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弱光信号的估计和检测
ODILE MACCHI和BERNARD C. PICINBONO，IEEE会员
摘要： 在本文中，我们考虑了在点过程理论中作为问题的弱光信号的估计和检测的问题。 实际上，在非常低的光强度下，来自强度检测器的唯一信息是场吸收光子并发射光电子的时刻{t，}的随机分布。 还有由于热电子或背景光场引起的噪音。 从统计属性开始
点处理{ti}，我们为各种光场制定了调制光束的光强度估计问题。 我们表明，在某些情况下，光电子的数量是足够的统计数据。 一般来说，理论结果是复杂的，我们在线性估计的情况下制定了这个问题，通过使用场的协方差函数的积分方程求解得到了解。 还考虑了一些检测问题。
引言
关于许多物理系统的信息由光束承载。在大多数原子或分子物理学实验中，通过光散射研究材料，或在使用光学检测器的核物理学实验中都是这种情况。光束也是新的和扩展的光通信领域的信息通道。
通常，光信号被处理以获得关于电磁（或光）场的信息，例如其平均光强度，其相关函数或其光谱。然而，在许多近来的应用中，例如在光散射研究中或在非常长距离的光通信中，光强度非常低。在这种情况下，电磁场的量子性质在光信号检测的描述中起重要作用。许多作者[1] - [IS]已经描述了由弱光场照射的理想检测器的输出。该信号由对应于检测器的光子吸收和光电子发射的物理现象的窄脉冲序列组成。 （实际上，许多最近的实验已经表明，通过理想探测器的模型很好地描述了良好的光电倍增管。）
因此，在这些低强度的情况下，在光学检测器的输出处可获得的唯一信息是吸收 - 发射现象的时间序列ti。这些时刻是随机的，构成点处理（PP）9，并且由必须从该过程中提取光束。这是我们在本文中考虑的情况。它与经典通信环境非常不同，其中从平滑随机过程（SP）提取信息。
在本文中，我们假设在固定有限时间间隔J = [O，T]期间观察到g。令n是J内出现的次数。让这些被称为“可观测量”并以符号表示{t，}，这些吸收排放时刻。这些随机时刻的统计性质通过为每个n定义的“J-occurrence分布”来描述，其中dN（0）是（0，do} [6]中的出现次数。在理论和实验上众所周知，过程g是一个条件泊松过程（CPP），它可以表示为随机的泊松过程密度A（t）[I]，[5]，[7]。对于纯泊松过程，那个是一个确定性的A（t），可以显示[S]，[9]，因此，CPP的J发生分布是，并且通过积分，在n中发生n的概率是在理想的没有热噪声的检测器，例如低温下的光电倍增管，A（t）是光电子的密度p（t）。这个密度与瞬时光强Z（t）有关，其中s是检测器的系数特性。
从而（t）是随机的，因为一般来说，光强度是随机的。许多情况下会考虑光学领域
以下。型号SL Amplitttde稳定激光束[IO]：在此情况下，只有光场的相位波动光强度是恒定的和非随机的。型号ML调制激光束：在这种情况下，灯光强度可以写成Z＆T）是载波激光束的强度（因此确定性）和a（t）调制信号。T型热场：这是自然光的情况
以及假热光[I 11]。光场E（t）是一个真正的零均值准单色高斯SP，和光强度是其中X（t）是E（t）[IZ]的分析信号。具有实幅度的模型R高斯场[121，[131：在这种情况下，强度是其中E，（t）也是高斯，实数，零均值和频带有限。这个领域最近在理论上被究[12]和实验[131。一般来说，不可能忽略热噪声的检测器 - 即由...发射的热电子光电阴极，不能与光 - 电子。这些热电子的密度b是恒定的，因此检测器的输出是具有密度的CPP。
调制光信号的估计
让我们考虑ML模型，为简单起见调制过程a（t）是J内的常数a光学数字通信案例：
期望基于的参数a来估计观察值{t，}。 核问题也出现在这个问题上当粒子能量通过使用a确定时，物理学闪烁体和检测器。 那么一个与...成正比颗粒的能量。观察结果是CPP密度其中PO（t）= sZ，（t）是已知的，而a是随机变量（RV），其概率密度为q（a），我们假定不断可微。在我们的研究中，我们先后使用了两个最重要的统计标准：最小均方误差（Q）;最大后验概率（V）。 在几个例子中我们显示，实际上估计并不严格，使用哪个标准。
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一般结果
