模型的简单而准确的版本被用来表示漏极电流。MOSFET的宽度为W =200mu;m，vDS = 3.3V。近似间隔为[0,2]，足以探索功率放大器的行为，泰勒级数在该间隔的中心附近扩展（即VGS = 0.9V）。切比雪夫膨胀的相对RMS近似误差为2.5％，而泰勒膨胀的相对RMS近似误差为17.6％。
另一个选择是通过曲线拟合计算近似多项式[16,17]。虽然这是从实验或模拟数据计算多项式展开的最佳选择，但是当非线性的分析函数可用时，不需要使用它。 此外，函数的任意离散化预计会引入额外的错误。
图4还显示了对于相同的MOSFET，通过曲线拟合计算的漏极电流的三阶多项式扩展。 使用在等距点上的最小二乘法来计算固定膨胀。 逼近间隔再次为[0,2]，拟合多项式的相对RMS近似误差为4.2％，而切比雪夫膨胀误差为2.5％。
在MOSFET栅极电容Cg的情况下，切比雪夫扩展证明更为有效。这种电容是CMOS功率放大器失真机理的重要组成部分[18]。图5显示了先前MOSFET的Cgs及其相关的第一阶切比雪夫和固定多项式扩展。逼近间隔再次为[0,2]，拟合多项式逼近的相对RMS误差为15％，而切比雪夫膨胀误差为7.2％，即小于拟合多项式误差的一半。
5使用切比雪夫系列的失真分析
切比雪夫系列可以用于通过相应的切比雪夫扩展简单地替换沃尔泰拉分析中使用的非线性的泰勒展开来进行失真分析。如果通过函数f（vCONTR）= f（VCONTR vcontr）描述非线性，则如公式 5，非线性系数a由切比雪夫系列扩展确定，按照第3部分。
应用上述过程以分析CMOS RF功率放大器的互调失真，如图1所示。Zin表示输入匹配网络的等效阻抗。该网络将功率放大器的输入阻抗与其驱动器的输出阻抗相匹配。Zout表示偏置和输出匹配网络的阻抗。输出匹配网络将50 X负载阻抗转换为较小的负载阻抗，以增加传输到负载的功率[19]。
功率放大器设计为CMOS 0.35mu;m，工作频率为2.4 GHz。该技术的阈值为VT = 0.5V，PA偏置在该阈值附近，而MOSFET为大（W =3600mu;m，18 FET为20bull;10mu;mbull;0.35mu;m），以提供高增益。 对于MOSFET，使用简单版本的EKV模型，其考虑了两个非线性，漏极电流iDS = f（vGS，vDS）和Ceff = Cgs Cgb = f（vGS），参见图7。
5.1非线性系数
当考虑电路非线性扩展的系数时，切比雪夫扩展引入的校正变得明显。 为此，比较切比雪夫和泰勒扩张计算的系数。图8显示了当VDS = 2V和vgs的幅度为0.1V时的这些系数。显而易见的是，对于小的输入信号幅度，切比雪夫展开的系数几乎与泰勒展开的系数相同。
图9说明了当vgs的幅度大于0.5V且VDS = 2V时的系数。由切比雪夫展开计算的系数与由泰勒展开计算的系数之间的差异是显着的，特别是在VGS = VT附近的区域 复杂的奇异性占主导地位。 随着从VGS到VT的距离增加，使用两种方法计算的系数收敛。 在以下小节中将显示，使用切比雪夫扩展预测的失真比使用泰勒扩展预测的更为接近商业谐波平衡模拟器。 因此，切比雪夫膨胀与泰勒展开预测值相比，校正了非线性系数的值。
另一个重要的结论可以从图 9是第一级增益g1几乎不受奇异性的存在和交流振幅的增加的影响。
5.2小信号失真分析
通过术语小信号失真分析，只要MOSFET在截止和饱和之间工作，我们就意味着放大器的失真分析。 三极管区域将在后面考虑。由于MOSFET的漏极电流iDS取决于vGS和vDS，所以需要用于iDS的二维多项式展开。 然而，这种二维扩展将显着地使放大器的失真分析复杂化[1]。为了简化分析，消除了漏极电流iDS对漏极电压vDS的依赖性。
其中Rout是在基频处从MOSFET漏极看到的电阻，gm是vDS = VDD处的跨导增益的近似值。该近似值再次使用切比雪夫系列得出。
通过在图7的电路上应用直接计算非线性响应的方法，我们计算出IMD电流iout; 2omega;1-omega;2，由于负载Zout而导致的。
omega;1 and omega;2是相等振幅的音调，并且在PA的工作频带内选择，彼此靠近，使得2omega;1-omega;2位于该频带内。在分析中使用的非线性电流源的表达被修改为包括第五阶系数对当前iout; 2omega;1-omega;2的贡献。输入和输出网络设计用于引入二次谐波终端，以提高效率和失真的原因。因此，第二和第四阶非线性系数对IMD的贡献被忽略。关于iout; 2omega;1-omega;2计算的更多信息在附录中给出。
图10示出了对于两个VBIAS值，所提出的分析和谐波平衡模拟所预测的IMD电流与输入AC振幅vin（见图7）。对于IMD模拟目的，输入振幅vin由两个相等幅度的音调组成。 两个音调中的每一个的幅度是图像的水平轴。 与商业谐波平衡模拟器相比，所提出的方法的结果是相当准确的，另外使用该模拟器
更为复杂和先进的BSIM3v3.3 MOSFET模型。
图11描述了通过提出的方法计算的IMD电流与输入AC振幅vin的比较，并且与VBIAS = 0.5V时的泰勒展开的经典沃尔泰拉分析相比较。在经典的漏极电流分析中考虑了第三和第三阶泰勒扩展。 很明显，经典的沃尔泰拉分析仅对非常小的输入信号值（即，对于每个音调小于50mV幅度）给出正确的结果。 此外，我们观察到，对于大输入值，泰勒级数发生偏差，并且扩展项数量的增加导致更大的误差。 此外，使用第三阶泰勒扩展导致失真“甜点”的完全不准确的预测[20]（甜点将在下面的小节中讨论）在相对较小的输入幅度。
5.3大信号失真分析
为了分析功率放大器，当输入电压足够大以将MOSFET推入三极管区域时，我们采用类似于[20]。
Rout再次是排水沟的阻力。这个方程可以用vDS数值求解。然后，功率放大器的输出电流仅取决于vGS，从而可以导出输入电压-输出电流传递函数。图12显示了我们分析的功率放大器的传递函数。该模型有助于避免漏极电流iDS的二维扩展。
扩展间隔再次为[-A，A]，其中A为vgs的幅度。来自上述扩展的系数可以在上一小节的相同沃尔泰拉分析中使用。Ceff非线性的系数保持不变，因为它被建立为独立的vDS。
图13描述了当VBIAS = 0.5V时，与谐波平衡模拟结果相比，大信号分析的IMD电流与输入振幅vin相关。沃尔泰拉分析和谐波平衡之间的协议非常好。 沃尔泰拉分析的小误差主要是由于我们使用的MOSFET模型非常简单，许多非线性没有被建模。从图中可以看出，准确预测了存在于MOSFET饱和和三极管之间边缘的放大器畸变“最佳点”。
图14显示了当VBIAS = 0.5V时，扩展（17）的系数g1，K2g ，K3g与vgs.只要输入信号幅度小（低于-20 dBV），系数与振幅无关，如泰勒系列的情况。 随着振幅的增加，系数变得依赖于它，切比雪夫系列引入的校正变得明显。
图15描述了扩展（17）与偏置电压VBIAS的系数g1，K2g和K3g。vgs的振幅保持恒定在0.5V。可以看出，主要负责互调失真[1,20]的系数K3g对于某些VBIAS值而变为零。这就是存在扭曲“甜点”的原因。这些VBIAS值由切比雪夫扩展准确预测。
6 结论
提出了沃尔泰拉分析方法的修改。发现该方法的主要缺点是使用泰勒级数来处理电路的非线性。泰勒级数的收敛性转移到相关的沃尔泰拉系列，使得沃尔泰拉分析的方法不能
分析经历大信号激励的电路，特别是当涉及到MOSFET时，如果泰勒扩展被切比雪夫扩展替代，则由于切比雪夫系列的优异的收敛特性，所有的收敛问题都得到解决。此外，切比雪夫扩展对该方法进行了较小的修改提出了沃尔泰拉分析。发现该方法的主要缺点是使用泰勒级数来处理电路的非线性。泰勒级数的收敛特性被转移到相关的沃尔泰拉系列，使得沃尔泰拉分析的方法不能分析经历大信号激励的电路，特别是当涉及MOSFET时。如果泰勒扩展由切比雪夫展开代替，则由于切比雪夫系列的优越收敛性，所有的收敛问题都得到解决。此外，切比雪夫展开展现出比曲线拟合和泰勒多项式更小的近似误差。通过CMOS功率放大器的失真分析验证了所提出的修改的沃尔泰拉分析的改进能力。在大信号和小信号状态下对放大器进行了分析，并对切比雪夫系列引入非线性系数的校正进行了分析。该方法能够准确预测深亚微米技术中设计的模拟电路的失真。实际上，该方法的精度只取决于利用MOSFET模型实际预测器件行为的能力。
7更深远的研究
所提出的方法可以很容易地集成在高阶沃尔泰拉模拟器[21,22]中。所得模拟器的潜在用途不仅限于功率放大器分析。通过应用更复杂的MOSFET模型（如BSIM以及二维切比雪夫系列）可以进一步提高精度。这种仿真器的速度和精度将为设计人员提供一个工具来准确地分析和预测复杂电路的失真行为。
8 附录
在本附录中，我们提供切比雪夫多项式的数学细节，显示切比雪夫系数如何计算以及这些系数如何用于计算IMD电流iout; 2omega;1-omega;2，这些细节补充了第3和5部
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