我们用一个{t，}（或a，{t，}）表示RV a的估计相对于标准（Q）[分别（V）].已知[14] a，{t，}是给定的条件均值可观察。 现在条件概率密度为:现在，定义了最可能的后验估计通过a，{＆}最大化.即使在本节中考虑的简单问题，我们看到估计a，{t，}和a，{＆}不是由...给出的观察器{t，}的简单函数。 他们的一般属性派生于附录A：a的偏见{＆}是零平均值（A2）及其方差总是小于原始方差[cf. （A5）]。 此外，{＆}和a，{＆}是n的单调递增函数，在某种意义上,
例由于a，{＆} = F，当b = 0时，（24）
配合a，{＆，}，给出相同的可观察量，总是小于.如果不存在检测噪声的话。 这似是而非结果也适用于{＆}。
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弱噪声情况
首先我们假设没有热电子,因此b = 0。从（13）和（15）可以看出，出现次数n是估计的足够的统计量无论q（a）的分布如何。现在让我们假设噪声信号比（NSR）很明显，只有无穷小的补充对t的位置敏感。
例如，在p = 1项，这是（28）中最重要的一个ti位置扮演（弱）角色，只能通过RV现在X（或n）是线性时不变滤波器9的输出（分别为一个积分器）和响应
在观察结束时，输入是序列与过程9相关的单位冲动。过滤器B可以被视为与信号PO（t）“匹配”。然后是相对于可观察量线性的RV（n，x）足够的统计数据。
在标准（V）的情况下，更难以给出近似。在这种情况下可以考虑r的一阶扩展{t，}
然后取F，{t，}的根代替{t，}。这个程序再次导致（n，X）对作为足够的统计量，
tic。然而，通过假设q（a）的某些分布，它可以很容易地看出（31）的解决方案导致了.如果X位于一定范围内，则为a的不可能值。因此此过程必须谨慎使用。
另一方面，条件（26）和（30）有它们涉及n的观测值的缺点。（26）的麻烦在于可能发生非常大的n值并且（30）不能确保其有效性，除非（31）实际上已经解决了。在下面的例子中我们避免这些困难。
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实例
由于基本数量f（16）的形式，对于q（a），特别好的分布是x2分布。
立即跟随。此外X2分布对应于许多phy-关于高斯信号 ，处理激光时出现（32）的一个例子，其调制遵循模型T或R.如果SP E（t）或E，（t）具有较大的相干时间r5，（r，gt;gt; T），则SP，Z（t）在间隔[O，r]期间几乎恒定，因此减少到RV。因此，光信号pO（t）= S常数也是参数a的分布，RV Z（t）。从（7）和（8）可以很容易地看出，对于模型T，q（a）是指数律[（32），其中t = 1]。对于模型R，q（a）在t = 4时是伽马分布的。我们首先考虑零噪声的情况。然后替换（32），（33）和b = 0，进入（17）和（22），我们很容易找到这些估计是非常接近的，两者都是线性在n。他们的差异是常数值（k pT） - 对于大的n，它们是等价的。指数分布情况a，（n）和n成正比。这个案例（32）中的t＃0，不会出现（n）。当有小的检测噪声时，近似估计（28）成为低NSR条件，这是更多有吸引力的一般条件（26），因为它没有取决于观察到的事件。此外（36）对忽略噪音所造成的错误加以约束：我们现在给出一个更准确的描述的恒定信号。那么当然，数字n是a足够的统计数据。 （22）的确切根源是其中条件t 2 1将被解释如下。对于t lt;1，（32）意味着q（a）和条件
概率密度pJ（a / {t ,,gt;）（对于非零噪声）倾向于无穷大，为零。因此，标准（V）总是导致到零估计a，（n），因此是没有用的。为低NSR，我们有以下的二阶扩展
估计：他们显然非常接近。要完成这个部分，我们考虑一个常常的情况在光学中遇到，即指数分布的q（a）和恒定信号。然后呢（21）和（40）遵循。因此，通过替换（43）的a，（n）通过其一阶扩展约为是非常紧密的近似值。注意（44）和（45）从零噪声估计（35）和（34）得出，分别简单地减去NSR。而且，它值得指出的是，除了恒定的差异（k Tp） - ，估计值不明显使用了标准（Q）和（V）中的哪一个。这个在（34），（35），（41），（42），（44）和（45）中是明显的。这是一个有用的
导致了标准选择的主观性。
热强度的估计
在本节中，假定噪声来源于测量本身;物理平滑强度Z（t）只能通过PP 9。噪音是一种
量化噪声。假设检测器产生光电子只。因此，（3）这里解决的问题是最佳估计
SP Z（t）在整个间隔J期间的可观测量{t，}。我们使用统计标准（Q）在第二节清楚，更容易处理。然后，表示我，{＆，}我们在时间t的估计在{t，}的基础上，该估计值适用于所有种类的光信号。它去除在基本数量上以直截了当的方式exp（-s IWW de））2（48）这是光电子的J发生分布。此外，在热光盒（7）中，全部统计了SP Z（t）以协方差函数表示C（t，u）与分析信号[16] X（t）相关联实场E（t）。在这种情况下，分配（48）已经由作者之一制定[17]。结果是ex-通过定义为的复函数f（t，u）来压制积分方程的独特解f（w） s s c（t，e）f（e，u）。并称之为内核C（t，u）的“resolvent”
间隔J.用于评估溶解度的各种方法是在附录B中讨论。关于（t，u），我们发现
其中X =（k，* * *，k）的范围超过所有per-1,2，* * *，n和其中 J（s）的突变是固定函数的。由于与B有关的任何统计兴趣数量可以根据J发生分布进行评估结果是关于CPP的很多问题的关键。这个讲话指出了决心所起的重要作用
在这些问题。从（47）和（50）可以看出，在时间t = t， 1的强度基于可观察量
在J中没有发现任何事件，并且对于位于t 1处的单个事件如果ktd12，让我们对这个估计做一些评论。
备注1：在证明（50）的同时，得到中间人,结果是（51）分子和分母都是由于C（t，u）的正定性，所以是正的。所以我们估计是肯定的，这是预期的关注光强度。
备注2：方程（51）使得它明显是{＆}是根据（49）式，在溶剂f（t，u）中，Z，（t，）在协方差C（t，u）=中也是均匀的
备注3：最好的估计（51）不是线性的可观察物{t ,,}。如果是这样，就会有一个功能
h（t，u）具有这样的性质.然而，根据（52），（53），有必要这表明（55）甚至不适于n = 2一般。如果f（t，u）和因此协方差C（t，u）在（J x J）上是恒定的;也就是说，如果场的一致性时间远远大于这个例子已经在这个例子中处理了。第二部分，t = 1和一个常数PO（t）。用（B16）一个可以检查（34）和（51）之间的等价关系。
备注4.低密度情况：从（46），s lt;Z（t）gt;是PP 9的密度，s lt;Z（t）gt; r，是平均值
在光相干期间发射的光电子数量时间rc。当它很小时，B的两次连续出现ti，ti 是不太可能的比r更近。因此Pr {C（ti，tj）= 0，V i＃j} N 1。现在的一致性时间zi off（t，u），由...定义f（w）= 0，与z相同，[参见（B18）]。因此这表明只有相同的排列.X =（1,2; ...，n）给出了对分母的非零贡献的（51）。如果估计出Z（t）的时刻t = t ,,（51）非常接近观察到的一个ti，使得it-t，1 lt;zi，那么分子只有两个非零项。然后如果t远离所有观察到的ti，只有身份permu-注意（59）和（60）与（53）和（52）一致。现在（53）将是有效的，而不是{f，}，t，一个人已经观察到的。因此（59）意味着Z（t）的估计（51）
不会从事件中提取任何信息t ,, *。 。，t，Itj - tlgt; r，。估计（51）是形成好像Z（t）独立于它们的存在。显然（60）和（52）的比较是一样的解释当在邻里没有发生时，bor。。。因此可以解释距离r作为光电子过程的相干时间。它是不奇怪的是，通过（49）连接到7c，因为r，是其上的值X（t）和X（t 5，）的距离该领域是独立的。此外，从（B17）可以看出，f（t，u）不是取决于间隔.Z，提供点I，U包括在内在.Z中有一个小（r，）的余量。这也是合理的：不观察值比zi秒更有用在估计之前。最后，我们提到（59）和（60可以写在a中单一公式因为（58），C中不超过一个术语非零。发现式（61）和（55）相同。这意味着线性估计（55）是最优的低密度的情况。事实并不奇怪。显然是低密度假设简化了估计问题。
线性估计
我们刚刚看到找到最好的，即使在没有噪音的情况下也可以进行紧张度估计。为了在存在的情况下估计光信号强度Z（t）噪音，我们将限制我们的研究类别的估计在可观察中是线性的。此外，我们允许一个相对于terrt（t，t）的已知偏差，其中（61）。因此，我们考虑表格的估计接收机的结构如图1所示。 1线性接收机的限制具有以下优点：最优程序不涉及知识过程的整体统计，而高斯场为了获得最佳估计，假设是至关重要的。在上一节中，采用标准（Q），最好的R（t）和R（t，u）是这样的。那E2 = E {（Z（t）-zs（t））2}（63）是最小的。其他作者也考虑过类似的问题[lS]和[19]。然而，他们的做法仅限于此
静止强度。而且，他们不允许偏压。这使得解决方案的困难最优方程。噪声被认为是由于检测器热 - 电子，或背景辐射光电子。
A.检测器内部噪声
当噪声源于检测器时，
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